重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．）
1. 下列四个选项中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数．熟练掌握立方根，算术平方根，无理数是解题的关键．
根据立方根，算术平方根，无理数，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，，是有理数，故A，C，D不符合要求；
是无理数，故B符合要求；
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查各象限内点坐标的符号特征．记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：由，得点位于第二象限．
故选：．
3. 如图，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．
4. 试估算在哪两个整数之间（ ）
A. 2和3B. 3和4C. 6和7D. 8和9
【答案】D
【解析】
【分析】先找13在哪两个可以开平方开的尽的整数之间，由9<13<16，得3<<4，即可求解．
【详解】解：∵9<13<16，
又∵，，
∴3<<4，
∴8<<9，
所以在8和9之间，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查无理数估算问题，关键是利用算术平方根对无理数的大小进行估测．
5. 下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．
【详解】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线重合，
∵过点P作直线的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点P，
∴符合上述条件的图形只有选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．
6. 若二元一次方程组的解为则“□”可以表示为（ ）
A. xB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，即可得到答案.
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴，即“□”可以表示为，
故选D.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握方程组的解的意义是关键.
7. 如图，点E在的延长线上，则下列条件中，能判定的是（ ）
A. ∠1＝∠2B. ∠3＝∠4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解．
【详解】A、，则，故A选项不合题意．
B、，则，故B选项符合题意．
C、，则不可判断，故C选项不符合题意．
D、，则，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
8. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9. 如图，已知，……，按这样规律，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点的坐标．通过分析可得，的横坐标的规律是 的纵坐标个一循环，，所以，分别求出的横坐标和纵坐标即可得到结果．
【详解】解：的横坐标为
的纵坐标每个一循环，
的横坐标为，
的纵坐标为，
故的纵坐标为，
故的坐标为，，
故选：A．
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：，
故①正确；
②对，，5进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．）
11. 今年1－2月，开州区全区完成一般公共预算收入183000000元，将183000000用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：∵，
故答案为：．
12. 一个正数的两个平方根为和，则a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的性质解决此题．
【详解】∵一个正数的两个平方根为和，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根互为相反数的性质．
13. 已知点P的坐标是且点P在第一、三象限的两坐标轴夹角的平分线上，则点P的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】根据点的坐标是且点在第一、三象限的两坐标轴夹角的平分线上，可得，求出的值，进一步可得点坐标．
【详解】解：点的坐标是且点在第一、三象限的两坐标轴夹角的平分线上，
，
解得，
点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
14. 若是二元一次方程的解，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意将解代入等式，可得关于的关系时，通过变形即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解，代入等式变形，并掌握代数式的变形求值是解题的关键．
15. 如图，将边长为的等边沿直线向右平移后得，则四边形的周长是__________．

【答案】19
【解析】
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案．
【详解】由题意得，等边的周长为，
将周长为的沿直线向右平移后得，
∴，
又∵，
∴四边形的周长．
故答案为19．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键．
16. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解的含义，先把两个方程相加可得，再建立关于的一元一次方程求解即可．
【详解】解：关于，的方程组，
方程①方程②得，，即，
又∵，
，
，
故答案为：100．
17. 如图，把一张长方形纸片沿着折叠后，点落在点处，点落在点处，若，则图中________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质．三角形内角和定理，对顶角相等．熟练掌握折叠的性质．三角形内角和定理，对顶角相等是解题的关键．
如图，则，由折叠的性质可知，，，则，由，进而可求．
【详解】解：如图，
∴，
∵长方形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为，所以234是“尚美数”；
材料二：若（，且均为整数），记．已知是两个不同的“尚美数”，且能被13整除，则________．________．
【答案】 ①. 5 ②. 652
【解析】
【分析】根据是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵是两个不同的“尚美数，
得，即，
∴，
∵（，且均为整数），记，
．
，
∴．
∵能被整除，
∴
解得，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算，不等式等知识，消元求解是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括精助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算或求的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）利用平方根解方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，
，
解得，，．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程．熟练掌握算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程是解题的关键．
20. 解二元一次方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，
（1）直接利用加减消元法求解即可；
（2）原方程组整理后，利用加减消元法求解即可；
掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
①＋②，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
整理得：，
①×3＋②，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
21. 如图，于点，于点， ，求证：．
证明：（已知），
∴ （垂直的定义），
① （ ）
∴ ③ （两直线平行，同旁内角互补）
（已知），
（ ）
（内错角相等，两直线平行）
（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
按照步骤作答即可．
【详解】证明：（已知），
∴ （垂直定义），
（同位角相等两直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行同位角相等）．
22. 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知，其中是整数，且，求的绝对值．
【答案】（1）7；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的整数部分，绝对值．熟练掌握无理数的整数部分，绝对值是解题的关键．
（1）由题意知，，则的整数部分是7，小数部分是；
（2）由，可得，即，由整数，，可得，，然后根据，求解作答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分是7，小数部分是，
故答案为：7；；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
∵是整数，，
∴，，
∴，
∴的绝对值为．
23. 在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，．现将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到三角形．（点分别是点的对应点）
（1）请在下面的平面直角坐标系中作出三角行和平移后的三角形，
（2）若三角形上有一点平移后得到点，则点的坐标为 ；
（3）求三角形面积．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图一平移变换，平移的性质以及利用网格求三角形的面积．熟记平移变换的性质是解题的关键．
(1)根据点的坐标作出三角形，再根据平移的性质得出平移后的三个点坐标，连接即可即可；
(2)根据(1)中的平移规律即可得出结果；
(3)根据割补法求解即可．
【小问1详解】
解：∵三角形的顶点坐标分别是，，
∴三角形向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得出，，
三角行和平移后的三角形如图所示：
【小问2详解】
∵三角形上有一点M平移后得到点，
∴点M的坐标为，
即，
故答案为：．
【小问3详解】
三角形的面积∶
24. 如图，点，分别在三角形的边，上，点在线段上，且，．

（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线性质可得，从而可求得，可判定；
（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：平分，
，
，
，
，
，，
，解得：，
由（1）得，
．
【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 开州区凤凰梁大桥位于汉丰湖调节坝下游1千米处，该桥建成后将为开州城区打通一条“内环”快速通道，对完善城市交通路网体系和带动沿线经济发展具有重要意义．为争取于今年“劳动节”通车，大桥建设现场机械轰鸣声此起彼伏，建材运输车忙碌穿梭．工地用甲、乙两种型号的货车，分两批从搅拌场向建设工地运输混凝土，具体运输方案安排如下：
第一批次安排甲型货车2辆、乙型货车3辆，满载运输混凝土共吨；
第二批次安排甲型货车3辆、乙型货车4辆，满载运输混凝土共吨．
（1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨混凝土？
（2）为了抢工期，搅拌场又准备了吨混凝土，计划同时使用两种货车一次性运往大桥建设工地（每辆货车都满载）．已知甲型货车每辆运输成本元/次，乙型货车每辆运输成本元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？
【答案】（1）甲吨，乙吨
（2）共三种方案：方案①、5辆甲货车，7辆乙货车；方案②、辆甲货车，4辆乙货车；方案③、辆甲货车，1辆乙货车；方案①最划算，成本最低为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）设甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运吨混凝土，依题意得，，计算求解即可；
（2）设雇用甲车辆，乙车辆，依题意得，，解得，，由取正整数，确定方案，并求各方案下的成本，然后比较大小并作答即可．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运吨混凝土，
依题意得，，
解得，，
∴甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运，吨混凝土；
【小问2详解】
解：设雇用甲车辆，乙车辆，
依题意得，，
解得，，
∵取正整数，
∴①当时，，运算成本为（元）；
②当时，，运算成本为（元）；
③当时，，运算成本为（元）；
∵，
∴共三种方案：方案①、5辆甲货车，7辆乙货车；方案②、辆甲货车，4辆乙货车；方案③、辆甲货车，1辆乙货车；方案①最划算，成本最低为元．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，连接，并过点C作的平行线l．动点P、Q分别以每秒1个单位和每秒3个单位的速度，从A、C两点同时出发水平向左运动．运动过程中连接，当垂直于直线l时，点Q提速至每秒5个单位并继续向左运动．当点P运动到点B时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t．
（1）当时，点P的坐标为______，点Q的坐标为______；
（2）连接、得到三角形，在整个运动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形的面积为10？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在点P、Q出发的同时，动点M从点O出发，以每秒1.5个单位的速度沿y轴正方向运动．当点P停止运动时，点M也随之停止运动．在运动过程中，连接、，分别在和的内部作射线、，使得，，直线、交于点N．请直接写出整个运动过程中、与的关系，标注t的取值范围；并选择其中一种情况，画图分析说明．
【答案】（1）2，
（2）存在，点P的坐标为或
（3）时，，时，画图分析说明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，则，根据题意，当时，，由此列出方程求解即可，再根即此时运动的时间即可得到点Q的坐标；
（2）设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，分点Q运动到点F之前，和点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之前，及点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之后，三种情况讨论即可；
（3）设直线l与y轴交于点S，直线与y轴交于点R，过点N作直线平行线，交y轴交于点T，根据运动时间和距离分情况画出图形分析解答即可．
【小问1详解】
解：如图1，设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，则，
，，
，
，，
，
，
，
解得：，
此时，，
，即，
故答案为：2，；
【小问2详解】
解：如图2，设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，则，
点Q运动到点F之前，此时，
此时，，
，
，
当时，
解得：，符合题意，
此时，
；
如图2，当点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之前，过点作，垂足为H，交x轴与点G，此时，
此时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
解得：，不符合题意；
如图3，点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之后，此时，
此时，，
，
，
当时，
解得：，符合题意，
此时，
；
综上，三角形的面积为10时，存在点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：设直线l与y轴交于点S，直线与y轴交于点R，过点N作直线平行线，交y轴交于点T，
如图4，当时，点M在上运动，此时，点Q和点在上运动，直线的交点N在y轴右侧，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
即；
如图5，当时，直线m与直线重合，点Q和点在上运动，直线的交点N在y轴右侧，
此时，
，
，即；
如图6，当，点Q和点P在上运动，且点Q与点O重合，直线的交点N在y轴右侧，
同理可得：；
如图7，当时，点Q在点S左侧运动，点P在上运动，直线的交点N在y轴右侧，
此时，，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图8，当时，点Q在点S左侧运动，点P在上运动，直线的交点N在y轴左侧，
同理可得：；
综上，时，，时，．
【点睛】本题考查平行线的性质综合应用，动点问题，几何中角度的计算，平面直角坐标系，正确画出图形，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．