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人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.5铅笔头模型锯齿模型翘脚模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.5铅笔头模型锯齿模型翘脚模型(原卷版+解析)，共43页。
5.5 铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360°【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。模型三：翘脚模型模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3 模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180° 【题型一】铅笔头模型【典题】（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）A．115° B．110° C．105° D．100° 巩固练习1（）（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)2（）（2023春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．3（）（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．4（）（2023春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．问题迁移：（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．5（）（2023秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．【题型二】锯齿模型【典题】（2023春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5° 巩固练习1（）（2023秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线l1∥l2，，则（ ）A．150° B．180° C．210° D．240°2（）（2023春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）A．132° B．134° C．136° D．138°3（）（2023春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°4（）（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）A． B． C． D．5（）（2023春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．6（）（2023春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．7（）（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）A． B． C． D．8（）（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°9（）（2023春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．10（）（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）11（）（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，，则____________；(2)如图2，试说明，；(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．12（）（2023·全国·七年级假期作业）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【问题解决】(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）13（）（2023·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．14（）（2023春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？【题型三】翘脚模型【典题】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°巩固练习1（）（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）A．95° B．105° C．110° D．115°2（）（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36° B．34° C．32° D．30°3（）（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（_______）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由． 5.5 铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360°【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。模型三：翘脚模型模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3 模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180° 【题型一】铅笔头模型【典题】（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）A．115° B．110° C．105° D．100°答案:C分析：过作，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：过作，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 巩固练习1（）（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)答案:C分析：根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．【详解】解：根据题意，作，，，∵，∴，，，……∴，……∴；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．2（）（2023春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．答案:270°分析：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥ AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．3（）（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．答案:65°分析：过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．【详解】解：过点作∥，如图：，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题4（）（2023春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．问题迁移：（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．答案:（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β分析：（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.【详解】（1）∠CPD=，理由如下：如图3，过点P作PEAD交CD于点E，∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠DPE，=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：如图4，过点P作PEAD交CD于点E∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠EPD，=∠CPE∴∠CPD=∠CPE−∠EPD=；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：如图5，过点P作PEAD交CD于点E∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠DPE，=∠CPE∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.5（）（2023秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．答案:(1)70°；(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；(3)∠PGF的度数为140°．分析：（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．(1)解：过点P作PQ∥AB，∴∠1+∠EPQ=180°，∵∠1=135°，∴∠EPQ=180°-∠1=45°，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠2+∠FPQ=180°，∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°-∠2=25°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；故答案为：70°；(2)解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；(3)解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥GH∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，∵∠EPG=75°，∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．∴∠PGF的度数为140°．．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．【题型二】锯齿模型【典题】（2023春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°答案:B分析：作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 巩固练习1（）（2023秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线l1∥l2，，则（ ）A．150° B．180° C．210° D．240°答案:C分析：根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2．，．，．故选C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．2（）（2023春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）A．132° B．134° C．136° D．138°答案:B分析：过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．3（）（2023春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°答案:D分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可．【详解】详：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故选：D．【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线．4（）（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）A． B． C． D．答案:C分析：如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．【详解】解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵， ， ，∴， ， ∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．5（）（2023春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．答案:y=90°-x+z．分析：作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．6（）（2023春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．答案:∠2＋∠4＝∠1＋∠3分析：分别过点P1、P2作，，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到相应的角相等，即可得到最后答案．【详解】解：分别过点P1、P2作，，∵，∴，∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．【点睛】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，解决本题的关键是通过平行，找到相应的角的关系．7（）（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）A． B． C． D．答案:C分析：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．8（）（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°答案:C分析：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．9（）（2023春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．答案: 分析：过点P1、作直线MN∥AB，可得∠P1EB＝∠MP1E＝x°，MN∥CD，利用平行线的性质可求得∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；然后过点P2作直线GH∥AB，同理可得，以此类推： ，， ，，即可求解．【详解】解：如图，过点P1、作直线MN∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；过点P2作直线GH∥AB，∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴ ， ，同理： ，以此类推： ，， ，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，并得到规律是解题的关键．10（）（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）答案:（1）见解析；（2）55°；（3）分析：（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．【详解】解：（1）如图1，过点作，则有，，，，；（2）①如图2，过点作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为；②如图3，过点作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．11（）（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，，则____________；(2)如图2，试说明，；(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．答案:(1)(2)见解析(3)①，理由见解析；②分析：（1）如图①，过点E作EFAB．利用平行线的性质即可解决问题；（2）如图②中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．（1）解：过E点作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴（2）过E点作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．（3）①由（1）知 ，∵FA为∠BAE平分线，CF为平分线，∴ ，∴ ，即 ，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴ ，②由①知 ，∵，， ，∴ 即 ，∴ ，∵ ，∴ ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．12（）（2023·全国·七年级假期作业）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【问题解决】(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）答案:(1)∠APC=∠BAP+∠PCD(2)∠AEC=∠APC，证明见解析(3)∠APC+3∠AEC=360°分析：（1）过P作PM∥AB，可得∠BAP=∠MAP、DC∥PM，进而可得∠PCD=∠MPC，然后根据∠APC=∠APM+∠MPC运用等量代换即可解答；（2）根据（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP、∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠BAE=∠BAP、∠DCE=∠DCP，然后代入∠AEC=∠BAE+∠DCE即可；（1）设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由（1）可得∠AEC=x+y，由平行线的性质可得∠APC+3x+3y=360°，然后整理即可解答．(1)解：∠APC=∠BAP+∠PCD；过P作PM∥AB，∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，∴∠PCD=∠MPC，∵∠APC=∠APM+∠MPC，∴∠APC=∠BAP+∠PCD．(2)（2）∠AEC=∠APC，理由如下：过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．∴∠AEC=∠APC．(3)解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，∴∠APC+3∠AEC=360°，故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线、构造平行线是解答本题的关键．13（）（2023·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．答案:(1)130°(2)见解析(3)∠DEB的度数为30°分析：对于（1），过点B作平行线，即可得出AM∥BE∥NC，再根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CBE，进而得出∠ABE，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案；对于（2），过点B作平行线，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠DBF＝90°，再根据“同角的余角相等”得∠ABD＝∠CBF，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案；对于（3），设∠DEB＝x，可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x，再作，可表示∠CBE=2x，然后表示∠DBC＝90°+x，最后根据∠DBC＝2∠CBE＝4x，列出方程，求出解即可.(1)过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，∵BE∥NC，∠C＝40°，∴∠CBE＝∠C＝40°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．∵AM∥BE，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°；(2)证明：如图，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．∵BD⊥AM，∴∠ADB＝90°．∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．又∵AB⊥BC，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∴∠ABD＝∠CBF． ∵AM∥CN，∴BF∥CN，∴∠C＝∠CBF．∴∠ABD＝∠C．(3)设∠DEB＝x，由（2）可得∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠DEB，∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x． 过点B作BF∥DM，如图，∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x．∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x．∵BE平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠CBE＝4x，即4x＝90°+x，解得x＝30°．∴∠DEB的度数为30°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，同角的余角相等，角平分线的定义等，构造平行线是解题的关键．14（）（2023春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？答案:（1）∠2=∠1+∠3；（2）；（3）；（4）当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．分析：（1）过E作EMAB，推出ABEMCD，根据平行线性质得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；（2）通过作辅助线：过E作，过F作，得到，得到，，即可得:,即可得到答案：；（3）做辅助线，通过（2）可知：，再由平行得，即可，即：．（4）通过以上3个问题，发现：当时，奇数角的和等于偶数角的和．【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3，理由是：过E作EMAB，推出ABEMCD，过E作，∵ABCD，∴ABEMCD，∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；∴∠2=∠1+∠3，（2）;理由如下：过E作，过F作∵，，∴∴同理：∴即：即：已知，图中，，，之间关系：．（3）；理由如下：过点G，作由（2）可知：∵∴∴、即：（4）通过以上3个问题，发现：当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，题目比较典型，是一道比较好的题目．【题型三】翘脚模型【典题】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°答案:D分析：根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EFCD，∴∠3=∠COE，∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE，∵ABEF，∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．巩固练习1（）（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）A．95° B．105° C．110° D．115°答案:B分析：由平行的性质可知，再结合即可求解．【详解】解：故答案是：B．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．2（）（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36° B．34° C．32° D．30°答案:A分析：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．3（）（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（_______）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．答案:(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)100°；(3)∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．分析：（1）根据平行公理的推论解答；（2）过点P作PE∥AB，得到EP∥CD∥AB，证得∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°，求出∠APE=60°，∠EPC=40°，由此得到∠APC=∠APE+∠EPC=100°；（3）根据平行线的性质得到∠C、∠A、∠APC的关系．（1）解：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C，故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥CD∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°∵∠A=120°，∠C=140°，∴∠APE=60°，∠EPC=40°，∴∠APC=∠APE+∠EPC=100°，故答案为：100°；（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P，即∠C=∠A+∠APC．如图，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠A=∠APQ，∠QPC=∠C，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=∠A+∠C综上，∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．【点睛】此题考查了平行线的性质求角的关系，平行公理的推论，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.5 铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360°【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。模型三：翘脚模型模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3 模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180° 【题型一】铅笔头模型【典题】（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）A．115° B．110° C．105° D．100° 巩固练习1（）（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)2（）（2023春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．3（）（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．4（）（2023春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．问题迁移：（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．5（）（2023秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．【题型二】锯齿模型【典题】（2023春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5° 巩固练习1（）（2023秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线l1∥l2，，则（ ）A．150° B．180° C．210° D．240°2（）（2023春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）A．132° B．134° C．136° D．138°3（）（2023春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°4（）（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）A． B． C． D．5（）（2023春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．6（）（2023春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．7（）（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）A． B． C． D．8（）（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°9（）（2023春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．10（）（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）11（）（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，，则____________；(2)如图2，试说明，；(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．12（）（2023·全国·七年级假期作业）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【问题解决】(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）13（）（2023·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．14（）（2023春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？【题型三】翘脚模型【典题】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°巩固练习1（）（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）A．95° B．105° C．110° D．115°2（）（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36° B．34° C．32° D．30°3（）（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（_______）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由． 5.5 铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360°【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。模型三：翘脚模型模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3 模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180° 【题型一】铅笔头模型【典题】（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）A．115° B．110° C．105° D．100°答案:C分析：过作，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：过作，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 巩固练习1（）（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)答案:C分析：根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．【详解】解：根据题意，作，，，∵，∴，，，……∴，……∴；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．2（）（2023春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．答案:270°分析：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥ AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．3（）（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．答案:65°分析：过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．【详解】解：过点作∥，如图：，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题4（）（2023春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．问题迁移：（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．答案:（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β分析：（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.【详解】（1）∠CPD=，理由如下：如图3，过点P作PEAD交CD于点E，∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠DPE，=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：如图4，过点P作PEAD交CD于点E∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠EPD，=∠CPE∴∠CPD=∠CPE−∠EPD=；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：如图5，过点P作PEAD交CD于点E∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠DPE，=∠CPE∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.5（）（2023秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．答案:(1)70°；(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；(3)∠PGF的度数为140°．分析：（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．(1)解：过点P作PQ∥AB，∴∠1+∠EPQ=180°，∵∠1=135°，∴∠EPQ=180°-∠1=45°，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠2+∠FPQ=180°，∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°-∠2=25°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；故答案为：70°；(2)解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；(3)解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥GH∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，∵∠EPG=75°，∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．∴∠PGF的度数为140°．．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．【题型二】锯齿模型【典题】（2023春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°答案:B分析：作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 巩固练习1（）（2023秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线l1∥l2，，则（ ）A．150° B．180° C．210° D．240°答案:C分析：根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2．，．，．故选C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．2（）（2023春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）A．132° B．134° C．136° D．138°答案:B分析：过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．3（）（2023春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°答案:D分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可．【详解】详：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故选：D．【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线．4（）（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）A． B． C． D．答案:C分析：如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．【详解】解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵， ， ，∴， ， ∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．5（）（2023春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．答案:y=90°-x+z．分析：作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．6（）（2023春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．答案:∠2＋∠4＝∠1＋∠3分析：分别过点P1、P2作，，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到相应的角相等，即可得到最后答案．【详解】解：分别过点P1、P2作，，∵，∴，∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．【点睛】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，解决本题的关键是通过平行，找到相应的角的关系．7（）（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）A． B． C． D．答案:C分析：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．8（）（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°答案:C分析：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．9（）（2023春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．答案: 分析：过点P1、作直线MN∥AB，可得∠P1EB＝∠MP1E＝x°，MN∥CD，利用平行线的性质可求得∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；然后过点P2作直线GH∥AB，同理可得，以此类推： ，， ，，即可求解．【详解】解：如图，过点P1、作直线MN∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；过点P2作直线GH∥AB，∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴ ， ，同理： ，以此类推： ，， ，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，并得到规律是解题的关键．10（）（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）答案:（1）见解析；（2）55°；（3）分析：（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．【详解】解：（1）如图1，过点作，则有，，，，；（2）①如图2，过点作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为；②如图3，过点作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．11（）（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，，则____________；(2)如图2，试说明，；(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．答案:(1)(2)见解析(3)①，理由见解析；②分析：（1）如图①，过点E作EFAB．利用平行线的性质即可解决问题；（2）如图②中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．（1）解：过E点作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴（2）过E点作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．（3）①由（1）知 ，∵FA为∠BAE平分线，CF为平分线，∴ ，∴ ，即 ，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴ ，②由①知 ，∵，， ，∴ 即 ，∴ ，∵ ，∴ ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．12（）（2023·全国·七年级假期作业）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【问题解决】(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）答案:(1)∠APC=∠BAP+∠PCD(2)∠AEC=∠APC，证明见解析(3)∠APC+3∠AEC=360°分析：（1）过P作PM∥AB，可得∠BAP=∠MAP、DC∥PM，进而可得∠PCD=∠MPC，然后根据∠APC=∠APM+∠MPC运用等量代换即可解答；（2）根据（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP、∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠BAE=∠BAP、∠DCE=∠DCP，然后代入∠AEC=∠BAE+∠DCE即可；（1）设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由（1）可得∠AEC=x+y，由平行线的性质可得∠APC+3x+3y=360°，然后整理即可解答．(1)解：∠APC=∠BAP+∠PCD；过P作PM∥AB，∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，∴∠PCD=∠MPC，∵∠APC=∠APM+∠MPC，∴∠APC=∠BAP+∠PCD．(2)（2）∠AEC=∠APC，理由如下：过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．∴∠AEC=∠APC．(3)解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，∴∠APC+3∠AEC=360°，故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线、构造平行线是解答本题的关键．13（）（2023·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．答案:(1)130°(2)见解析(3)∠DEB的度数为30°分析：对于（1），过点B作平行线，即可得出AM∥BE∥NC，再根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CBE，进而得出∠ABE，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案；对于（2），过点B作平行线，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠DBF＝90°，再根据“同角的余角相等”得∠ABD＝∠CBF，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案；对于（3），设∠DEB＝x，可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x，再作，可表示∠CBE=2x，然后表示∠DBC＝90°+x，最后根据∠DBC＝2∠CBE＝4x，列出方程，求出解即可.(1)过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，∵BE∥NC，∠C＝40°，∴∠CBE＝∠C＝40°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．∵AM∥BE，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°；(2)证明：如图，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．∵BD⊥AM，∴∠ADB＝90°．∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．又∵AB⊥BC，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∴∠ABD＝∠CBF． ∵AM∥CN，∴BF∥CN，∴∠C＝∠CBF．∴∠ABD＝∠C．(3)设∠DEB＝x，由（2）可得∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠DEB，∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x． 过点B作BF∥DM，如图，∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x．∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x．∵BE平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠CBE＝4x，即4x＝90°+x，解得x＝30°．∴∠DEB的度数为30°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，同角的余角相等，角平分线的定义等，构造平行线是解题的关键．14（）（2023春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？答案:（1）∠2=∠1+∠3；（2）；（3）；（4）当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．分析：（1）过E作EMAB，推出ABEMCD，根据平行线性质得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；（2）通过作辅助线：过E作，过F作，得到，得到，，即可得:,即可得到答案：；（3）做辅助线，通过（2）可知：，再由平行得，即可，即：．（4）通过以上3个问题，发现：当时，奇数角的和等于偶数角的和．【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3，理由是：过E作EMAB，推出ABEMCD，过E作，∵ABCD，∴ABEMCD，∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；∴∠2=∠1+∠3，（2）;理由如下：过E作，过F作∵，，∴∴同理：∴即：即：已知，图中，，，之间关系：．（3）；理由如下：过点G，作由（2）可知：∵∴∴、即：（4）通过以上3个问题，发现：当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，题目比较典型，是一道比较好的题目．【题型三】翘脚模型【典题】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°答案:D分析：根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EFCD，∴∠3=∠COE，∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE，∵ABEF，∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．巩固练习1（）（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）A．95° B．105° C．110° D．115°答案:B分析：由平行的性质可知，再结合即可求解．【详解】解：故答案是：B．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．2（）（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36° B．34° C．32° D．30°答案:A分析：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．3（）（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（_______）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．答案:(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)100°；(3)∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．分析：（1）根据平行公理的推论解答；（2）过点P作PE∥AB，得到EP∥CD∥AB，证得∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°，求出∠APE=60°，∠EPC=40°，由此得到∠APC=∠APE+∠EPC=100°；（3）根据平行线的性质得到∠C、∠A、∠APC的关系．（1）解：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C，故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥CD∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°∵∠A=120°，∠C=140°，∴∠APE=60°，∠EPC=40°，∴∠APC=∠APE+∠EPC=100°，故答案为：100°；（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P，即∠C=∠A+∠APC．如图，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠A=∠APQ，∠QPC=∠C，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=∠A+∠C综上，∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．【点睛】此题考查了平行线的性质求角的关系，平行公理的推论，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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