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七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略（解析版）
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这是一份七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略（解析版），共26页。
专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略
类型一、猪脚模型
例、如图，已知直线AB∥CD∥EF，∠POQ=90°，它的顶点O在CD上，两边分别与AB、EF相交于点P、点Q，射线OC始终在∠POQ的内部.
（1）求∠1＋∠2的度数；
（2）直接写出∠3与∠4的数量关系；
（3）若∠POQ的度数为α，且0°＜α＜180°，其余条件不变，猜想∠3与∠4的数量关系（用含α的式子表示）；并说明理由.
【答案】（1）∠1+∠2=90°;（2）∠3+∠4=270°；（3）∠3+∠4=360°-α, 理由见解析.
【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=90°，∴∠1+∠2=90°；
（2）∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=270°；
（3））∵AB∥CD，∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=α，∴∠1+∠2=α；
∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=α，∴∠3+∠4=360°-α．
【变式训练1】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD．当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ．
【答案】（1）平行，理由见解析（2）∠BAE＋∠MCD＝90°，理由见解析（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP
【详解】（1）AB∥CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD；
（2）∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：过E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE＋∠MCD＝90°；
（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，
即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP．
【变式训练2】把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．
（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.
【解析】解：(1)∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，
∴∠1=40°；
(2)过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) ∠AEG+∠CFG =300°，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG −30°+∠CFG −90°=180°，
整理得：∠AEG+∠CFG =300°．
【变式训练3】直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD=∠1，∠PEB=∠2，∠FPE=∠α．
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠α=50°，故答案为50；
（2）∠α=∠1+∠2，
证明：过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD，∴PG∥CD，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∴∠α=∠3+∠4=∠1+∠2；
（3）∠α=∠2﹣∠1，
证明：过点P作PG∥CD，
∵AB∥CD，∴PG∥AB，
∴∠2=∠EPG，∠1=∠3，
∴∠α=∠EPG﹣∠3=∠2﹣∠1．
类型二、铅笔模型
例、（1）问题情境：如图1,AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度数.
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180°.
∴∠APE＝180°－∠PAB＝180°－130°＝50°.
∵AB∥CD．∴PE∥CD．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答.
（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β.
①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.
②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系.
【答案】(1)110°;(2) 详见解析
【详解】（1）剩余过程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800，
∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．
（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：过P作PQ∥AD ．
∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，同理，，
∴；
②（i）当P在BA延长线时，如图4，过P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；
（ii）当P在AB延长线时，如图5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．
【变式训练1】（1）如图①，，则_________．
如图②，，则___________．
如图③，，则___________．
如图④，，则___________．
从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论．
（2）如图⑤，，则______________．
（3）利用上述结论解决问题：如图已知，和的平分线相交于，，求的度数．
【答案】（1），，，（2）；（3）证明见解析.
（3）过点作，则.
则，又，得，故.
【详解】（1）(1)如图①,根据MA1∥NA2,可得如图②,过作PA2∥MA1，
∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，
如图③,过A2作PA2∥MA1,过A3作QA3∥MA1，
∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，
同理可得：
故答案为，，，
（2）根据可得：
（3）过点作，则.则，
又，
得，故.
【变式训练2】（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E引一条直线EF∥AB
∴∠B=∠BEF，（ ）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（ ）
∴∠D=________（ ）
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED．
（2）如图2，AB∥CD，请写出∠B+∠BED+∠D=360°的推理过程．________
（3）如图3，AB∥CD，请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=________
【答案】 两直线平行，内错角相等； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∠FED； 两直线平行，内错角相等； 如图2，过点E引一条直线EF∥AB，∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°； 540°
【解析】
【详解】根据平行线的性质及判定即可解答.
解：（1）证明：过点E引一条直线EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠D=∠FED（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED．
（2）如图，过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°.
（3）如图，过点E引一条直线EM∥AB，过点F引一条直线FN∥AB，
∵EF∥AB，∴∠B+∠BEM=180°．
∵AB∥CD，EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥NF，NF∥CD，
∴∠MEF+∠EFN=180°，∠NFD+∠D=180°，
∴∠B+∠BEM +∠MEF+∠EFN +∠NFD+∠D =180°+180°+180°=540°，
即∠B+∠BEF+∠EFD+∠D =540°.
【变式训练3】问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝ ．
【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）.
【解析】（1）∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）∠E+∠M＝60°，理由是：
设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，
∴∠E+∠M＝60°；
（3）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；故答案为：∠M＝．
类型三、拐弯模型
例．已知，直线，点为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．
（2）如图2，点在直线、之间左侧，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）；（2），见详解；（3），见详解
【解析】（1）(如图1，过点P作
，
（2）
如图2，过K作
，
，
过点P作
同理可得
与的角平分线相交于点K
（3）
如图3，过K作
，
过点P作，同理可得
与的角平分线相交于点K
，
【变式训练1】如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【答案】50°．
【详解】∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【变式训练2】如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．
（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．
（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，
∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，
即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；
（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，
∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；
∴∠3＝∠1﹣∠2．
【变式训练3】已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．
（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为________；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为________．
【答案】（1）∠3=∠1+∠2；（2）∠1=∠2+∠3;（3）∠2=∠1+∠3．
【详解】（1）解：如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2=∠DPE，∴∠3=∠1+∠2；
（2）解：如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，
∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1=∠3+∠EPD，即∠1=∠2+∠3．故答案为∠1=∠2+∠3;
（3）解：如图3，设直线AC与DP交于点F，
∵∠PFA是△PCF的外角，∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，∴∠2=∠PFA，即∠2=∠1+∠3．故答案为∠2=∠1+∠3．
课后训练
1．如图，AB∥EF，∠BCD=90°，试探索图中角α，β，γ之间的关系．
【答案】α+β﹣γ=90°．
【详解】试题解析：过点C作CM∥AB,过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
①， ②，
由①②得：
2．如图，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的关系呢？请探索．
【答案】∠1=∠2＋∠3
【解析】应满足的关系为：∠1=∠2＋∠3，
证明：
如图，延长EA交CD于点F，
∵∠1=∠2+∠3，∠4=∠2+∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD.
3．如图，已知直线l1∥l2，A，B分别是l1，l2上的点，l3和l1，l2分别交于点C，D，P是线段CD上的动点(点P不与C，D重合)．
(1)若∠1＝150°，∠2＝45°，求∠3的度数；
(2)若∠1＝α，∠2＝β，用α，β表示∠APC＋∠BPD．
【答案】（1）75°（2）α－β
【详解】解:(1)过点P向右作PE∥l1.
∵l1∥l2，∴l1∥PE∥l2，∴∠1＋∠APE＝180°，∠2＝∠BPE.
∵∠1＝150°，∠2＝45°，∴∠APE＝180°－∠1＝180°－150°＝30°，∠BPE＝∠2＝45°，
∴∠3＝∠APE＋∠BPE＝30°＋45°＝75°.
(2)由(1)知∠1＋∠APE＝180°，∠2＝∠BPE.
∵∠1＝α，∠2＝β，∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝180°－∠1＋∠2＝180°－α＋β，
∴∠APC＋∠BPD＝180°－∠APB＝180°－(180°－α＋β)＝α－β.
4.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
（1）你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
（2）请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由．
【答案】（1）（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；图③：∠BED＝∠D－∠B；图④：∠BED＝∠B－∠D；（2）证明见解析．
【详解】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答；
（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF-∠BEF即可证明．
解：（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；
图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；
图③：∠BED＝∠D－∠B；
图④：∠BED＝∠B－∠D．
（2）以图③为例：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF．
∵∠BED＝∠DEF－∠BEF，
∴∠BED＝∠D－∠B．
5．已知，点为平面内的一点，．
(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．
解： ．（根据如图填射线的画法）
因为，
所以 （ ）．
所以（两直线平行，内错角相等）；
（请继续完成接下去的说理过程）
(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度．
【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析
(2)
(3)，45
【解析】(1)解：如图①，过点作，
，
（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
．
，．
．
，．．
(2)解：如图②，过点作，
．
，．．
，．
．．
故答案为：．
(3)解：如图③，过点作，
，，
．，
，．
．，
由（2）已得：，
；
平分，．
平分，．
，故答案为：，45．
6．已知直线l1∥l2，l3和11，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，试确定∠1、∠2、∠3之间的关系，并给出证明．
(2)如图2，当动点P在射线DC上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出∠1、∠2、∠3的关系并证明．
【答案】（1）∠2＝∠1+∠3；（2）不成立，应为∠3＝∠1+∠2，证明见解析.
【解析】解：（1）∠2=∠1+∠3．证明如下：
如图①，过点P作PE∥l1．∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，∴∠2=∠1+∠3；
（2）上述结论不成立，新的结论：∠3=∠1+∠2．证明如下：
如图②，设PB与l1交于点F．∵l1∥l2，∴∠3=∠PFC．
在△APF中，∵∠PFC是△APF的一个外角，∴∠PFC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2．
7.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点．
（1）如果点P运动到C、D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间 的关系是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD，理由详见解析；（2）详见解析.
【详解】解：（1）若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：
如图，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
①如图1，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC
又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠APE-∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.
②如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD
又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD-∠PAC.
8．（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．
（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？
（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则 度（请直接写出答案）．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290
【详解】解：（1）如图1，，，，
，．
（2）由（1）中探究可知，，
，且，，；
（3）如图，当为钝角时，
由（1）中结论可知，，；
当为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，，即，
综上，或．故答案为：70或290．
9．已知AMCN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°
【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB，
∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN，
∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，
∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°
专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略
类型一、猪脚模型
例、如图，已知直线AB∥CD∥EF，∠POQ=90°，它的顶点O在CD上，两边分别与AB、EF相交于点P、点Q，射线OC始终在∠POQ的内部.
（1）求∠1＋∠2的度数；
（2）直接写出∠3与∠4的数量关系；
（3）若∠POQ的度数为α，且0°＜α＜180°，其余条件不变，猜想∠3与∠4的数量关系（用含α的式子表示）；并说明理由.
【答案】（1）∠1+∠2=90°;（2）∠3+∠4=270°；（3）∠3+∠4=360°-α, 理由见解析.
【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=90°，∴∠1+∠2=90°；
（2）∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=270°；
（3））∵AB∥CD，∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=α，∴∠1+∠2=α；
∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=α，∴∠3+∠4=360°-α．
【变式训练1】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD．当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ．
【答案】（1）平行，理由见解析（2）∠BAE＋∠MCD＝90°，理由见解析（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP
【详解】（1）AB∥CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD；
（2）∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：过E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE＋∠MCD＝90°；
（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，
即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP．
【变式训练2】把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．
（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.
【解析】解：(1)∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，
∴∠1=40°；
(2)过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) ∠AEG+∠CFG =300°，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG −30°+∠CFG −90°=180°，
整理得：∠AEG+∠CFG =300°．
【变式训练3】直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD=∠1，∠PEB=∠2，∠FPE=∠α．
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠α=50°，故答案为50；
（2）∠α=∠1+∠2，
证明：过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD，∴PG∥CD，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∴∠α=∠3+∠4=∠1+∠2；
（3）∠α=∠2﹣∠1，
证明：过点P作PG∥CD，
∵AB∥CD，∴PG∥AB，
∴∠2=∠EPG，∠1=∠3，
∴∠α=∠EPG﹣∠3=∠2﹣∠1．
类型二、铅笔模型
例、（1）问题情境：如图1,AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度数.
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180°.
∴∠APE＝180°－∠PAB＝180°－130°＝50°.
∵AB∥CD．∴PE∥CD．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答.
（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β.
①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.
②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系.
【答案】(1)110°;(2) 详见解析
【详解】（1）剩余过程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800，
∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．
（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：过P作PQ∥AD ．
∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，同理，，
∴；
②（i）当P在BA延长线时，如图4，过P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；
（ii）当P在AB延长线时，如图5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．
【变式训练1】（1）如图①，，则_________．
如图②，，则___________．
如图③，，则___________．
如图④，，则___________．
从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论．
（2）如图⑤，，则______________．
（3）利用上述结论解决问题：如图已知，和的平分线相交于，，求的度数．
【答案】（1），，，（2）；（3）证明见解析.
（3）过点作，则.
则，又，得，故.
【详解】（1）(1)如图①,根据MA1∥NA2,可得如图②,过作PA2∥MA1，
∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，
如图③,过A2作PA2∥MA1,过A3作QA3∥MA1，
∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，
同理可得：
故答案为，，，
（2）根据可得：
（3）过点作，则.则，
又，
得，故.
【变式训练2】（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E引一条直线EF∥AB
∴∠B=∠BEF，（ ）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（ ）
∴∠D=________（ ）
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED．
（2）如图2，AB∥CD，请写出∠B+∠BED+∠D=360°的推理过程．________
（3）如图3，AB∥CD，请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=________
【答案】 两直线平行，内错角相等； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∠FED； 两直线平行，内错角相等； 如图2，过点E引一条直线EF∥AB，∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°； 540°
【解析】
【详解】根据平行线的性质及判定即可解答.
解：（1）证明：过点E引一条直线EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠D=∠FED（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED．
（2）如图，过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°.
（3）如图，过点E引一条直线EM∥AB，过点F引一条直线FN∥AB，
∵EF∥AB，∴∠B+∠BEM=180°．
∵AB∥CD，EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥NF，NF∥CD，
∴∠MEF+∠EFN=180°，∠NFD+∠D=180°，
∴∠B+∠BEM +∠MEF+∠EFN +∠NFD+∠D =180°+180°+180°=540°，
即∠B+∠BEF+∠EFD+∠D =540°.
【变式训练3】问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝ ．
【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）.
【解析】（1）∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）∠E+∠M＝60°，理由是：
设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，
∴∠E+∠M＝60°；
（3）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；故答案为：∠M＝．
类型三、拐弯模型
例．已知，直线，点为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．
（2）如图2，点在直线、之间左侧，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）；（2），见详解；（3），见详解
【解析】（1）(如图1，过点P作
，
（2）
如图2，过K作
，
，
过点P作
同理可得
与的角平分线相交于点K
（3）
如图3，过K作
，
过点P作，同理可得
与的角平分线相交于点K
，
【变式训练1】如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【答案】50°．
【详解】∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【变式训练2】如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．
（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．
（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，
∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，
即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；
（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，
∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；
∴∠3＝∠1﹣∠2．
【变式训练3】已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．
（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为________；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为________．
【答案】（1）∠3=∠1+∠2；（2）∠1=∠2+∠3;（3）∠2=∠1+∠3．
【详解】（1）解：如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2=∠DPE，∴∠3=∠1+∠2；
（2）解：如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，
∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1=∠3+∠EPD，即∠1=∠2+∠3．故答案为∠1=∠2+∠3;
（3）解：如图3，设直线AC与DP交于点F，
∵∠PFA是△PCF的外角，∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，∴∠2=∠PFA，即∠2=∠1+∠3．故答案为∠2=∠1+∠3．
课后训练
1．如图，AB∥EF，∠BCD=90°，试探索图中角α，β，γ之间的关系．
【答案】α+β﹣γ=90°．
【详解】试题解析：过点C作CM∥AB,过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
①， ②，
由①②得：
2．如图，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的关系呢？请探索．
【答案】∠1=∠2＋∠3
【解析】应满足的关系为：∠1=∠2＋∠3，
证明：
如图，延长EA交CD于点F，
∵∠1=∠2+∠3，∠4=∠2+∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD.
3．如图，已知直线l1∥l2，A，B分别是l1，l2上的点，l3和l1，l2分别交于点C，D，P是线段CD上的动点(点P不与C，D重合)．
(1)若∠1＝150°，∠2＝45°，求∠3的度数；
(2)若∠1＝α，∠2＝β，用α，β表示∠APC＋∠BPD．
【答案】（1）75°（2）α－β
【详解】解:(1)过点P向右作PE∥l1.
∵l1∥l2，∴l1∥PE∥l2，∴∠1＋∠APE＝180°，∠2＝∠BPE.
∵∠1＝150°，∠2＝45°，∴∠APE＝180°－∠1＝180°－150°＝30°，∠BPE＝∠2＝45°，
∴∠3＝∠APE＋∠BPE＝30°＋45°＝75°.
(2)由(1)知∠1＋∠APE＝180°，∠2＝∠BPE.
∵∠1＝α，∠2＝β，∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝180°－∠1＋∠2＝180°－α＋β，
∴∠APC＋∠BPD＝180°－∠APB＝180°－(180°－α＋β)＝α－β.
4.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
（1）你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
（2）请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由．
【答案】（1）（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；图③：∠BED＝∠D－∠B；图④：∠BED＝∠B－∠D；（2）证明见解析．
【详解】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答；
（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF-∠BEF即可证明．
解：（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；
图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；
图③：∠BED＝∠D－∠B；
图④：∠BED＝∠B－∠D．
（2）以图③为例：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF．
∵∠BED＝∠DEF－∠BEF，
∴∠BED＝∠D－∠B．
5．已知，点为平面内的一点，．
(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．
解： ．（根据如图填射线的画法）
因为，
所以 （ ）．
所以（两直线平行，内错角相等）；
（请继续完成接下去的说理过程）
(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度．
【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析
(2)
(3)，45
【解析】(1)解：如图①，过点作，
，
（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
．
，．
．
，．．
(2)解：如图②，过点作，
．
，．．
，．
．．
故答案为：．
(3)解：如图③，过点作，
，，
．，
，．
．，
由（2）已得：，
；
平分，．
平分，．
，故答案为：，45．
6．已知直线l1∥l2，l3和11，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，试确定∠1、∠2、∠3之间的关系，并给出证明．
(2)如图2，当动点P在射线DC上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出∠1、∠2、∠3的关系并证明．
【答案】（1）∠2＝∠1+∠3；（2）不成立，应为∠3＝∠1+∠2，证明见解析.
【解析】解：（1）∠2=∠1+∠3．证明如下：
如图①，过点P作PE∥l1．∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，∴∠2=∠1+∠3；
（2）上述结论不成立，新的结论：∠3=∠1+∠2．证明如下：
如图②，设PB与l1交于点F．∵l1∥l2，∴∠3=∠PFC．
在△APF中，∵∠PFC是△APF的一个外角，∴∠PFC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2．
7.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点．
（1）如果点P运动到C、D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间 的关系是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD，理由详见解析；（2）详见解析.
【详解】解：（1）若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：
如图，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
①如图1，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC
又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠APE-∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.
②如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD
又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD-∠PAC.
8．（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．
（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？
（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则 度（请直接写出答案）．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290
【详解】解：（1）如图1，，，，
，．
（2）由（1）中探究可知，，
，且，，；
（3）如图，当为钝角时，
由（1）中结论可知，，；
当为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，，即，
综上，或．故答案为：70或290．
9．已知AMCN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°
【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB，
∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN，
∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，
∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°
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