2024学年七年级下学期数学期中复习专题02 实数（知识清单+18题型）

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1夯实必备知识
考点一：算术平方根
算术平方根的定义：一个正数的平方等于，即，则是的算术平方根．表示为．
算术平方根的性质：
①算术平方根的双重非负性：算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0．即≥0，≥0．
非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0，即若，则0．
②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身，即．
③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．再根据这个数的正负去绝对值符号．即．
④规定0的算术平方根是0．
⑤算术平方根等于它本身的数有0和1．
算术平方根的估算：利用夹逼法对算术平方根进行估算．
考点二：平方根
平方根的定义：一个数的平方等于，即，则这个数是的平方根．表示为．
平方根的性质：
①正数的平方根有2个，分别是与，他们互为相反数．
②规定0的平方根是0．所以0的平方根只有一个，就是它本身．
③负数没有平方根．
求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算．即，则．可表示为，．
考点三：立方根
立方根的定义：一个数的立方等于，即，则这个数是的立方根，表示为．
立方根的性质：
①任何数都有立方根且只有一个．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
②一个数的立方根的立方等于它本身，即．
③一个数的立方的立方根等于它本身，即．
④一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，即．
⑤立方根等于它本身的数有0和±1．
求一个数的立方根：求一个数的立方根的运算叫做开立方，与立方运算互为逆运算．
考点四：无理数
无理数的定义：无限不循环的小数叫做无理数．
无理数的三种形式：
①开方开不尽的数．如，…
②无限不循环小数（特定结构的无限不循环小数）如0.101001000100001…（两个1之间依次多一个0）
③含有π的式子．
无理数的估算：无理数的估算多采用夹逼法进行．
考点五：实数
实数的定义：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：可根据定义分类，可根据正负分类：

注意：熟悉巩固有理数的分类．
考点六：实数的性质
实数的相反数：同有理数一样，只有符号不同的两个数互为相反数．
实数的绝对值：同有理数一样，正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数．
考点七：实数与数轴
实数与数轴的关系：同有理数一样，实数与数轴上的点存在一一对应关系．
互为相反数的两个实数在原点的两侧，且到原点距离相等．实数的绝对值表示实数到原点的距离．
考点八：实数的大小比较
任意两个实数都可以进行大小比较，正实数大于0大于负实数．两个负实数进行比较时绝对值大的反而小．数轴上右边的实数恒大于数轴上左边的实数．两个正无理数进行比较时，若根指数相同，被开方数越大则无理数越大，若被开方数不同，则可利用无理数的估算进行比较大小．
考点九：实数的简单运算
运算法则同有理数，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
对无理数进行计算时，只有根指数与被开方数相同的两个无理数才能进行加减．计算方法与合并同类项类似，根指数与被开方数不变，把它前面的数进行加减．
2提升学科能力
一、题点一 求一个数的算术平方根
1．的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．
2．实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．D．
3．4的算术平方根为 ，的平方根为
4．下列各数中，16的算术平方根的是（ ）
A．4B．C．D．42
5．（1）= ，= ，= ，= ，= ，对于任意实数0，猜想= ．
（2） ， ， ， ，对于任意非负数a，猜想 ．
二、题点二 算术平方根的非负性
6．若，则的值（ ）
A．0B．1C．D．2
7．已知，则的值为（ ）
A．3B．8C．24D．11
8．已知，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
9．若，则的算术平方根为 ．
10．已知实数、满足，则代数式的值为 ．
三、题点三 估算算术平方根的大小及其规律
11．估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
12．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
13．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
14．已知，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
15．若，则 ．
16．已知，则 ．
四、题点四 求 算术平方根的整数部分和小数部分
17．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
18．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ．
19．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
20．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
21．的整数部分是 ．小数部分是 ．
五、题点五 算术平方根的应用
22．小明想把一张面积为的正方形照片放入一个长宽比为，面积为的长方形信封中，他能将这张照片不弯折的放入此信封吗？通过计算说明你的判断．
23．一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（ ）
A．2B．C．D．
24．小屹的卧室面积为10.8平方米，房间地面恰由30块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是 米．
25．小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
(1)求此长方形信封的长和宽．
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
26．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．
(1)大正方形纸片的边长是___________；
(2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为
六、题点六 平方根的理解与求解
27．下列说法中正确的是（ ）
A．0没有平方根B．1的算术平方根是1
C．的平方根是D．0.1的算术平方根是0.01
28．下列各数中，是的平方根的是（ ）
A．B．C．D．
29．下列语句中，真命题为（ ）
A．的平方根为B．只有正数才有平方根
C．正数的平方根仍然是正数D．一定没有平方根
30．81的算术平方根是 ；的平方根是 ．
31．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ．
七、题点七 已知平方根求数
32．已知，．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
33．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．2B．C．4D．
34．如果一个正数a的两个不同平方根分别是和，则
35．已知某数的两个平方根分别是与，则 ，这个数是 ．
36．如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1．
(1)求和的值．
(2)求的算术平方根．
八、题点八 求代数式的平方根
37．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
38．若，求的平方根是 ．
39．已知的算术平方根是5，b、c满足．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
40．已知与互为相反数．
(1)求的平方根；
(2)解关于x的方程．
41．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根．
九、题点九 立方根的理解与计算
42．下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是B．的相反数是
C．平方根等于本身的数有和D．的绝对值是
43．的立方根是（ ）
A．4B．C．2D．
44．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
45．立方根为的数是( )
A．B．C．D．
46．已知一个数的平方根为与3，则a的立方根为 ．
47．的相反数是 ，绝对值是 ．的算术平方根是 ，的立方根的相反数是 ．
十、题点十已知立方根求数
48．若的立方根是4，则的平方根是（ ）
A．B．C．5D．
49．已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
50．已知3是的算术平方根，4是的立方根，求的平方根．
51．（1）已知的平方根是的立方根是2．求的值；
（2）若，且的平方根是它本身，求的立方根．
52．（1）已知，求的值；
（2）已知的算术平方根是，的立方根是3．求的平方根．
十一、题点十一 立方根的方程及其应用
53．计算：
(1)
(2)；
54．已知一个正方体木块的表面积为cm2．
(1)求这个正方体的棱长和体积；
(2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
55．求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
56．求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
57．请根据如图的对话内容回答下列问题．
(1)求魔方的棱长；
(2)求长方体纸盒的底面的边长．
十二、题点十二 无理数
58．在实数，，，中无理数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
59．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
60．在，，，，，，，，（相邻两个2之间依次多一个1）中，有理数的个数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
61．在实数中，无理数有 个．
62．把下列各数填入相应的集合内：
．
有理数集合：；
无理数集合：．
十三、题点十三 实数的分类
63．将下列各数填入相应的括号里：
．
正数集合；
整数集合；
有理数集合；
无理数集合．
64．若是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
65．下列各数0， ，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
66．下列说法正确的是（ ）
A．实数包括正有理数、负有理数和无理数B．无限小数是无理数，有限小数是有理数
C．有理数运算法则和运算律适合实数运算D．有理数和无理数之间不可以大小比较
67．把下列各数填入相应的集合：
、、、、、、、．
（1）有理数集合{ …}；
（2）无理数集合{ …}；
（3）正实数集合{ …}；
（4）负实数集合{ …}．
68．把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）．
(1)整数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
十四、题点十四 实数的性质
69．求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1)；
(2)；
(3)．
70．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
71．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
72．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
73．的相反数是 ； ．
十五、题点十五 实数与数轴
74．在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
75．点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
76．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，用“”或“”填空：a b， 0；
77．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：= ．
78．如上图所示，则C表示的数为 ．
79．如图，在数轴上，点表示的数是2，是直角三角形，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则 ，点关于点的对称点表示的数为 ．
十六、题点十六 实数的大小比较
80．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．D．
81．在4.1，，，中，绝对值最小的数是（ ）
A．4.1B．C．D．
82．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．B．C．D．
83．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
84．在实数，，中，最大的数是 ．
十七、题点十七 无理数的估算与整数小数部分
85．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，的小数部分是．又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
(1)如果的整数部分为的小数部分为，则__________，__________；
(2)已知的小数部分为的小数部分为，求的值；
(3)若，其中是整数，且，求的相反数．
86．已知蚂蚁去觅食，爬行的直线距离是，下列关于的描述，正确的是（ ）
A．是6和7之间的实数B．是7和8之间的实数
C．是8和9之间的实数D．是9和10之间的实数
87．已知，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
88．估计的值在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
89．估计的值（ ）
A．4到5之间B．3到4之间C．2到3之间D．1到2之间
90．估计的值应在（ ）
A．0与1之间B．1与2之间
C．2与3之间D．3与4之间
91．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A．B．C．1D．3
92．已知分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ．
93．大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：
(1)的整数部分为________，小数部分可以表示为________；
(2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值．
94．已知为的整数部分，是400的算术平方根，求．
十八、题点十八 实数的混合运算
95．计算：．
96．计算：．
97．计算：
(1)
(2)．
98．计算
(1)
(2)
99．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)