重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
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这是一份重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题,共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.的相反数是( )
A.3B.-3C.D.
2.81的平方根是( )
A.-9B.9C.D.
3.如图,已知,小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若,则∠1的度数为( )
A.40°B.35°C.50°D.45°
4.估计的值( )
A.在2到3之间B.在3到4之间C.在4到5之间D.在5到6之间
5.关于x的一元一次不等式组的解集如图所示,则它的解集是( )
A.B.C.D.
6.若点在x轴上,则点M的坐标是( )
A.B.C.D.
7.已知方程组,则的值是( )
A.5B.-5C.15D.25
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸:屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺:将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是( )
A.B.C.D.
9.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位,依次得到点,,,,,…,根据这个规律,点的坐标为( )
A.B.C.D.
10.已知关于x,y的方程组,给出下列说法:①当时,方程组的解也是的解;②若,则;③无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数;以上说法中正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分。
11.比较大小:________2.(填“”)
12.不等式的解集为________.
13.如图,点E在AD的延长线上,若,则平行的是:________.
14.已知,,那么________.
15.已知线段AB的长为3,且轴,点A的坐标为,则点B的坐标为________.
16.二元一次方程的正整数解是________.
17.将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角,则________.
18.对于一个四位自然数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,它的千位数字与百位数字之和等于9,十位数字与个位数字之和也等于9,那么称这个数n为“永恒数”.对于一个“永恒数”,记为.例如:,因为,所以1854是一个“永恒数”,.则________;若一个四位自然数m是“永恒数”,且为整数,则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为________.
三、解答题:本题共8小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算或解方程:
(1);
(2).
20.(本小题10分)
解下列方程组:
(1);
(2).
21.(本小题10分)
阅读下列推理过程,完成下面的证明.
已知:如图,已知,,垂足分别为D、F,.求证:.
证明:∵,(已知)
∴(________)
∴(________)
∴________(________)
又∵(________)
∴________(________)
∴________(________)
∴(________).
22.(本小题10分)
如图,在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为、、(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△ABC先向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的,并直接写出、、的坐标;
(2)在x轴上是否存在点D,使的面积等于△ABC面积的,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(本小题10分)
今年春季,蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总投入是26万元,其中,种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元.请解答下列问题:
(1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩?
(2)假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元,那么种植场在这一季共获利多少万元?
24.(本小题10分)
如图,在△ABC中,若,.
(1)试说明;
(2)若BE为∠ABC的角平分线,,,求∠A的度数.
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,O为原点,点,并且a,b满足满足关于x,y的二元一次方程.
图1 图2 图3
(1)如图①,过点A作轴,垂足为B,求三角形AOB的面积;
(2)如图②,将线段OA向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到线段DC,写出D、C的坐标,并求四边形OACD的面积;
(3)如图③,点E为对角线OC上一动点,轴于点F,连接AE,直接写出的最小值.
26.(本小题10分)
已知,点M、N分别是AB、CD上的点,点G在AB、CD之间,连接MG、NG.
图1 备用图 图2
(1)如图1,若,求的度数.
(2)在(1)的条件下,已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H,求∠MHN的度数.
(3)如图2,若点P是CD下方一点,MT平分∠BMP,NC平分∠TNP,已知,证明:为定值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:的相反数是,
故选:D.
根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
本题考查了实数的性质,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方根,熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.
利用平方根的定义计算即可得到结果.
【解答】
解:∵,∴81的平方根是.
故选:C.
3.【答案】C
【解析】解:∵,,
∴,
∵,
∴.
故选:C.
首先根据同位角相等,两直线平行求出,根据求出∠1即可.
本题考查了平行线的性质,熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键.
4.【答案】B
【解析】解:∵,
∴,
∴.
故选:B.
先估算出的取值范围,进而可得出结论.
本题考查的是估算无理数的大小,熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:根据数轴可知:不等式组的解集是,
故选:B.
根据数轴得出不等式组的解集即可.
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据数轴得出正确信息是解此题的关键.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点的坐标的求解,利用x轴上的点纵坐标等于0列式求出a的值是解题的关键.根据x轴上的点纵坐标为0,列式求出a的值,然后计算求出横坐标,从而点M的坐标可得.
【解答】
解:∵在x轴上,
∴,
解得,
∴,
∴M点的坐标为.
故选B.
7.【答案】A
【解析】解:,
则①-②得:
,
故
.
故选:A.
直接利用已知方程组变形进而得出,即可求出答案.
此题主要考查了二元一次方程组的解,正确将原方程组变形是解题关键.
8.【答案】A
【解析】解:设木头长为x尺,绳子长为y尺,
由题意可得,
故选:A.
设木头长为x尺,绳子长为y尺,根据“用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.
9.【答案】C
【解析】解:根据动点的运动方式可知,
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
点的坐标为;
…,
由此可见,点(n为正整数)的纵坐标为n,且点的横坐标按1,1,0,0循环出现,
因为,,
所以点的坐标为.
故选:C.
根据所给动点的运动方式,依次求出,,,…,的坐标,发现规律即可解决问题.
本题考查点的坐标变化规律,能根据动点的运动方式,发现其对应点坐标的变化规律是解题的关键.
10.【答案】D
【解析】解:①当时,,
①-②,可得,
解得,
把代入②,可得:,
解得,
∴原方程组的解是,
∵,,
∴当时,方程组的解也是的解,
∴选项①符合题意.
②,
①+②,可得,
∵,
∴,
解得,
∴若,则,
∴选项②符合题意.
③假设x,y的值互为相反数,则,
,
①-②,可得,
解得,
把代入②,可得:,
解得,
∴原方程组的解是,
∵,
∴无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数,
∴选项③符合题意.
综上,可得正确的说法的个数为3个:①、②、③.
故选:D.
①当时,,应用加减消元法,求出方程组的解,再判断出x、y的值是否是的解即可;
②把关于x,y的方程组的两个方程左右两边分别相加,可得,再根据,求出a的值即可;
③首先应用加减消元法,求出关于x,y的方程组的解,然后把求出的x、y的值相加,判断出x,y的值能不能互为相反数即可.
此题主要考查了二元一次方程组的解,以及解二元一次方程组的方法,注意代入消元法和加减消元法的应用是关键.
11.【答案】>
【解析】解:∵,
又∵,
∴,
故答案为:>.
先把2写成,然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果.
本题考查了实数的大小比较,是一道基础题.
12.【答案】
【解析】解:去分母得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:.
故答案为.
本题是关于x的不等式,应先只把x看成未知数,按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集.
本题主要考查了解一元一次不等式的方法,需要注意在不等式两边都除以同一个负数时,应改变不等号的方向.
13.【答案】
【解析】解:∵,
∴(内错角相等,两直线平行),
故答案为:.
根据“内错角相等,两直线平行”求解即可.
此题考查了平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解题的关键.
14.【答案】3.507
【解析】解:∵,
∴,
故答案为:3.507.
根据算术平方根的性质求解即可.
本题考查了算术平方根的性质,掌握算术平方根的性质是解题的关键.
15.【答案】或
【解析】解:因为轴,
所以A,B两点的横坐标相等,
则.
又因为,
所以,,
所以点B的坐标为或.
故答案为:或.
根据轴,可得出A,B两点的横坐标相等,再根据AB长为3,可求出点B的坐标.
本题考查坐标与图形性质,熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键.
16.【答案】和
【解析】解:∵当时,,则;当式,,则,
∴方程的正整数解和.
故答案为:和.
采用列举法求得方程的所有正整数解即可.
本题主要考查的是二元一次方程的解,应用列举法求解是解题的关键.
17.【答案】52°
【解析】解:∵,
∴,
∵,
∴.
故答案为:52°.
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数,从而求出∠GEB的度数,再根据平行线的性质求出∠1的度数.
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.
18.【答案】4027245
【解析】解:由题意可知:;
根据“永恒数”的定义
设,
其中,,x,y都为整数,,
∴
∵为整数,
∴是整数,
由于各个数位上的数字互不相同,
∴当m取最大值时,,最大,
当m取最小值时,,时最小,
∴m最大为,
m最小为,
∴,
故答案为:402,7245.
根据直接进行求解即可;根据“永恒数”的定义,设,求出的值,根据为整数,分情况求出m的最大值与最小值即可得出结果.
本题考查了新定义的实数运算,整式运算,理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键.
19.【答案】解:(1)原式
;
(2)由原方程可得,
则,
解得:或-3.
【解析】(1)利用二次根式的性质,算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可;
(2)利用平方根的定义解方程即可.
本题考查实数的运算及平方根,熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键.
20.【答案】解:(1),
①+②得:,
解得:,
将代入①得:,
解得:,
故原方程组的解为;
(2)原方程组整理得,
①-②得:,
解得:,
将代入②得:,
解得:,
故原方程组的解为.
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可;
(2)将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可.
本题考查解二元一次方程组,熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.
21.【答案】垂直的定义同位角相等,两直线平行∠1两直线平行,同旁内角互补已知∠3同角的补角相等DG内错角相等,两直线平行两直线平行,同位角相等
【解析】解:∵,(已知),
∴(垂直的定义),
∴(同位角相等,两直线平行),
∴(两直线平行,同旁内角互补),
又∵(已知),
∴(同角的补角相等),
∴(内错角相等,两直线平行),
∴.(两直线平行,同位角相等),
故答案为:①垂直的定义;②同位角相等,两直线平行;③∠1;④两直线平行,同旁内角互补;⑤已知;⑥∠3;⑦同角的补角相等;⑧DG;⑨内错角相等,两直线平行;⑩两直线平行,同位角相等.
根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义,同角的补角相等进行证明即可.
本题主要考查了垂直的定义,平行线的性质与判定,同角的补角相等等等,熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键.
22.【答案】解:(1)如图,即为所求.
的坐标为,的坐标为,的坐标为.
(2)△ABC的面积为
,
∵的面积等于△ABC面积的,
∴的面积为,
设点D的坐标为,
∴,
解得或-1,
∴点D的坐标为或.
【解析】(1)根据平移的性质作图,即可得出答案.
(2)由题意可得,的面积为,设点D的坐标为,则可列方程为,解方程即可得出答案.
本题考查作图-平移变换、三角形的面积,熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.
23.【答案】解:(1)设茄子和西红柿的种植面积各为x亩,y亩,
由题意得,,
解得,
答:茄子和西红柿的种植面积各为11亩,4亩;
(2)(万元),
答:种植场在这一季共获利34.6万元.
【解析】(1)设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩,y亩,根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总投入是26万元,其中,种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可;
(2)根据(1)所求,列式计算即可.
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,关键是根据题意找到等量关系式.
24.【答案】解:(1)∵,
∴.
又∵,
∴.
∴.
(2)由(1)得,.
∵BE为∠ABC的角平分线,
∴.
∴.
【解析】(1)根据平行线的性质,由,得,进而推断出.根据平行线的判定,得.
(2)根据角平分线的定义,得.再根据三角形内角和定理求得.
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理,熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键.
25.【答案】解:(1)∵是关于x,y的二元一次方程,
∴,
解得,
又∵,
∴,
又∵轴,
∴,
∴,,
∴;
(2)∵,
且线段OA向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到线段DC,
∴,,
过点C作AB的垂线交BA的延长线于点M,过点D作轴于点E,且交MC的延长线于点N,如图,
;
(3)显然的最小值为点A的纵坐标,
∴的最小值为5.
【解析】(1)根据二元一次方程定义求出a,b,得到点A的坐标,以及点B的坐标,从而确定OB,AB的值,根据三角形面积公式求出三角形AOB的面积;
(2)根据平面直角坐标系中点的平移的规定得到点C,点D的坐标;再利用割补法即可求出四边形OACD的面积;
(3)根据垂线段最短即可直接写出的最小值.
本题考查二元一次方程的定义,坐标系中图形面积计算,平移,垂线段最短,掌握相关概念,以及割补法求图形的面积的方法是解题的关键.
26.【答案】(1)解:如图所示,过点G作,
图1
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴.
(2)如图所示,过点H作,
图1
∵,,,
∴
∵MH平分∠BMG,NH平分∠GND,
∴
∵,
∴,
∴,,
∴;
(3)如图所示,将MP与CD的交点记作K,
图2
∵MT平分∠BMP,且,
∴,,
∵NC平分∠TNP,
∴,
设,
∴,
由(1)同理可得,,
∵,
∴,
∴在△KPN中,,
∴,即为定值.
【解析】(1)过点G作,利用平行线的性质求解;
(2)分别过点G和H作,,利用平行的性质得到对应的角度关系,进而求取∠MHN的值;
(3)根据角平分线的定义求出,,,设,求出,,相减即可证明.
本题主要考查平行的常见模型,对于平行的辅助线添加,可过转折点处作已知直线的平行线,再利用平行的性质求解.关于度数的定值问题,可以借助代数式求证.
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