2023-2024学年七年级下学期期中复习专题03 平面直角坐标系（知识清单+12题型）

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1夯实必备知识
考点一：有序数对
有序数对的概念：有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，表示为．
有序数对的应用：利用有序数对表示物体的位置．表示方法有行列定位法；经纬度定位法；方格纸定位法；方向角加距离定位法．
考点二：平面直角坐标系
平面直角坐标系的概念：如图：平面内，两条相互垂直，且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．
平面直角坐标系各部分名称：
①横坐标轴与纵坐标轴．
②原点．
③象限：如图，两坐标轴把平面分成四部分，构成四个象限．从右上角开始，逆时针方向分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
点与坐标：
①确定点的坐标：过点作轴的垂线，垂足点所表示的数即为点的横坐标；作轴的垂线，垂足点所表示的数即为纵坐
标．
②根据点的坐标确定位置：过横坐标作轴垂线，过纵坐标作轴的垂线，两条出现的交点即为该坐标表示的位置．
平面直角坐标系内各部分的坐标特点：
①轴上所有点的纵坐标为0，即坐标可表示为(，0)．
②轴上所有点的横坐标为0，即坐标可表示为(0，)．
③第一象限内横纵坐标均为正数，即可表示为(﹢，﹢)．
④第二象限内横坐标为负数，纵坐标为正数，即可表示为(﹣，﹢)．
⑤第三象限内横纵坐标均为负数，即可表示为(﹣，﹣)．
⑥第四象限内横坐标为正数，纵坐标为负数，即可表示为(﹢，﹣)．
点到坐标轴的距离：点到横坐标轴的距离等于纵坐标的绝对值，即．点到纵坐标轴的距离等于横坐标的绝对值，即．
考点三：坐标与图形性质
一三象限角平分线上的点的坐标特点：在一三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等．即．
二四象限角平分线上的点的坐标特点：在二四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．即．
关于坐标轴对称的两个点的坐标特点：
①关于轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即若与关于x轴对称，则．
②关于轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数．即若与关于y轴对称，则．关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数．
③若与关于直线对称，则纵坐标相等，即．横坐标满足的关系式．
④若与关于直线对称，则横坐标相等，即．纵坐标满足的关系式．
与坐标轴平行(垂直)的直线上的点的坐标特点：
①平行于轴(垂直于轴)：该直线上所有点的纵坐标相等．两点之间的距离等于横坐标之差的绝对值．
②平行于轴(垂直于轴)：该直线上所有点的横坐标相等．两点之间的距离等于纵坐标之差的绝对值．
两点间的中点坐标公式：点与的中点坐标为．
考点四：坐标表示平移
坐标的平移规律：左右平移，横坐标进行加减，右加左减．上下平移，纵坐标进行加减，上加下减．
图形的平移：把图形中的关键点按照点的平移进行平移，得到平移之后对应的点，把对应点按照原图形连接即可．
求坐标系中图形的面积：利用割补法把图形分割或者补齐为规则图形从而求得图形面积．
2提升学科能力
一、题点一 有序数对
1．电影院的第3排第6座表示为，如果王佳怡电影票上的座位号为，那么她的位置是（ ）
A．第2排第4座B．第4排第2座
C．第2座第4排D．不好确定
【答案】A
【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答．
【详解】∵电影院的第3排第6座表示为，
∴王佳怡电影票上的座位号为，
该同学的位置是：第2排第4座．
故选：A．
2．下列数据中不能确定物体位置的是（ ）
A．会议室5排号B．东经，北纬
C．小河镇文化街号D．北偏东
【答案】D
【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、会议室5排号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
B、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
C、小河镇文化街号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
D、北偏东，只确定方向，不确定距离，即无法确定物体位置，故本选项符合题意．
故选：D．
3．电影票上写着“9排12座”，如果把“9排12座”记作，那么电影票“8排7座”记作 ．
【答案】
【分析】本题考查了有序数对确定位置，根据题意即可求解．
【详解】解：依题意电影票“8排7座”记作，
故答案为：．
4．如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B．若目标A的位置表示为，则目标B的位置可以表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标确定位置，解决本题的关键根据A的位置可以表示方法确定：距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数．按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．
【详解】解：∵目标A的位置表示为，
∴目标B的位置可以表示为，
故答案为：．
5．如图是游乐园的一角．
(1)如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对___________表示，碰碰车用数对___________表示，摩天轮用数对___________表示．
(2)请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了用有序实数对表示位置，数形结合是解题的关键．
（1）在数对中前面的数表示列，后面的数表示行；
（2）因每个格子表示米，所以秋千的位置是．
【详解】（1）解：如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对表示，碰碰车用数对表示，摩天轮用数对表示；
故答案为：；
（2）
二、题点二写出点的坐标
6．已知点P位于x轴下方，距离x轴a个单位长度，位于y轴右侧，距y轴b个单位长度，且，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，利用x轴下方，y轴右侧得出点位于第二象限，再利用到坐标轴的距离得出点的坐标．先利用，得到，，求出，，再利用点P位于y轴右侧，x轴下方，得到P点在第四象限．从而利用坐标特点求出点P的坐标即可．
【详解】∵，
，
∴，．
∵点P位于y轴右侧，x轴下方，
∴P点在第四象限．
又∵点P距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点P的横坐标为2，纵坐标为-4，即点P的坐标为．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且在第四象限，则点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形与坐标，点到坐标轴的距离以及点所在的象限，根据“点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且在第四象限”即可作答．
【详解】解：∵点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且在第四象限
∴点A的坐标是
故选：D
8．若点在轴上，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标，掌握在坐标轴上点的坐标特征是正确解答的前提．根据在轴上点的坐标特征，即纵坐标为0，进行解答即可．
【详解】解：点在轴上，
，
即，
当时，，
点的坐标为，
故答案为：．
9．如图，在方格纸上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点的坐标为，
∴建立平面直角坐标系，如图所示：
∴点的坐标是，
故答案为：．
10．如图，写出坐标系中各点的坐标．

【答案】，，，，，
【分析】本题考查了平面直角坐标系；
根据平面直角坐标系和各点的位置可直接写出坐标．
【详解】解：由图得：，，，，，．
三、题点三 判断点所在的象限
11．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若同号，则点可能在哪些象限？
(2)若异号，则点可能在哪些象限？
(3)若，则点的位置有哪些可能情况？
【答案】(1)点A可能在第一、三象限
(2)点A可能在第二、四象限
(3)点A可能在轴上，也可能在轴上
【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点、坐标轴上点的坐标特点．各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，坐标轴上点的坐标特点：点在x轴上，，点在y轴上，．
（1）根据各象限内点的坐标符号解答即可；
（2）根据各象限内点的坐标符号解答即可；
（3）由，从而得到或者，从而可判断出点A的位置．
【详解】（1）解：∵x、y同号，
∴点A可能在第一、三象限．
（2）∵x、y异号，
∴点A可能在第二、四象限
（3）若，则或者，
∴点A可能在轴上，也可能在轴上．
12．在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的坐标的符号特点，即第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为， 熟练掌握知识点是解题的关键，根据象限符号特地，逐项判断即可；
【详解】解：、在第三象限，故不符合题意；
、在第四象限，故不符合题意；
、在第二象限，故不符合题意；
、在第一象限，故符合题意；
故选：．
13．如果，那么点在（ ）
A．第二象限B．第四象限
C．第四象限或第二象限D．第一象限或第三象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，解题的关键是掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵，
∴与异号，
∴点在第四象限或第二象限，
故选：C．
14．在平面直角坐标系中，已知，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据第二象限内点的坐标特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，即可解答．
【详解】解：，
．
，
点在第二象限．
故选：B
15．已知点在第一象限，则点在第 象限．
【答案】三/3
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点在第一象限，得
．
由不等式的性质，得
，
那么点在第三象限，
故答案为：三．
16．已知当都是实数，且满足时，称点 为“好点”．
(1)判断点_______ (填“是”或“不是”)“好点”；
(2)若点是“好点”，则点在第______象限．
【答案】(1)不是；
(2)三．
【分析】
此题主要考查了点的坐标，正确掌握“好点”的定义是解题关键．
（1）根据点坐标， 代入中，求出和的值，然后代入检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“好点”的定义得出的值进而得出答案．
【详解】（1）
解：∵，
∴由题意得：，
解得：，
将代入中得：
∴不是“好点”．
（2）
解：∵点是“好点”，
解得：，
将，代入中得：
即
∴
∴点在第三象限．
四、题点四 求点到坐标轴上的距离
17．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（ ）个单位长度．
A．-5B．5C．-2D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键，根据点到坐标轴的距离的特点直接求解即可；
【详解】解：，
点P到x轴的距离是个单位长度，
故选：．
18．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是3，则a的值是（ ）
A．6B．0C．±6D．0或6
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值可得到，进而求出a的值．
【详解】解：因为点到x轴的距离是3，
所以，
解得或．
故选：D．
19．下列说法正确地有（ ）
（1）点一定在第四象限；
（2）坐标轴上的点不属于任一象限
（3）若点在坐标轴的角平分线上，则；
（4）直角坐标系中，在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了坐标点的特征，根据各象限内点的坐标特征以及坐标轴上点到坐标特征对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：（1）点一定在第四象限，错误，不一定是负数；
（2）坐标轴上的点不属于任一象限，正确；
（3）若点在坐标轴的角平分线上，则，错误，应该是或；
（4）直角坐标系中，在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是，错误，点的坐标为或，
综上所述，说法正确的是（2）共1个，
故选：A．
20．点到x轴的距离是5，到y轴距离是4，且点E在第三象限，则E点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查各个象限内点的坐标特征和点到坐标轴的距离．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】解：∵点在第三象限，到x轴的距离是5，到y轴距离是4，
∴，，
∴点E的坐标为．
故答案为：．
21．若点在第四象限，点的坐标为，则的面积为8，则的值
【答案】
【分析】本题主要考查坐标与图形，过点C作轴，垂足为E，过点B作轴，交于点D，根据列出方程即可得到结论．
【详解】解：过点C作轴，垂足为E，过点B作轴，交于点D，如图，
则有，
∵
∴
∵点在第四象限，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
解得，
故答案为：
22．已知点P坐标为．
(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________；
(2)P点到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查平面直角坐标系：
（1）y轴上的点的横坐标为0，由此求出a的值，即可求解；
（2）到两坐标轴的距离相等的点的横、纵坐标的绝对值相等，由此可解．
【详解】（1）解：点P在y轴上，
，
，
点P的坐标为，
故答案为：；
（2）点P坐标为，且P点到两坐标轴的距离相等，
，
解得：或，
点或．
五、题点五 已知坐标象限求参数范围
23．如果点不在第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．大于或等于0D．小于或等于0
【答案】C
【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据点不在第三象限得出关于y的不等式，然后求解即可．
【详解】解：∵点不在第三象限，
∴点可能在第二象限或x轴上，
∴，
故选：C．
24．如果点在第二象限，那么m 的取值范围 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查点的坐标所在象限，熟练掌握点的坐标所在象限的特征是解题的关键．根据点的坐标所在第二象限的特征进行求解即可．
【详解】解：根据题意：，
，
故答案为：．
25．在直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题考查根据点所在象限求坐标字母的取值范围，根据点在第三象限得到 ，，求解即可得到答案；
【详解】解：∵点在第三象限，
∴ ，，
解得：，
故答案为：．
26．已知点，根据下列条件求点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上．
【答案】(1)点P的坐标为
(2)点P的坐标为
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据x轴上的点纵坐标为0可得：，然后进行计算即可解答；
（2）根据y轴上的点横坐标为0可得：，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）∵点P在x轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）∵点P在y轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为．
27．已知点．
(1)若点在轴上，求的值．
(2)若点在原点的西南方向，求的值．
(3)若点在第三象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查各个象限点的坐标特征，掌握象限内点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据轴上的点纵坐标为，即可求解；
（2）根据原点的西南方向上的点，横、纵坐标相等，即可求解；
（3）根据第三象限内点的横、纵坐标为负数，即可求解．
【详解】（1）解：若点在轴上，则，
解得；
（2）若点在原点的西南方向，
则．
解得；
（3）由题意得，
解得．
28．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当点Р在y轴上时，求点Р的坐标；
(2)已知直线平行于y轴，且，求的长；
(3)试判断点Р是否可能在第二象限，并说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)不可能，见解析
【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握性质是解题的关键：
（1）根据题意得出，求出，即可得出答案；
（2）根据题意得出，求出，即可得出答案；
（3）根据题意列出不等式组，再求解即可．
【详解】（1）解：∵点在y轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）∵直线平行于y轴，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）不可能；
理由：若点P在第二象限，
则
不等式组无解，
∴点P不可能在第二象限．
六、题点六坐标与图形关系
29．将如图所示的“QQ”笑脸放置在的正方形网格中，A、B、C三点均在格点上．若A、B的坐标分别为，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．先根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，再结合平面直角坐标系可得点C坐标．
【详解】解：先根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，如图所示，
由图可得点C的坐标为，
故选：B．
30．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到三角形；
(2)将三角形向上平移4个单位，得到三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了作图平移变换，关键是确定组成图形的关键点平移后的位置．
（1）利用平面直角坐标系确定、、三点，再连接即可；
（2）首先确定、、三点向上平移4个单位后的对应点位置，再连接即可；
【详解】（1）解：如图，即为所作
（2）解：如图，即为所作，
31．已知：，，
(1)在坐标系中描出各点，画出．
(2)求的面积；
(3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)4
(3)点的坐标为或
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，注意点的位置有两个是解题的关键．
（1）根据点的坐标找到位置即可；
（2）用长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）根据的面积，求出的长即可解决问题．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，作轴于轴于．
（3）当点在轴上时，的面积，
即，
解得：．
∴点的坐标为或．
32．如图
(1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，P的坐标；
(2)在平面直角坐标系内描出点，，，．
【答案】(1)，，，
(2)见解析
【分析】本题考查了平面直角坐标系：
（1）根据坐标系中点的位置写出对应点的坐标即可；
（2）根据点的坐标在坐标系中描出对应的点即可．
【详解】（1）解：，，，
（2）解：如图
33．如图，在平面直角坐标系中、、、四点的坐标分别为，，，．
(1)在平面直角坐标系中描出各点，并画出四边形．
(2)网格中每个小正方形的边长均为1，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)14.5
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中描点、坐标与图形等知识，正确在平面直角坐标系中描出、、、四点是解题关键．
（1）在平面直角坐标系中描出各点，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：四边形的面积．
34．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出把先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后所得到的；
(2)写出点的坐标；
(3)在第四象限内的格点上找点M，使得与的面积相等，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平移变换的性质，三角形面积公式，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据图形可直接得出结果；
（3）找出点关于点的对称点，过点作再根据平行线间的距离处处相等，可得点的位置．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）由图形知，；
（3）如图所示，找出点关于的对称点，过点作，
再根据平行线间的距离处处相等，
点即为所求；或或．
七、题点七 压轴题 探索坐标规律
35．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，，根据规律探索可得，第31个点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．观察点的排列规律，算出前列的总点数，再找出第31个点位置，求解．
【详解】解：各列的点数分别为：1、2、3、4、
则前列的点数之和为：，
当，的最大整数解为：7，
在第8列，
第31个点的坐标为：
故选：D
36．如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向依次记为，，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点，各边均与轴或轴平行，若它们的边长依次是，，，…则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，正确找到坐标与正方形个数序号之间的规律是解题的关键．根据题意得出规律：各点的循环节为，余数为的点位于第三象限，余数为的点位于第二象限，余数为的点位于第一象限，余数为的点位于第四象限，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意，得到如下规律：各点的循环节为，余数为的点位于第三象限，余数为的点位于第二象限，余数为的点位于第一象限，余数为的点位于第四象限，
且第一个正方形边长为，各点纵坐标，横坐标的绝对值等于正方形个数的序号，
，
顶点是第个正方形的第三个顶点，位于第一象限，
其坐标为，
故选：D．
37．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答．
【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为
则
，
则
∴
同理得，……
观察发现，每6个点为一个循环组依次循环．
∴点的坐标与的坐标相同，为．
故选：A
38．如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
第1次运动后，动点的坐标是；
第2次运动后，动点的坐标是；
第3次运动后，动点的坐标是；
第4次运动后，动点的坐标是；
第5次运动后，动点的坐标是；
第6次运动后，动点的坐标是；
第7次运动后，动点的坐标是；
由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是．
又，
即第2024次运动后，动点的坐标是，即．
故选：D
39．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，……则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中找点的规律问题，关键是找到循环规律．根据已知点的坐标总结规律即可得解．
【详解】解： 由的坐标 可得：时，当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，当下标除以3后有余数且商为奇数时，坐标在第四象限，纵坐标为，余数为1时，横坐标为商，余数为2时，横坐标为商；当下标除以3后有余数且商为偶数时，坐标在第二象限，纵坐标为1，余数为1时，横坐标为商，余数为2时，横坐标为商．
∵，
∴点的坐标是即．
故选：B．
40．加图，把边长为1的等边三角形从原点出发沿轴正半轴方向流动，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，找出点的规律是解题的关键，先结合图形，得出的纵坐标与是相等，且为0，再得出的横坐标相差为3，即可作答．
【详解】解：如图所示：
发现的纵坐标是相等的，的纵坐标是相等的，
∴的纵坐标与是相等，且为0
∵边长为1的等边三角形
由图可得：的横坐标相差为3
∴的横坐标相差为3
即的横坐标为
∴的坐标为
故答案为：．
八、题点八 实际问题中位置的坐标表示
41．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．根据图形，则目标在第四象限，其横坐标是正数，纵坐标是负数．
【详解】解：因为目标在第四象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有B符合题意，
故选：B．
42．观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“炮”所在的位置用表示，那么“帅”所在的位置表示是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标，写出直角坐标系中点的坐标，依题意，建立平面直角坐标系，即可作答．
【详解】解：如图所示：

∴“帅”所在的位置表示是
故选：B
43．昆明三面环山，南濒滇池，沿湖风光绮丽，由于地处低纬高原而形成“四季如春”的气候，享有“春城”的美誉．下列表述能确定昆明位置的是（ ）
A．在重庆的西南方向B．距离西双版纳大约
C．位于中国西部地区D．在西安市南偏西方向，航线距离
【答案】D
【分析】本题主要考查了位置的确定，根据确定位置既要有方向，又要有距离进行求解即可．
【详解】解：A、只有方向，没有距离，不能确定位置，故A选项不符合题意；
B．只有距离，不确定方向，不能确定位置，故B选项不符合题意；
C．没有确定的距离，不能确定位置，故C选项不符合题意；
D．有确切方向和距离，可以确定位置，故D选项符合题意．
故选：D．
44．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1 mm，则图中转折点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了用坐标表示地理位置，先作辅助线，然后根据图可得到坐标，数形结合是解题的关键．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
，
∴（mm），（mm），
∴，
故答案为：．
45．住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；由题意可在图中作出坐标系，然后问题可求解．
【详解】解：由骑手A点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系：
∴小明家点的坐标为；
故答案为．
46．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)⇒⇒⇒⇒
【分析】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置和马走的路线．
【详解】（1）解：结合图形以“帅”作为基准点，则“马”所在的点的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为；
故答案为：，，
（2）解：若“马”的位置在C点，为了到达D点，则所走路线为⇒⇒⇒⇒．
九、题点九 根据方向角和距离表示位置
47．在如图所示的地图上，A是河北博物院，B是长安公园，以A为参照点，B的位置可表示为（ ）
A．西偏北，距离处B．北偏西，距离处
C．南偏东，距离处D．北偏西，距离处
【答案】B
【分析】本题考查了方位角的定义，理解方位角是解题的关键，结合图形求解即可．
【详解】解：根据图象得：以A为参照点，B的位置可表示为北偏西，距离处，
故选：B．
48．小明从学校出发，步行去少年宫（如图），行走路线正确的是（ ）
A．向南偏东行走600米B．向南偏西行走600米
C．向南偏东行走600米D．向南偏西行走600米
【答案】B
【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答．理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键．
【详解】解：小明从学校出发，步行去少年宫行走路线是：向南偏西行走米．
故选：B．
49．如图，已知线段与正东方向的夹角为，，则点相对于点的位置可以描述为 ．

【答案】北偏东且距点处
【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，由题意得出线段与正北方向的夹角为，结合即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：线段与正东方向的夹角为，
线段与正北方向的夹角为，
，
点相对于点的位置可以描述为北偏东且距点处，
故答案为：北偏东且距点处．
50．如图为某公园的平面示意图，其中，，，C为OD的中点．已知儿童游乐园距离公园入口．

(1)用方向和距离描述卫生间和游船码头相对于公园入口的位置；
(2)用方向和距离描述公园入口相对于滑冰场的位置．
【答案】(1)卫生间在公园入口北偏西的方向上，且到公园入口的距离为；游船码头在公园入口南偏东的方向上，且到公园入口的距离为
(2)公园入口在滑冰场北偏西的方向上，且到滑冰场的距离为
【分析】此题考查了用方位角和距离表示点的位置，准确求出方位角和距离是解题的关键．
（1）由题意求出，，即可得出卫生间相对于公园入口的位置，由题意可求出，，即可得出游船码头相对于公园入口的位置；
（2）作出图形，根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴卫生间在公园入口北偏西的方向上，且到公园入口的距离为；
∵，C为OD的中点．
∴
∵，，
∴游船码头在公园入口南偏东的方向上，且到公园入口的距离为；
（2）如图所示，
∵，，
∴公园入口在滑冰场北偏西的方向上，且到滑冰场的距离为
51．如图，点表示小明家，分别表示学校，高铁站，博物馆，影院，公园，且是的中点，．
(1)判断到点的距离相等的地方有哪些？
(2)以小明家为参照点，请用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置．
【答案】(1)到点距离相等的地方有影院．公园与学校．均为
(2)见解析
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．
（1）结合图象利用各方向角以及线段之间的和差关系可得答案；
（2）结合图象及位置特点，用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置，进而得出答案．
【详解】（1），
，
是的中点，
到点距离相等的地方有影院．公园与学校．均为．
（2）学校在小明家东北方向，且到小明家的距离为；
公园在小明家南偏东50°的方向上，且到小明家的距离为；
博物馆在小明家南偏东50°的方向上．且到小明家的距离为；
影院在小明家南偏西65°的方向上．且到小明家的距离为；
高铁站在小明家南偏西65°的方向上．且到小明家的距离为．
十、题点十 已知平移单位求坐标
52．在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的变化．根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解．
【详解】解：点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是，即．
故选：B．
53．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形的平移．根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解．
【详解】解：∵向左平移3个单位长度后，再向下平移1个单位长度，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：C．
54．若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可．
【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，
∵得到的，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
55．把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．让点的横坐标减5，纵坐标加4即可得到平移后点的坐标．
【详解】解：将点向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点，则点的坐标为，即，
故答案为：．
56．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位，向左平移7个单位，平移后所得的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－平移．根据平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减求解即可．
【详解】解：将点向上平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度得到的点的坐标是，即．
故答案为：．
57．在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是坐标与图形变化平移．利用点平移的坐标规律“右移加，左移减，上移加，下移减”，把点的横坐标加1，纵坐标减4即可得到点的坐标．
【详解】
解：点先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是，即．
故答案为：．
58．平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解．
【详解】解：设原来的位置坐标是，
∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，
∴，，
解得：，，
∴原来的位置坐标是．
故答案为：．
59．将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得．
【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为
点在轴上，
即，
则点的坐标为．
故选：．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征．
十一、题点十一点的坐标与平移方式
60．已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（ ）
A．（6，－9）B．（2，－6）C．（－9，6）D．（2，3）
【答案】D
【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论．
【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），
∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3），
故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
61．将点向下平移个单位，再向左平移个单位后，得到点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得到平移后的坐标，根据题意列出等式，即可求解，
本题考查了坐标的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则．
【详解】解：点向下平移个单位，得到，再向左平移个单位，得到，
根据题意得：，，解得：，，
∴，
故选：．
62．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（ ）
A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度
B．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度
C．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度
D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法；
【详解】解：，
平移方法为向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度．
故选：B．
63．已知点，现在将平面直角坐标系先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，此时点M的坐标为，则的值等于 ．
【答案】11
【分析】本题考查了平面直角坐标系中，点坐标的平移变换规律，掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．根据平面直角坐标系中，点坐标的平移变换规律得出关于a、b的等式，然后求解即可得．
【详解】解：将平面直角坐标系先向左平移1个单位长度，之后又向下平移4个单位长度相当于将点先向右平移1个单位长度，之后又向上平移4个单位长度，
由点坐标的平移变换规律得：，即，
则，
解得，
，
故答案为：11．
64．在平面直角坐标系中，点向上平移1个单位，再向左平移2个单位后与点重合，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据向左移，横坐标减，向上移纵坐标加得到，据此代值计算即可．
【详解】解；∵在平面直角坐标系中，点向上平移1个单位，再向左平移2个单位后的与点重合，
∴，
∴，
故答案为：．
65．如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】或/或
【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；设平移后点P、Q的对应点分别是、，分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上，再按平移的特征分别求解即可；
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是、，
当在y轴上，在x轴上，
则横坐标为0，纵坐标为0，
，
，
点P平移后的对应点的坐标是，
当在x轴上，在y轴上，
则纵坐标为0，横坐标为0，
，
，
点P平移后的对应点的坐标是．
综上所述，点P平移后的对应点的坐标是或．
66．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，．将线段，，沿x轴或y轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点B与点C平移后的对应点均为点O，则线段需先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度．
【答案】 3 2
【分析】本题主要考查了平移变换，已知平移前后的坐标，判断平移方式，正确掌握平移的规律，是解题关键．先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段，的平移规律，得出点A、D平移后的坐标，即为点F、E平移后坐标，再利用平移的规律得出线段的平移单位．
【详解】解：设平移后的线段为，如图所示：
∵点B与点C平移后的对应点均为点O，
∴线段沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为，
线段沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为，
∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，且，，
∴点E需平移到，点F需平移到，
∵，，，，
∴线段需先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
故答案为：3，2．
67．三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的．
(1)分别写出点、、的坐标；
(2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
(3)若点是三角形ABC内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出的坐标
【答案】(1)，，
(2)向左平移4个单位，向下平移2个单位得到
(3)点的坐标为．
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，准确识图是解题的关键．
（1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可；
（2）根据图形，从点A、的变化写出平移规律；
（3）根据平移规律写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：由图可得：，，；
（2）解：由图可知：，，
∴点A向左平移4个单位，向下平移2个单位得到，
∴向左平移4个单位，向下平移2个单位得到；
（3）解：根据平移的性质可得，点的坐标为．
68．如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标______；
(3)若将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向______，平移的距离______．
【答案】(1)图见解析，
(2)
(3)沿直线的方向，5
【分析】本题考查坐标与平移，掌握平移的性质，是解题的关键．
（1）根据平移的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（2）根据点的平移规则：左减右加，上加下减，求解即可；
（3）根据平移的性质，求出的长度，作答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图可知：；
（2）∵向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
∴；
故答案为：
（3）由勾股定理，得：，
∴将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向为沿着直线的方向，平移5个单位得到；
故答案为：沿直线的方向，5．
69．如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．

(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标 ；
(3)若将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向 ，平移的距离 ．
【答案】(1)图见解析，
(2)
(3)沿直线的方向，5
【分析】本题考查了平面直角坐标系网格作图，图形的平移；掌握点的平移规律：“左减右加，上加下减．”是解题的关键．
（1）按要求作出图形，写出坐标，即可求解；
（2）根据点的平移规律：左减右加，上加下减，写出坐标，即可求解；
（3）按对应点平移，用勾股定理求出对应点连线段长度，即可求解；
【详解】（1）解：如图，即为所求；

由图可知：；
（2）解：向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
；
故答案为：；
（3）解：由勾股定理，得：
；
将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向为沿着直线的方向，平移5个单位得到；
故答案为：沿直线的方向，5．
十二、题点十二 平移的综合问题
70．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，且点，，的对应点分别是，，．

(1)分别画出和；
(2)若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则的坐标为（_______，_______）；
(3)求的面积．
【答案】(1)作图见解析
(2)，
(3)6
【分析】（1）根据平方数，绝对值的性质求出的值，确定的位置，根据图形平移的规律即可求解；
（2）图形上的平移与点的平移规律一样，根据图形的平移规律即可求解；
（3）根三角形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：在中，
∵，，
∴，解得，，
∴的顶点，，，
向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示，

∴即为所求图形．
（2）解：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，线段上有一点，
∴线段上有一点的坐标为，
∴故答案为：，．
（3）解：∵的顶点，，，
∴，点到的距离为，
∴．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移的规律，两点之间线段长度的计算方法，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
71．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B的坐标分别为，请解答下列问题：

(1)直接写出点C的坐标；
(2)将先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），画出；
(3)直接写出（2）中四边形的面积为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据A，B两点坐标，画出平面直角坐标系即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（3）把四边形面积看成两个三角形和一个梯形面积之和即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示：；

（2）如图，即为所求；
（3）四边形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求四边形面积．
72．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点．
(1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到；
(2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出；
(3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量．
【答案】(1)；
(2)图见解析；
(3)使，满足条件的平移量有、、、、．
【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据“平移量”的定义判断即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；
（3）过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，取格点，使，即可得出点平移量．
【详解】（1）解：依题意可知，点在点的左侧个单位，上方个单位，
∴点可看作点按“平移量”平移得到，
故答案为：．
（2）解：点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，依次连接、、，如图：

∴为所求的三角形．
（3）解：要使，则点到的距离等于点到的距离，所以过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，如图：
在网格上取格点，则，
∴由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
∴使，满足条件的平移量有、、、、．
73．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为．
(1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标；
(2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标．
(3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的坐标为或
(3)存在，时，P的坐标为或，时，P的坐标为
【分析】
（1）根据点是点的“阶华益点”求解即可；
（2）根据点的“阶华益点”位于坐标轴上，构建方程求解；
（3）的“阶华益点（为正整数）”的坐标为，根据四边形的面积为6，构建方程求解．
【详解】（1）解：由题可得：，，
∴点P的“3阶华益点”的坐标为．
（2）
解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到，
∴，
∴， ，
∴P1的“阶华益点”P2的坐标为，
又∵位于坐标轴上，
∴或，
∴或，
∴的坐标为或．
（3）
：设的“m阶华益点”的坐标为，过点作，分别交轴、轴于，，

∵，
∴，
又∵，
∴根据三角形的等积变形原理得：，
∴斜边上的高为，斜边上的高为，
设等腰直角三角形的直角边为，
∴
∴
解之得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，均为正整数，
∴①当，即时，，
则或，
∴，
②当，即时，，
则，
∴，
综上所述，时，P的坐标为或，时，P的坐标为．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
74．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且．

(1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______
(2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或，理由见解析
【分析】（1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可；
（2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形：①当点M在点H的上方时，；②当点M在线段上(不与C，H重合)时，，由平行线的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
点C在x轴的负半轴，
，
故答案为：，；
（2）点P在x轴上，设，
，
由题意得：，
解得：或，
或；
（3）①当点M在点H的上方时，，
证明：设交于J，
，
，
，
；
②当点M在线段上(不与C，H重合)时，，

作，
，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
75．如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．

(1)求C，D两点的坐标及四边形的面积；
(2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由；
(3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标．
【答案】(1)；四边形的面积为20；
(2)不变，，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）根据条件确定A，B坐标，根据平移得到C，D两点的坐标；由A，B，C，D坐标确定四边形底和高，即可求面积；
（2）过点作的平行线，根据平行线的性质可得；
（3）设M坐标为，根据，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标．
【详解】（1）解：
将点A，B分别向下平移4个单位，向左平移1个单位
故答案为：，四边形的面积为20；
（2）由（1）中、，可得；
如下图所示，过点作
，不发生变化；

（3）如下图所示，过作交于点F，设点
即
解得：，；
故答案为：．

【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式，关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．
P(x，y)的平移方式(a＞0，b＞0)
平移后的坐标
点的平移方式
左右平移
向右平移a个单位长度
(x＋a，y)
向左平移a个单位长度
(x－a，y)
上下平移
向上平移b个单位长度
(x，y＋b)
向下平移b个单位长度
(x，y－b)