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人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式优秀同步练习题
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这是一份人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式优秀同步练习题，文件包含92一元一次不等式解析版docx、2023-2024学年人教版七年级下学期数学同步讲义92一元一次不等式docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
知晓结构体系
1夯实必备知识
考点1 解一元一次不等式
1．一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，经过化简后含有_ 1 _个未知数，未知数的次数是_1_的不等式叫做一元一次不等式．比如：3x-7>0，9-2y≤3；
2．解一元一次不等式
（1）基本思路
根据不等式的基本性质，将不等式转化为 x＜a或x＞a 的形式；
（2）一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
考点2 一元一次不等式的应用
1． 列不等式（组）解应用题的基本步骤
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案．
2．关键词
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
2提升学科能力
一、题点一 一元一次不等式的定义
1．下列不等式中属于一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：A．含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意；
B．，含有一个未知数，但未知数的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．，含有两个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．，没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断．
【详解】解：（1），（2），符合定义，
（3）不等号左边不是整式，不符合定义，
（4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义，
故选：B．
3．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，且未知数次数为1的不等式是一元一次不等式，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意；
B、是一元一次方程，不符合题意；
C、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：A．
4．若是关于x的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
5．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，则或，且，解得，
故答案为：．
二、题点二 一元一次不等式的解集
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．解不等式求出的范围，再在数轴上表示即可．
【详解】解：解得在数轴上表示如下：
故选：B．
7．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．先解一元一次不等式不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表述出来即可得得出答案．
【详解】解：解不等式，
解得．
所以不等式的解集在数轴上表示为：
故选：C
8．如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，得到，求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴；
故选B．
9．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，掌握步骤是解题的关键．注意：不等式两边都除以一个负数时，不等号的方向改变．
根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集即可．
【详解】
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
故答案为：．
10．关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．把看作常数，求出已知方程的解，根据方程的解是负数得到小于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：，
移项得：，
解得：，
由方程的解是负数，得到，
即，
解得：，
故答案为：．
11．解不等式
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项即可得解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解．
【详解】解：（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
12．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
在数轴上表示为：
13．解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边都除以得：⑤
【答案】①②⑤，过程见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：错误步骤：①②⑤，
正确的解答过程如下：
，
，
，
，
，
∴原不等式的解集为：．
三、题点三 一元一次不等式的整数解
14．一元一次不等式的正整数解共有（ ）
A．5个B．6个C．10个D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解再得出整数解的个数即可．
【详解】解：，
移项合并同类项得：，
，
不等式的整数解有：1，2，3，4，5，共5个，
故选：A．
15．不等式的正整数解的和为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
不等式移项合并，把x系数化为1，进而求解即可．
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，，
∴正整数解有：1，2，3
∴．
∴不等式的正整数解的和为6．
故答案为：6．
16．不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的正整数解有2个，
，
解得：，
故答案为：．
17．解不等式： ，并写出非正整数解．
【答案】，非正整数解为：0，，
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．熟练掌握求一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
先去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后求正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
∴ 非正整数解为；0，， ．
18．（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得
把代入①，得，
所以②，
这种解法称“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为 ．
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值．
【答案】（1）（2）（3）1，2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出正整数值即可．
【详解】解：（1）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
则方程组的解为．
故答案为．
（2）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
解得，
则方程组的解为．
（3）
得：，即，
代入不等式得：，
解得：，
则满足条件的正整数值为1，2．
故答案为：1，2．
四、题点四 一元一次不等式解的最值
19．不等式的最大整数解为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等的解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：
移项得： ，
合并同类项得；，
系数化为1得：，
∴不等式的最大整数解为2，
故选：B．
20．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
21．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
22．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3B．-3C．4D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
23．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
24．不等式的最大整数解是 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
解不等式求得的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【详解】解：移项、合并，得：，
系数化为1，得：，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1．
25．已知的最小值为，的最大值为，则 ．
【答案】
【解析】略
26．已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可．
【详解】解：方程，
解得：，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．
五、题点五 含绝对值不等式的解
27．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．
【详解】
解：①当，即时，原式可化为：，
解得：，
；
②当，即时，原式可化为：，
解得：，
，
综上，该不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．
28．不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
29．如果｜x｜＞3，那么x的范围是
【答案】或
【分析】首先算出|x|=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．
【详解】解：由绝对值的意义可得：
x=3或x=-3时，|x|=3，
∴根据“大于取两边”即可得到｜x｜＞3的解集为：x>3或 x<−3（如图），
故答案为：x>3或 x<−3．
【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．
30．当x 时，|x﹣2|＝2﹣x．
【答案】≤2
【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.
【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.
故答案为：≤2.
【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.
31．数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或
(3)
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
六、题点八 列一元一次不等式
32．y与2的差是负数，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．先表示出y与2的差，然后根据题意即可得出不等式．
【详解】解：根据题意可得：．
故选：A．
33．第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为
∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于，
∴，
故选：B．
34．“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，是解题的关键．
关系式为：x的2倍，把相关数值代入即可．
【详解】解：根据题意，可列不等式为：，
故答案为：．
35．已知克的糖水中含有克糖，再添加克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度比例变大）．将这一现象表示为不等式： ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的应用，考查了学生的应用能力．糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据即可得到答案．
【详解】解：糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．
故答案为：
七、题点九 一元一次不等式的实际应用
36．某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，已知甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵35元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42棵B．43棵C．44棵D．40棵
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意，设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，依题得，然后求解即可．
【详解】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，依题得
解得
为正整数
最小为40．
故选：D．
37．某种服装的进价为240元，出售时标价为360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于，那么至多打（ ）折
A．8折B．8.5折C．9折D．9.5折
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
设至多打x折，根据利润率不低于列不等式求解．
【详解】设至多打x折，
由题意得，
解得：．
答：至多打8折．
故选A．
38．我省榆次区的怀仁村因酿醋而闻名，享有“山西酿醋第一村”的美誉．某专卖店从怀仁村采购五斤装度和度的陈醋共壶，其零售价如图所示，若能全部售出；且总销售收入不低于元，则最多可购入五斤装度的陈醋 壶．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买了五斤装度的陈醋壶，则购买了度的陈醋壶，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解，根据题意，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】设购买了五斤装度的陈醋壶，则购买了五斤装度的陈醋壶，
由题意可得，，
解得，
∴最多可购入五斤装度的陈醋壶，
故答案为：．
39．阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按 折销售．
【答案】8
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解．
设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
40．某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元．
(1)求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？
(2)若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？
【答案】(1)长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元
(2)七年三班最多能购买长跳绳20条
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式得实际应用：
（1）设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，根据第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元列出方程组求解即可；
（2）设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，根据购买费用不超过600元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元，
（2）解：设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，
由题意得，，
解得，
∵m是整数，
∴m的最大值为20，
答：七年三班最多能购买长跳绳20条．
41．端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？
【答案】(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元；
(2)每个礼包中至少含乙种粽子个．
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，列出方程求解即可；
（2）设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，依题意得：
，
解得：，
∴（元），
∴甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元．
（2）解：设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，依题意得：
，
整理得：，
解得：，
∴每个礼包中至少含乙种粽子个，使每个礼包利润不低于元，
42．随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示：
(1)每辆A型车和B型车各多少万元？
(2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？
【答案】(1)每辆型车50万元，每辆型车20万元
(2)共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设每辆型车万元，每辆型车万元，根据“购买型号车6辆，型号14辆，需要资金580万元；购买型号车12辆，型号车8辆，需要资金760万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型车辆，则购买型车辆，根据资金不高于500万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出有3种购买方案，分别求出各方案的座位数，比较后即可得出结论．
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设每辆型车万元，每辆型车万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型车50万元，每辆型车20万元．
（2）设购买型车辆，则购买型车辆，
依题意得：，
解得：．
又，均为正整数，
可以为1，2，3，
有3种购买方案，
方案1：购买型车1辆，型车19辆，座位数为（个；
方案2：购买型车2辆，型车18辆，座位数为（个；
方案3：购买型车3辆，型车17辆，座位数为（个．
，
方案3的座位数最多．
答：共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个．
43．两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买张成人票和张儿童票共需元，小波家购买张成人票和张儿童票共需元．
(1)求成人票和儿童票的单价；
(2)售票处规定：一次性购票数量达到张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共人，估计儿童至人．导游选择哪种购票方式花费较少？
【答案】(1)成人票的单价是元，儿童票的单价是元；
(2)当时，购买团体票花费较少；当时，两种购票方式花费一样多；当时，不购买团体票花费较少．
【分析】（）设每张成人票x元，每张儿童票y元，列方程组求解即可；
（）先求出人按照团体票购票的花费，设参加旅游的儿童有人，列出一元一次不等式，求解的取值范围，即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
【详解】（1）设成人票的单价是元，儿童票的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：成人票的单价是元，儿童票的单价是元；
（2）设该团儿童有人，则该团成人有人，购买团体票所需费用为（元），不购买团体票所需费用为元，
当时，，
∴当时，购买团体票花费较少；
当时，，
∴当时，两种购票方式花费一样多；
当时，，
∴当时，不购买团体票花费较少，
答：当时，购买团体票花费较少；当时，两种购票方式花费一样多；当时，不购买团体票花费较少．
八、题点十 一元一次方程解决几何问题
44．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
45．如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）
【答案】线段上
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，利用作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：−2x+3>1，
解得x<1；
−x>−1，
两边同时加上2，得：−x+2>−1+2，
解得−x+2>1，
∴数轴上表示数−x+2的点在A点的右边，
根据作差法，得：
−2x+3−(−x+2)=−x+1，
由x<1，得：−x>−1，
−x+1>0，
−2x+3−(−x+2)>0，
∴−2x+3>−x+2，
∴数轴上表示数−x+2的点在B点的左边，
∴数轴上表示数−x+2的点应落在线段AB上，
故答案为：线段AB上；
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，数轴上数的大小，掌握一元一次不等式的性质及数轴上数的大小是解题的关键．
46．数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为．
(1)当时，求点N表示的数；
(2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键．
（1）直接将代入即可解答；
（2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为．
（2）解：∵若点N在点M的左侧，
∴，
解得：，
∴m的最大整数值为2．
47．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．
(1)若，则点A，B间的距离是多少?
(2)求x的取值范围；
(3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由．
【答案】(1)点A、B间的距离是；
(2)；
(3)表示数的点落在线段上．
【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
（1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可；
（2）求出的范围，进行判断即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴代表的数为，
∴点A、B间的距离是；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴表示数的点落在线段上．
48．十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Niclas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明．
(1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论．
由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到；
同理可证，所以成立．
(2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．
长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示）
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果．
【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以，可以得到；
（2）设长度1为，则长度2为，
则，
两边同乘以得，
，
，
，
，
，
长度1是；长度2是．
【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键．
明确学习目标
课标要求
理解一元一次不等式的概念；
掌握求一元一次不等式的解和整数解；理解一元一次不等式与实际应用问题的结合
重点难点
掌握求一元一次不等式的解和整数解；理解一元一次不等式与实际应用问题的结合
A型号
B型号
座位数（个/辆）
60
30
知晓结构体系
1夯实必备知识
考点1 解一元一次不等式
1．一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，经过化简后含有_ 1 _个未知数，未知数的次数是_1_的不等式叫做一元一次不等式．比如：3x-7>0，9-2y≤3；
2．解一元一次不等式
（1）基本思路
根据不等式的基本性质，将不等式转化为 x＜a或x＞a 的形式；
（2）一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
考点2 一元一次不等式的应用
1． 列不等式（组）解应用题的基本步骤
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案．
2．关键词
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
2提升学科能力
一、题点一 一元一次不等式的定义
1．下列不等式中属于一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：A．含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意；
B．，含有一个未知数，但未知数的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．，含有两个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．，没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断．
【详解】解：（1），（2），符合定义，
（3）不等号左边不是整式，不符合定义，
（4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义，
故选：B．
3．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，且未知数次数为1的不等式是一元一次不等式，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意；
B、是一元一次方程，不符合题意；
C、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：A．
4．若是关于x的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
5．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，则或，且，解得，
故答案为：．
二、题点二 一元一次不等式的解集
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．解不等式求出的范围，再在数轴上表示即可．
【详解】解：解得在数轴上表示如下：
故选：B．
7．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．先解一元一次不等式不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表述出来即可得得出答案．
【详解】解：解不等式，
解得．
所以不等式的解集在数轴上表示为：
故选：C
8．如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，得到，求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴；
故选B．
9．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，掌握步骤是解题的关键．注意：不等式两边都除以一个负数时，不等号的方向改变．
根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集即可．
【详解】
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
故答案为：．
10．关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．把看作常数，求出已知方程的解，根据方程的解是负数得到小于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：，
移项得：，
解得：，
由方程的解是负数，得到，
即，
解得：，
故答案为：．
11．解不等式
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项即可得解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解．
【详解】解：（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
12．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
在数轴上表示为：
13．解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边都除以得：⑤
【答案】①②⑤，过程见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：错误步骤：①②⑤，
正确的解答过程如下：
，
，
，
，
，
∴原不等式的解集为：．
三、题点三 一元一次不等式的整数解
14．一元一次不等式的正整数解共有（ ）
A．5个B．6个C．10个D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解再得出整数解的个数即可．
【详解】解：，
移项合并同类项得：，
，
不等式的整数解有：1，2，3，4，5，共5个，
故选：A．
15．不等式的正整数解的和为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
不等式移项合并，把x系数化为1，进而求解即可．
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，，
∴正整数解有：1，2，3
∴．
∴不等式的正整数解的和为6．
故答案为：6．
16．不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的正整数解有2个，
，
解得：，
故答案为：．
17．解不等式： ，并写出非正整数解．
【答案】，非正整数解为：0，，
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．熟练掌握求一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
先去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后求正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
∴ 非正整数解为；0，， ．
18．（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得
把代入①，得，
所以②，
这种解法称“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为 ．
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值．
【答案】（1）（2）（3）1，2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出正整数值即可．
【详解】解：（1）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
则方程组的解为．
故答案为．
（2）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
解得，
则方程组的解为．
（3）
得：，即，
代入不等式得：，
解得：，
则满足条件的正整数值为1，2．
故答案为：1，2．
四、题点四 一元一次不等式解的最值
19．不等式的最大整数解为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等的解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：
移项得： ，
合并同类项得；，
系数化为1得：，
∴不等式的最大整数解为2，
故选：B．
20．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
21．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
22．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3B．-3C．4D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
23．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
24．不等式的最大整数解是 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
解不等式求得的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【详解】解：移项、合并，得：，
系数化为1，得：，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1．
25．已知的最小值为，的最大值为，则 ．
【答案】
【解析】略
26．已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可．
【详解】解：方程，
解得：，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．
五、题点五 含绝对值不等式的解
27．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．
【详解】
解：①当，即时，原式可化为：，
解得：，
；
②当，即时，原式可化为：，
解得：，
，
综上，该不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．
28．不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
29．如果｜x｜＞3，那么x的范围是
【答案】或
【分析】首先算出|x|=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．
【详解】解：由绝对值的意义可得：
x=3或x=-3时，|x|=3，
∴根据“大于取两边”即可得到｜x｜＞3的解集为：x>3或 x<−3（如图），
故答案为：x>3或 x<−3．
【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．
30．当x 时，|x﹣2|＝2﹣x．
【答案】≤2
【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.
【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.
故答案为：≤2.
【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.
31．数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或
(3)
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
六、题点八 列一元一次不等式
32．y与2的差是负数，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．先表示出y与2的差，然后根据题意即可得出不等式．
【详解】解：根据题意可得：．
故选：A．
33．第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为
∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于，
∴，
故选：B．
34．“x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，是解题的关键．
关系式为：x的2倍，把相关数值代入即可．
【详解】解：根据题意，可列不等式为：，
故答案为：．
35．已知克的糖水中含有克糖，再添加克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度比例变大）．将这一现象表示为不等式： ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的应用，考查了学生的应用能力．糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据即可得到答案．
【详解】解：糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．
故答案为：
七、题点九 一元一次不等式的实际应用
36．某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，已知甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵35元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42棵B．43棵C．44棵D．40棵
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意，设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，依题得，然后求解即可．
【详解】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，依题得
解得
为正整数
最小为40．
故选：D．
37．某种服装的进价为240元，出售时标价为360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于，那么至多打（ ）折
A．8折B．8.5折C．9折D．9.5折
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
设至多打x折，根据利润率不低于列不等式求解．
【详解】设至多打x折，
由题意得，
解得：．
答：至多打8折．
故选A．
38．我省榆次区的怀仁村因酿醋而闻名，享有“山西酿醋第一村”的美誉．某专卖店从怀仁村采购五斤装度和度的陈醋共壶，其零售价如图所示，若能全部售出；且总销售收入不低于元，则最多可购入五斤装度的陈醋 壶．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买了五斤装度的陈醋壶，则购买了度的陈醋壶，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解，根据题意，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】设购买了五斤装度的陈醋壶，则购买了五斤装度的陈醋壶，
由题意可得，，
解得，
∴最多可购入五斤装度的陈醋壶，
故答案为：．
39．阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按 折销售．
【答案】8
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解．
设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
40．某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元．
(1)求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？
(2)若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？
【答案】(1)长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元
(2)七年三班最多能购买长跳绳20条
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式得实际应用：
（1）设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，根据第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元列出方程组求解即可；
（2）设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，根据购买费用不超过600元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元，
（2）解：设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，
由题意得，，
解得，
∵m是整数，
∴m的最大值为20，
答：七年三班最多能购买长跳绳20条．
41．端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？
【答案】(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元；
(2)每个礼包中至少含乙种粽子个．
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，列出方程求解即可；
（2）设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，依题意得：
，
解得：，
∴（元），
∴甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元．
（2）解：设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，依题意得：
，
整理得：，
解得：，
∴每个礼包中至少含乙种粽子个，使每个礼包利润不低于元，
42．随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示：
(1)每辆A型车和B型车各多少万元？
(2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？
【答案】(1)每辆型车50万元，每辆型车20万元
(2)共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设每辆型车万元，每辆型车万元，根据“购买型号车6辆，型号14辆，需要资金580万元；购买型号车12辆，型号车8辆，需要资金760万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型车辆，则购买型车辆，根据资金不高于500万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出有3种购买方案，分别求出各方案的座位数，比较后即可得出结论．
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设每辆型车万元，每辆型车万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型车50万元，每辆型车20万元．
（2）设购买型车辆，则购买型车辆，
依题意得：，
解得：．
又，均为正整数，
可以为1，2，3，
有3种购买方案，
方案1：购买型车1辆，型车19辆，座位数为（个；
方案2：购买型车2辆，型车18辆，座位数为（个；
方案3：购买型车3辆，型车17辆，座位数为（个．
，
方案3的座位数最多．
答：共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个．
43．两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买张成人票和张儿童票共需元，小波家购买张成人票和张儿童票共需元．
(1)求成人票和儿童票的单价；
(2)售票处规定：一次性购票数量达到张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共人，估计儿童至人．导游选择哪种购票方式花费较少？
【答案】(1)成人票的单价是元，儿童票的单价是元；
(2)当时，购买团体票花费较少；当时，两种购票方式花费一样多；当时，不购买团体票花费较少．
【分析】（）设每张成人票x元，每张儿童票y元，列方程组求解即可；
（）先求出人按照团体票购票的花费，设参加旅游的儿童有人，列出一元一次不等式，求解的取值范围，即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
【详解】（1）设成人票的单价是元，儿童票的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：成人票的单价是元，儿童票的单价是元；
（2）设该团儿童有人，则该团成人有人，购买团体票所需费用为（元），不购买团体票所需费用为元，
当时，，
∴当时，购买团体票花费较少；
当时，，
∴当时，两种购票方式花费一样多；
当时，，
∴当时，不购买团体票花费较少，
答：当时，购买团体票花费较少；当时，两种购票方式花费一样多；当时，不购买团体票花费较少．
八、题点十 一元一次方程解决几何问题
44．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
45．如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）
【答案】线段上
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，利用作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：−2x+3>1，
解得x<1；
−x>−1，
两边同时加上2，得：−x+2>−1+2，
解得−x+2>1，
∴数轴上表示数−x+2的点在A点的右边，
根据作差法，得：
−2x+3−(−x+2)=−x+1，
由x<1，得：−x>−1，
−x+1>0，
−2x+3−(−x+2)>0，
∴−2x+3>−x+2，
∴数轴上表示数−x+2的点在B点的左边，
∴数轴上表示数−x+2的点应落在线段AB上，
故答案为：线段AB上；
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，数轴上数的大小，掌握一元一次不等式的性质及数轴上数的大小是解题的关键．
46．数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为．
(1)当时，求点N表示的数；
(2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键．
（1）直接将代入即可解答；
（2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为．
（2）解：∵若点N在点M的左侧，
∴，
解得：，
∴m的最大整数值为2．
47．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．
(1)若，则点A，B间的距离是多少?
(2)求x的取值范围；
(3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由．
【答案】(1)点A、B间的距离是；
(2)；
(3)表示数的点落在线段上．
【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
（1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可；
（2）求出的范围，进行判断即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴代表的数为，
∴点A、B间的距离是；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴表示数的点落在线段上．
48．十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Niclas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明．
(1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论．
由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到；
同理可证，所以成立．
(2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．
长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示）
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果．
【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以，可以得到；
（2）设长度1为，则长度2为，
则，
两边同乘以得，
，
，
，
，
，
长度1是；长度2是．
【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键．
明确学习目标
课标要求
理解一元一次不等式的概念；
掌握求一元一次不等式的解和整数解；理解一元一次不等式与实际应用问题的结合
重点难点
掌握求一元一次不等式的解和整数解；理解一元一次不等式与实际应用问题的结合
A型号
B型号
座位数（个/辆）
60
30
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