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北师大版七年级数学下学期期中复习专题01 整式的乘除（知识清单+18题型）
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1夯实必备知识
一．幂的运算
1．同底数幂的乘法：（m，n都是正整数）
2．幂的乘方：（m，n都是正整数）
3．积的乘方：（n是正整数）
4．同底数幂的除法：（，m，n都是正整数，且）
①零指数幂：
②负整数指数幂：（，p是正整数）
二．整式的乘法
1．单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
2．单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．两个乘法公式：
①平方差公式：
②完全平方公式：
三．整式的除法
1．单项式除以单项式：单项式与单项式相除，把它们的系数、同底数幂分别相除，作为商的因式．对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
2．多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
2提升学科能力
一、题点一 同底数幂的乘法运算
1．下列四个算式：①；②；③；④．其中计算正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，根据同底数幂的乘法法则以及同类项合并一一判断即可．
【详解】解：①，故①错误，
②与不是同类项，不能合并，故②错误，
③，故③错误，
④，故④错误，
故选：A．
2．计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据底数不变，指数相加计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
3．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法；
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式，
故选：C．
4．已知，则 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算．根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：20．
5．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法和整式的减法运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和整式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
二、题点二 同底数幂的除法运算
6．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的运算，合并同类项，对于A，根据同类项的定义判断，对于B，根据幂的乘方法则计算并判断，对于C，D，根据同底数幂乘法和除法法则计算，并判断．
【详解】A．不能合并，所以A不正确，该选项不符合题意；
B．，所以B不正确，该选项不符合题意；
C．，所以C不正确，该选项不符合题意；
D．，所以D正确，该选项符合题意．
故选：D．
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方运算法则计算出各项后再进行判断即可．
【详解】解：A． ，故选项A计算错误，不符合题意；
B． ，故选项B计算错误，不符合题意；
C． ，故选项C计算错误，不符合题意；
D． ，故选项D计算正确，符合题意；
故选：D
8．下列各式计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
依次根据定义化简每一项即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的运算；
（1）先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算，即可求解；
（2）先化成同底数，将（）看作整体，进行同底数幂的除法运算，再进行加减运算，即可求解；
掌握幂的运算公式：，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
三、题点三同底数幂乘法的逆用
10．可以改写成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得，本题考查了同底数幂乘法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选B．
11．已知：，，则（ ）
A．12B．C．32D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
12．若，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可．
【详解】解；∵，
∴，
故答案为：10．
13．已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)24
(2)768
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）逆用幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴．
四、题点四同底数幂除法的逆用
14．若，则的值是（ ）
A．192B．4C．D．8
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，代入计算即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
15．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法．根据逆用同底数幂的除法运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
16．已知、满足，求的值
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，再根据同底数幂的除法，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
17．已知，
(1)________；
(2)当时，求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)400
(2)2
(3)64
【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方及其逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）逆用幂的乘方法则计算即可；
（2）逆用同底数幂相除法则计算即可；
（3）由（2）得出：，然后把转化为，再逆用幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：400；
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）知：，
∴
．
五、题点五 幂的乘方运算
18．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数的幂的乘法和除法，幂的乘方，掌握法则的逆用是解题的关键．
先逆用同底数的幂的乘法和除法的法则，再逆用幂的乘方的法则，最后整体代入计算即可．
【详解】∵，，
∴
故答案为：．
19．已知，，则（ ）
A．B．C．D．15
【答案】C
【分析】本题考查幂的乘方及同底数幂的除法的逆用，熟练运用法则是正确解决本题的关键．先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方运算法则将式子变形再整体代入即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：C．
20．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方．根据同底数幂的除法和幂的乘方运算计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
21．已知，则 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法和逆运算，负整数指数幂运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
22．计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可；
（2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则运算得出即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
六、题点六 积的乘方运算
23．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查积的乘方，积的乘方的法则：，掌握法则是解题的关键
根据积的乘方法则计算后判定即可．
【详解】
故选：D．
24．下列计算中：①；②；③；④，错误的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算指数是相乘是解题的关键．
【详解】解：①，原式计算错误；
②，原式计算错误；
③，原式计算错误；
④，原式计算错误；
∴计算错误的有4个，
故选：D．
25．式子化简后的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则分别计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：D．
26．已知，，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可．
【详解】
把，，代入，得
原式．
故答案为：11．
27．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了积的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据积的乘方法则计算即可；
（2）根据积的乘方法则计算即可；
（3）先进行积的乘方计算，然后合并同类项即可；
（4）先进行积的乘方计算，然后合并同类项即可；
【详解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
；
七、题点七幂的乘方的逆用
28．若，，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．18
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，以及幂的乘方的逆用，利用相关运算法则将变形为，再将，代入求值，即可解题．
【详解】解：，
，，
上式，
故选：D．
29．若，则m的值是 ，若，则m的值是
【答案】 4 4
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算和幂的乘方计算，根据同底数幂乘法可得，则解之即可得到答案；根据同底数幂乘法和幂的乘方计算法则得到，则解之即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4；4．
30．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则变形，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
31．已知，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂乘法，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．由题意可知，将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：9．
32．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法与除法、负整数指数幂，由得出，将化简为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
．
八、题点八积的乘方的逆用
33．若a与b互为倒数，的结果是（ ）
A．B．aC．D．1
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的意义和积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键；
依据倒数的定义可得到，然后逆用积的乘方法则进行计算即可．
【详解】a与b互为倒数，
，
，
故选：C．
34．=（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用，熟悉其运算规则即可解决．
【详解】解：
故选：B．
35．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算直接计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
36．1）已知，．求的值；
（2）已知，．用a，b表示的值；
（3）已知为正整数，且．求的值．
【答案】（1）5184；（2）；（3）2450
【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用．
（1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决；
（2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决；
（3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）∵，
∴
．
九、题点九用科学计数法表示小于1的数及其还原
37．石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
38．细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米），将用科学记数法表示应写成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：将用科学记数法表示应写成；
故选：D．
39．与相等的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法表示极小数与小数之间关系的转换，结合科学记数法表示数的定义还原得到即可得到答案，熟记科学记数法表示极小数与小数之间的转换是解决问题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
40．一个平板电脑的电子元件的直径为，请将用科学记数法表示可记为 ．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，能够数清小数点移动的位数进而确定n的取值是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
41．某种细菌直径约为，将0.00000059用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ；
故答案为：．
42．将下列用科学记数法表示的数还原：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 6200000
【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：6200000；；；．
十、题点十零指数幂和负整数幂的意义
43．计算的结果是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据零指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，熟知非零底数的零指数幂的结果为1是解题的关键．
44．若成立，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】利用零指数的运算法则解题即可．
【详解】J解：∵
∴
解得
故选B．
【点睛】本题考查零指数的运算，掌握零指数的地鼠不能为零是解题度关键．
45．若 有意义，则的取值范围是( )
A．B．
C．或D．
【答案】D
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂的意义，列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的范围．
【详解】∵（x-3）0-2（3x-6）-2有意义，
∴，
解得：x≠3且x≠2．
故选D．
【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的知识，即：零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：．
46．若有意义，则x取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质得出答案．
【详解】解：若有意义，
则且，
解得：且．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
47．代数式可以表示的是（ ）
A．2的相反数B．2的绝对值C．2的倒数D．2与1的差
【答案】C
【分析】先计算负整数指数幂，然后根据倒数的定义即可得出结果．
【详解】解：
∴可以表示的是2的倒数，
故选：C．
【点睛】题目主要考查负整数指数幂的运算及倒数的定义，熟练掌握运算法则是解题关键．
十一、题点十一幂的混合运算
48．计算的结果是（ ）
A．aB．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及积的乘方运算；分别计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法即可．
【详解】解：，
故选：B．
49．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查了合并同类项及幂的运算，正确理解合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则及幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，，所以A选项错误，不合题意；
选项B，，所以B选项错误，不合题意；
选项C，，所以C选项错误，不合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
50． ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则和同底数幂相乘的运算法则是解题的关键．
运用单项式乘以单项式法则计算即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
51．计算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)a
(2)
(3)6
(4)
【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可；
（2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可；
（3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可；
（4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
52．计算：
(1)
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)，．
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值：
（1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解；
（2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可；
（3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式
十二、题点十二整式乘法的运算
53．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方和单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选C．
54．已知，则代数式的值为（ ）
A．0B．2C．1D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
55．当时，代数式的值是（ ）
A．B．C．D．98
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再把a的值代入计算即可求出答案．
【详解】
当时，
原式
故选：A．
56．下列各式计算结果是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于对多项式的乘法法则的熟练掌握．利用整式乘法一一验证即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：D．
57．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算乘方，再算加减，即可求解；
（2）根据单项式的乘除法法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可；
（4）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
58．某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是．
(1)求这个多项式
(2)正确的计算结果应该是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．
（1）用错误结果减去，可得出原式；
（2）用计算出的原式乘得出正确结果．
【详解】（1）解：这个多项式是：
，
（2）正确的计算结果为：．
十三、题点十三利用整式的乘法求字母的值
59．若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
60．已知，则的值是（ ）
A．B．8C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把化简，求出a，b，c的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
．
故选：B．
61．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17B．C．D．-17
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∵，当x为任意数时该等式都成立，
∴，
∴
故选：B
62．已知的运算结果中不含的一次项，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，正确理解结果不含关于字母的一次项即一次项系数为是关键．多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，依据法则运算，展开式不含关于字母的一次项，那么一次项的系数为，就可求的值．
【详解】解：
，
根据题意得：，
，
故答案为：．
63．要使中不含有的四次项，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解．
【详解】解：
，
∵中不含有的四次项，
∴，
∴．
故答案为：2
64．若对任意都成立，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
原式子对任意都成立，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
65．已知的展开式中不含项，试求的值．
【答案】
【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项，列出关于a的方程，求出a的值即可．
【详解】解：
，
由结果不含项，得到，
解得：．
66．关于x的代数式化简后不含有项和常数项．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键．
（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答；
（2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答．
【详解】（1）解：
，
∵不含和常数项，
∴，，
∴，．
（2）解：，
由（1）知，，
原式．
十四、题点十四 整式除法的相关运算
67．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
68．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查整式的除法，先把被除式因式分解，然后运算除法计算是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
69．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可．
【详解】解：（1）
；
故答案为：
（2）
．
故答案为：
70．已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)
(2)，
【分析】
本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
71．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）先计算单项式乘多项式和积的乘方，再合并同类项，然后计算单项式除以单项式即可；
（2）先根据多项式除以单项式，完全平方公式的法则进行计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
十五、题点十五两个公式的基本运算
72．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特点逐项判断即得答案；平方差公式是.
【详解】解：A、，能运用平方差公式进行运算；
B、，不能运用平方差公式进行运算；
C、，能运用平方差公式进行运算；
D、，能运用平方差公式进行运算．
故选：B.
73．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算．根据题意逐项计算即可．
【详解】A. ，此选项不正确；
B. ，此选项不正确；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项不正确．
故选：C．
74．计算： ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、运用平方差公式进行运算，正确运算是解题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：；．
75．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活应用，熟记完全平方公式是解本题的关键；
（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）直接利用完全平方公式计算即可；
（3）直接利用完全平方公式计算即可；
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：，，
76．用乘法公式简便计算：．
【答案】1
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
77．运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键；
（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）逐步利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
78．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算 ．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
，
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)_________；
(2)_________；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，平方差公式，同底数幂的乘法：
（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（3）分与两种情况，化简得到结果即可．
【详解】（1）解：原式
，
故答案为：；
（2）解：原式
，
故答案为： ；
（3）解：当时，
原式
；
当时，
原式．
79．先化简，再求值，其中，．
【答案】，．
【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，利用平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项即可，正确运用乘法公式化简是解题关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
十六、题点十六 完全平方公式的代数应用
80．若，，则的值为（ ）
A．9B．C．18D．
【答案】C
【分析】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的变形应用．根据完全平方公式进行变形即可求解．
【详解】∵，
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
81．若方程的左边是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．6B．2C．6或D．2或6
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式，根据题意，由完全平方公式求解，结合多项式相等的条件即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
【详解】解：方程的左边是一个完全平方式，
，即，
，解得或，
故选：C．
82．把加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，这个单项式是 ．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式得出结论即可．
【详解】解：∵，或 ，或 ，
∴或或或，
故答案为：或或或．
83．已知，则的值为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：20．
84．若是完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
85．如果多项式是完全平方式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵多项式是完全平方式，，
∴，
∴．
故答案为：．
86．已知：，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：，．
（1）根据完全平方公式得出，再代入求出答案即可；
（2）根据完全平方公式得出，即可解答．
【详解】（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
87．阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，
则，，
，
能决问题：
(1)著满足．则______；
(2)若满足，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本题考查完全平方公式的应用：
（1）根据直接求解即可得到答案；
（2）根据直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设，，
则，，
，
故答案为：；
（2）解：设，，
则，，
．
十七、题点十七两个公式的几何应用
88．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：，
图（2）中阴影部分的面积为：，
过程可以验证．
故选：C．
89．）如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】设矩形的长为，宽为，根据题意由正方形和的面积之和为17，可得，矩形的周长是10，可得，根据完全平方公式的变式可得，代入计算即可算出的值，即可得出答案．
【详解】解：设矩形的长为，宽为，
根据题意可得，，
，
则，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据题意应用完全平方公式的变式进行求解是解决本题的关键．
90．如图，大正方形与小正方形的面积之差是80，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由，即可求解；表示出阴影部分面积是解题的关键．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意得
，
；
故答案：．
91．长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这个长方形的面积为12，
故答案为：12．
92．如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：．
(1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
(2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题：
①；
②．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5050
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，将整式运算与几何图形结合是解题关键．
（1）拼法一：将原图片剪成两部分，它们分别是边长为、和、的矩形，可以拼成一个边长为、的矩形；
拼法二：沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们得高重合，拼成一个等腰梯形；
拼法三：将原图沿小正方形的边剪开，分成三个矩形，将三个矩形拼成一个大矩形；
（2）①将2拆成，再根据平方差公式依次计算即可；
②将相邻两个整数的平方差按公式展开，化为连续的整数和计算即可e．
【详解】（1）解：拼法一：
拼法二：
拼法三：
（2）解：①
；
②
．
93．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键.
（1）根据面积公式计算即可；
（2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可；
（3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可．
【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：.
故答案为：；
（2）由图可知：.
故答案为：；
（3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为，
又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24
∴两个关于m，n的等式为：，．
十八、题点十八 压轴题：正式乘法的规律性问题
94．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得第四行的数字分别为1、4、6、4、1，再根据的展开式求得、，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
由题意可得，，
故选：C．
95．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：如图所示，将图1中等号右边的式子的各项系数排成如图2所示的形式，即“杨辉三角”，观察这些系数的规律，可得： ，且第7排的第三个数是 ．
【答案】 15
【分析】本题考查通过寻找规律解数学问题，完全平方公式，发现展开式系数规律是求解本题的关键．根据“杨辉三角”找到展开式的规律即可．
【详解】解：由“杨辉三角”得：的展开式是一个五次六项式，对a是降幂排列，对b是升幂排列，每项次数均是五次，其展开式的系数为：1，5，10，10，5，1，
∴．
由“杨辉三角”得：第七排为：1，6，15，20，15，6，1，
∴第7排的第三个数是15．
故答案为：；15．
96．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（＝，，，，，）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数，，，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数，，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为 ．
【答案】/
【分析】题主要考查了整式的运算和规律探索，根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．
【详解】解：解：当、、、、时，
展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16，，
由此可得，展开式的各项系数之和为，
∴展开式中各项系数的和为，
故答案为：．
97．“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将展开后，各项的系数和为______．
（2）将展开后，各项的系数和为______．
（3）______．
如图是著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
（4）若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______．
【答案】（1）32（2）（3）（4），
【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键．
（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为；
（2）根据规律可得结论；
（3）把展开，即可得出答案；
（4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ，经过计算可得结论．
【详解】（1）由图可知：的各项系数和为；
的各项系数和为；
的各项系数和为；
的各项系数和为；
∴的各项系数和为；
故答案为：32；
（2）由（1）可得：的各项系数和为；
故答案为：；
（3）由图可知：，
故答案为：；
（4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是，
∴表示第六行第二个数，是，
∵第七行第一个数为，第六行第一个数为，
∴第七行第二个数为，
∵第八行第一个数为，
∴第八行第二个数为：，第八行第三个数为，
∴表示第八行的第三个数，即为；
故答案：，．
98．观察下列各式：
…
(1)根据以上规律，则 ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：
．
(3)根据上述的规律，求的值．
(4)根据上述的规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．
（1）根据规律可得出结果；
（2）由规律得出的指数为，即可得出答案；
（3）将1写为，再根据规律计算即可；
（4）根据规律分别计算和，再将原式分为两部分计算即可得出答案．
【详解】（1）由规律得：；
故答案为；
（2）；
故答案为．
（3）
（4）
，
，
．
1夯实必备知识
一．幂的运算
1．同底数幂的乘法：（m，n都是正整数）
2．幂的乘方：（m，n都是正整数）
3．积的乘方：（n是正整数）
4．同底数幂的除法：（，m，n都是正整数，且）
①零指数幂：
②负整数指数幂：（，p是正整数）
二．整式的乘法
1．单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
2．单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．两个乘法公式：
①平方差公式：
②完全平方公式：
三．整式的除法
1．单项式除以单项式：单项式与单项式相除，把它们的系数、同底数幂分别相除，作为商的因式．对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
2．多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
2提升学科能力
一、题点一 同底数幂的乘法运算
1．下列四个算式：①；②；③；④．其中计算正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，根据同底数幂的乘法法则以及同类项合并一一判断即可．
【详解】解：①，故①错误，
②与不是同类项，不能合并，故②错误，
③，故③错误，
④，故④错误，
故选：A．
2．计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据底数不变，指数相加计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
3．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法；
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式，
故选：C．
4．已知，则 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算．根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：20．
5．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法和整式的减法运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和整式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
二、题点二 同底数幂的除法运算
6．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的运算，合并同类项，对于A，根据同类项的定义判断，对于B，根据幂的乘方法则计算并判断，对于C，D，根据同底数幂乘法和除法法则计算，并判断．
【详解】A．不能合并，所以A不正确，该选项不符合题意；
B．，所以B不正确，该选项不符合题意；
C．，所以C不正确，该选项不符合题意；
D．，所以D正确，该选项符合题意．
故选：D．
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方运算法则计算出各项后再进行判断即可．
【详解】解：A． ，故选项A计算错误，不符合题意；
B． ，故选项B计算错误，不符合题意；
C． ，故选项C计算错误，不符合题意；
D． ，故选项D计算正确，符合题意；
故选：D
8．下列各式计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
依次根据定义化简每一项即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的运算；
（1）先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算，即可求解；
（2）先化成同底数，将（）看作整体，进行同底数幂的除法运算，再进行加减运算，即可求解；
掌握幂的运算公式：，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
三、题点三同底数幂乘法的逆用
10．可以改写成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得，本题考查了同底数幂乘法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选B．
11．已知：，，则（ ）
A．12B．C．32D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
12．若，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可．
【详解】解；∵，
∴，
故答案为：10．
13．已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)24
(2)768
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）逆用幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴．
四、题点四同底数幂除法的逆用
14．若，则的值是（ ）
A．192B．4C．D．8
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，代入计算即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
15．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法．根据逆用同底数幂的除法运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
16．已知、满足，求的值
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，再根据同底数幂的除法，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
17．已知，
(1)________；
(2)当时，求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)400
(2)2
(3)64
【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方及其逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）逆用幂的乘方法则计算即可；
（2）逆用同底数幂相除法则计算即可；
（3）由（2）得出：，然后把转化为，再逆用幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：400；
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）知：，
∴
．
五、题点五 幂的乘方运算
18．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数的幂的乘法和除法，幂的乘方，掌握法则的逆用是解题的关键．
先逆用同底数的幂的乘法和除法的法则，再逆用幂的乘方的法则，最后整体代入计算即可．
【详解】∵，，
∴
故答案为：．
19．已知，，则（ ）
A．B．C．D．15
【答案】C
【分析】本题考查幂的乘方及同底数幂的除法的逆用，熟练运用法则是正确解决本题的关键．先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方运算法则将式子变形再整体代入即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：C．
20．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方．根据同底数幂的除法和幂的乘方运算计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
21．已知，则 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法和逆运算，负整数指数幂运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
22．计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可；
（2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则运算得出即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
六、题点六 积的乘方运算
23．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查积的乘方，积的乘方的法则：，掌握法则是解题的关键
根据积的乘方法则计算后判定即可．
【详解】
故选：D．
24．下列计算中：①；②；③；④，错误的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算指数是相乘是解题的关键．
【详解】解：①，原式计算错误；
②，原式计算错误；
③，原式计算错误；
④，原式计算错误；
∴计算错误的有4个，
故选：D．
25．式子化简后的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则分别计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：D．
26．已知，，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可．
【详解】
把，，代入，得
原式．
故答案为：11．
27．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了积的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据积的乘方法则计算即可；
（2）根据积的乘方法则计算即可；
（3）先进行积的乘方计算，然后合并同类项即可；
（4）先进行积的乘方计算，然后合并同类项即可；
【详解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
；
七、题点七幂的乘方的逆用
28．若，，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．18
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，以及幂的乘方的逆用，利用相关运算法则将变形为，再将，代入求值，即可解题．
【详解】解：，
，，
上式，
故选：D．
29．若，则m的值是 ，若，则m的值是
【答案】 4 4
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算和幂的乘方计算，根据同底数幂乘法可得，则解之即可得到答案；根据同底数幂乘法和幂的乘方计算法则得到，则解之即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4；4．
30．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则变形，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
31．已知，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂乘法，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．由题意可知，将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：9．
32．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法与除法、负整数指数幂，由得出，将化简为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
．
八、题点八积的乘方的逆用
33．若a与b互为倒数，的结果是（ ）
A．B．aC．D．1
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的意义和积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键；
依据倒数的定义可得到，然后逆用积的乘方法则进行计算即可．
【详解】a与b互为倒数，
，
，
故选：C．
34．=（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用，熟悉其运算规则即可解决．
【详解】解：
故选：B．
35．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算直接计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
36．1）已知，．求的值；
（2）已知，．用a，b表示的值；
（3）已知为正整数，且．求的值．
【答案】（1）5184；（2）；（3）2450
【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用．
（1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决；
（2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决；
（3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）∵，
∴
．
九、题点九用科学计数法表示小于1的数及其还原
37．石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
38．细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米），将用科学记数法表示应写成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：将用科学记数法表示应写成；
故选：D．
39．与相等的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法表示极小数与小数之间关系的转换，结合科学记数法表示数的定义还原得到即可得到答案，熟记科学记数法表示极小数与小数之间的转换是解决问题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
40．一个平板电脑的电子元件的直径为，请将用科学记数法表示可记为 ．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，能够数清小数点移动的位数进而确定n的取值是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
41．某种细菌直径约为，将0.00000059用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ；
故答案为：．
42．将下列用科学记数法表示的数还原：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 6200000
【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：6200000；；；．
十、题点十零指数幂和负整数幂的意义
43．计算的结果是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据零指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，熟知非零底数的零指数幂的结果为1是解题的关键．
44．若成立，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】利用零指数的运算法则解题即可．
【详解】J解：∵
∴
解得
故选B．
【点睛】本题考查零指数的运算，掌握零指数的地鼠不能为零是解题度关键．
45．若 有意义，则的取值范围是( )
A．B．
C．或D．
【答案】D
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂的意义，列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的范围．
【详解】∵（x-3）0-2（3x-6）-2有意义，
∴，
解得：x≠3且x≠2．
故选D．
【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的知识，即：零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：．
46．若有意义，则x取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质得出答案．
【详解】解：若有意义，
则且，
解得：且．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
47．代数式可以表示的是（ ）
A．2的相反数B．2的绝对值C．2的倒数D．2与1的差
【答案】C
【分析】先计算负整数指数幂，然后根据倒数的定义即可得出结果．
【详解】解：
∴可以表示的是2的倒数，
故选：C．
【点睛】题目主要考查负整数指数幂的运算及倒数的定义，熟练掌握运算法则是解题关键．
十一、题点十一幂的混合运算
48．计算的结果是（ ）
A．aB．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及积的乘方运算；分别计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法即可．
【详解】解：，
故选：B．
49．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查了合并同类项及幂的运算，正确理解合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则及幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，，所以A选项错误，不合题意；
选项B，，所以B选项错误，不合题意；
选项C，，所以C选项错误，不合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
50． ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则和同底数幂相乘的运算法则是解题的关键．
运用单项式乘以单项式法则计算即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
51．计算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)a
(2)
(3)6
(4)
【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可；
（2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可；
（3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可；
（4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
52．计算：
(1)
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)，．
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值：
（1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解；
（2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可；
（3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式
十二、题点十二整式乘法的运算
53．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方和单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选C．
54．已知，则代数式的值为（ ）
A．0B．2C．1D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
55．当时，代数式的值是（ ）
A．B．C．D．98
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再把a的值代入计算即可求出答案．
【详解】
当时，
原式
故选：A．
56．下列各式计算结果是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于对多项式的乘法法则的熟练掌握．利用整式乘法一一验证即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：D．
57．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算乘方，再算加减，即可求解；
（2）根据单项式的乘除法法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可；
（4）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
58．某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是．
(1)求这个多项式
(2)正确的计算结果应该是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．
（1）用错误结果减去，可得出原式；
（2）用计算出的原式乘得出正确结果．
【详解】（1）解：这个多项式是：
，
（2）正确的计算结果为：．
十三、题点十三利用整式的乘法求字母的值
59．若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
60．已知，则的值是（ ）
A．B．8C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把化简，求出a，b，c的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
．
故选：B．
61．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17B．C．D．-17
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∵，当x为任意数时该等式都成立，
∴，
∴
故选：B
62．已知的运算结果中不含的一次项，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，正确理解结果不含关于字母的一次项即一次项系数为是关键．多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，依据法则运算，展开式不含关于字母的一次项，那么一次项的系数为，就可求的值．
【详解】解：
，
根据题意得：，
，
故答案为：．
63．要使中不含有的四次项，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解．
【详解】解：
，
∵中不含有的四次项，
∴，
∴．
故答案为：2
64．若对任意都成立，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
原式子对任意都成立，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
65．已知的展开式中不含项，试求的值．
【答案】
【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项，列出关于a的方程，求出a的值即可．
【详解】解：
，
由结果不含项，得到，
解得：．
66．关于x的代数式化简后不含有项和常数项．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键．
（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答；
（2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答．
【详解】（1）解：
，
∵不含和常数项，
∴，，
∴，．
（2）解：，
由（1）知，，
原式．
十四、题点十四 整式除法的相关运算
67．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
68．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查整式的除法，先把被除式因式分解，然后运算除法计算是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
69．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可．
【详解】解：（1）
；
故答案为：
（2）
．
故答案为：
70．已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)
(2)，
【分析】
本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
71．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）先计算单项式乘多项式和积的乘方，再合并同类项，然后计算单项式除以单项式即可；
（2）先根据多项式除以单项式，完全平方公式的法则进行计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
十五、题点十五两个公式的基本运算
72．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特点逐项判断即得答案；平方差公式是.
【详解】解：A、，能运用平方差公式进行运算；
B、，不能运用平方差公式进行运算；
C、，能运用平方差公式进行运算；
D、，能运用平方差公式进行运算．
故选：B.
73．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算．根据题意逐项计算即可．
【详解】A. ，此选项不正确；
B. ，此选项不正确；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项不正确．
故选：C．
74．计算： ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、运用平方差公式进行运算，正确运算是解题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：；．
75．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活应用，熟记完全平方公式是解本题的关键；
（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）直接利用完全平方公式计算即可；
（3）直接利用完全平方公式计算即可；
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：，，
76．用乘法公式简便计算：．
【答案】1
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
77．运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键；
（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）逐步利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
78．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算 ．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
，
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)_________；
(2)_________；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，平方差公式，同底数幂的乘法：
（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（3）分与两种情况，化简得到结果即可．
【详解】（1）解：原式
，
故答案为：；
（2）解：原式
，
故答案为： ；
（3）解：当时，
原式
；
当时，
原式．
79．先化简，再求值，其中，．
【答案】，．
【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，利用平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项即可，正确运用乘法公式化简是解题关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
十六、题点十六 完全平方公式的代数应用
80．若，，则的值为（ ）
A．9B．C．18D．
【答案】C
【分析】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的变形应用．根据完全平方公式进行变形即可求解．
【详解】∵，
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
81．若方程的左边是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．6B．2C．6或D．2或6
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式，根据题意，由完全平方公式求解，结合多项式相等的条件即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
【详解】解：方程的左边是一个完全平方式，
，即，
，解得或，
故选：C．
82．把加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，这个单项式是 ．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式得出结论即可．
【详解】解：∵，或 ，或 ，
∴或或或，
故答案为：或或或．
83．已知，则的值为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：20．
84．若是完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
85．如果多项式是完全平方式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵多项式是完全平方式，，
∴，
∴．
故答案为：．
86．已知：，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：，．
（1）根据完全平方公式得出，再代入求出答案即可；
（2）根据完全平方公式得出，即可解答．
【详解】（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
87．阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，
则，，
，
能决问题：
(1)著满足．则______；
(2)若满足，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本题考查完全平方公式的应用：
（1）根据直接求解即可得到答案；
（2）根据直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设，，
则，，
，
故答案为：；
（2）解：设，，
则，，
．
十七、题点十七两个公式的几何应用
88．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：，
图（2）中阴影部分的面积为：，
过程可以验证．
故选：C．
89．）如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】设矩形的长为，宽为，根据题意由正方形和的面积之和为17，可得，矩形的周长是10，可得，根据完全平方公式的变式可得，代入计算即可算出的值，即可得出答案．
【详解】解：设矩形的长为，宽为，
根据题意可得，，
，
则，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据题意应用完全平方公式的变式进行求解是解决本题的关键．
90．如图，大正方形与小正方形的面积之差是80，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由，即可求解；表示出阴影部分面积是解题的关键．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意得
，
；
故答案：．
91．长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这个长方形的面积为12，
故答案为：12．
92．如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：．
(1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
(2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题：
①；
②．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5050
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，将整式运算与几何图形结合是解题关键．
（1）拼法一：将原图片剪成两部分，它们分别是边长为、和、的矩形，可以拼成一个边长为、的矩形；
拼法二：沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们得高重合，拼成一个等腰梯形；
拼法三：将原图沿小正方形的边剪开，分成三个矩形，将三个矩形拼成一个大矩形；
（2）①将2拆成，再根据平方差公式依次计算即可；
②将相邻两个整数的平方差按公式展开，化为连续的整数和计算即可e．
【详解】（1）解：拼法一：
拼法二：
拼法三：
（2）解：①
；
②
．
93．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键.
（1）根据面积公式计算即可；
（2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可；
（3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可．
【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：.
故答案为：；
（2）由图可知：.
故答案为：；
（3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为，
又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24
∴两个关于m，n的等式为：，．
十八、题点十八 压轴题：正式乘法的规律性问题
94．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得第四行的数字分别为1、4、6、4、1，再根据的展开式求得、，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
由题意可得，，
故选：C．
95．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：如图所示，将图1中等号右边的式子的各项系数排成如图2所示的形式，即“杨辉三角”，观察这些系数的规律，可得： ，且第7排的第三个数是 ．
【答案】 15
【分析】本题考查通过寻找规律解数学问题，完全平方公式，发现展开式系数规律是求解本题的关键．根据“杨辉三角”找到展开式的规律即可．
【详解】解：由“杨辉三角”得：的展开式是一个五次六项式，对a是降幂排列，对b是升幂排列，每项次数均是五次，其展开式的系数为：1，5，10，10，5，1，
∴．
由“杨辉三角”得：第七排为：1，6，15，20，15，6，1，
∴第7排的第三个数是15．
故答案为：；15．
96．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（＝，，，，，）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数，，，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数，，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为 ．
【答案】/
【分析】题主要考查了整式的运算和规律探索，根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．
【详解】解：解：当、、、、时，
展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16，，
由此可得，展开式的各项系数之和为，
∴展开式中各项系数的和为，
故答案为：．
97．“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将展开后，各项的系数和为______．
（2）将展开后，各项的系数和为______．
（3）______．
如图是著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
（4）若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______．
【答案】（1）32（2）（3）（4），
【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键．
（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为；
（2）根据规律可得结论；
（3）把展开，即可得出答案；
（4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ，经过计算可得结论．
【详解】（1）由图可知：的各项系数和为；
的各项系数和为；
的各项系数和为；
的各项系数和为；
∴的各项系数和为；
故答案为：32；
（2）由（1）可得：的各项系数和为；
故答案为：；
（3）由图可知：，
故答案为：；
（4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是，
∴表示第六行第二个数，是，
∵第七行第一个数为，第六行第一个数为，
∴第七行第二个数为，
∵第八行第一个数为，
∴第八行第二个数为：，第八行第三个数为，
∴表示第八行的第三个数，即为；
故答案：，．
98．观察下列各式：
…
(1)根据以上规律，则 ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：
．
(3)根据上述的规律，求的值．
(4)根据上述的规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．
（1）根据规律可得出结果；
（2）由规律得出的指数为，即可得出答案；
（3）将1写为，再根据规律计算即可；
（4）根据规律分别计算和，再将原式分为两部分计算即可得出答案．
【详解】（1）由规律得：；
故答案为；
（2）；
故答案为．
（3）
（4）
，
，
．
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