人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.1二元一次方程组的特殊解法(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.1二元一次方程组的特殊解法(原卷版+解析)，共35页。
【典例1】数学方法：解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【思路点拨】
（1）设m+n=x，m−n=y，即可得m+n=−2m−n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，可得m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．
1．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：x5+y6=0①3x−y−43y+x=85②
2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
（1）43x−2y+32x−5y=1053x−2y−22x−5y=1； （2）3x+my=5x+2y=n；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6x1+2x2+x3+x4+x5=12x1+x2+2x3+x4+x5=24x1+x2+x3+2x4+x5=48x1+x2+x3+x4+2x5=96，求2x4+3x5的值.
3．（2023·全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3=y，原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程组的解为m=−4n=−1．
（1）若方程组2x−3y=45x−3y=1的解是x=−1y=−2，则方程组2a+b−3a−b=45a+b−3a−b=1的解是__________．
（2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：m4+n3=7m3+n2=8，解得m=60n=−24
把m=60n=−24代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9y=14
∴原方程组的解为x=9y=14
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组：x+y6+x−y10=3x+y6−x−y10=−1
（2）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=5y=2，则方程组5a1x+2b1y=6c15a2x+2b2y=6c2的解是 ．
5．（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
6．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5…③，把方程①代入③得：2×3+y=5即y=−1，把y=−1代入方程①，得x=4，所以方程组的解为x=4y=−1．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+5y=166x+11y=35；
（2）已知x，y满足方程组2x2−xy+3y2=246x2+4xy+9y2=51
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
7．（2023春·浙江·七年级阶段练习）已知方程组x+2y+3z=104x+3y+2z=15，求−2x+y+4z的值．
小明凑出“−2x+y+4z=2×x+2y+3z+−1×4x+3y+2z=20−15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设−2x+y+4z=mx+2y+3z+n4x+3y+2z，对照方程两边各项的系数可列出方程组m+4n=−22m+3n=13m+2n=4它的解就是你凑的数！
（1）根据丁老师的提示，已知方程组x+2y+3z=34x+3y+2z=7，求2x+5y+8z的值．
（2）已知2a−b+kc=4，且a+3b+2c=−2，当k为 时，8a+3b−2c为定值，此定值是 ．（直接写出结果）
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组32x+35y=38①30x+33y=36②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③．
③×35﹣①得3x=﹣3．
解得x=﹣1，从而y=2．
所以原方程组的解是x=−1y=2
（1）请你运用上述方法解方程组：2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②；
（2）猜测关于x、y的方程组ax+(a+n)y=a+2n①bx+(b+n)y=b+2n②（a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
（3）请你用类似方法解方程组：1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2x−3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m=2x+3y，n=2x−3y．
原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，
解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m=2x+3y，n=2x−3y，
得2x+3y=602x−3y=−24，
解得x=9y=14．
∴原方程组的解为x=9y=14．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）2(x+1)+3(y−2)=1x+1−2(y−2)=4
（2）x+y2+x−y5=−32(x+y)−3x+3y=26
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）先阅读，再解方程组．
解方程组x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1
解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为m2+n3=7m3−n4=−1．解得m=6n=12，∴原方程组的解为x=9y=−3．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组ax+by=73x−2by=5的解是x=6y=−3，求方程组2a(x+y)+b(x−y)=76(x+y)−2b(x−y)=5的解．
（2）用换元法解方程组2x+y−1x−y=33x+y+4x−y=10（其中|x|≠|y|）．
11．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）【情境呈现】在解方程组2x+3y3+4x−3y2=72x+3y4+4x−3y3=5时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x−3y分别看作一个整体，通过换元：令m=2x+3y、n=4x−3y，可以将原方程组化为m3+n2=7m4+n3=5，解得m=12n=6，把m=12n=6代入m=2x+3y、n=4x−3y，得2x+3y=124x−3y=6，解得x=3y=2，所以原方程组解为x=3y=2．
（1）【灵活运用】若方程组3x+by=1ax+y=6的解为x=1y=1，则方程组3(x−2)+b(y+2)=1a(x−2)+(y+2)=6的解为 ；
（2）【灵活运用】若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=ky=k−2，其中k为常数．
①求方程组13a1(x+1)+12b1(y−2)=c113a2(x+1)+12b2(y−2)=c2的解：
②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x>y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组{14x+15y=16①17x+18y=19②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大．如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②－①得3x+3y=3，∴x+y=1③．
③×14得14x+14y=14④．
①－④得y=2，从而得x=−1．
∴原方程组的解是{x=−1y=2
（1）请运用上述方法解方程组{2015x+2016y=20172018x+2019y=2020．
（2）请直接写出方程组{998x+999y=10009998x+9999y=10000的解是______
（3）猜测关于x，y的方程组{mx+(m+1)y=m+2nx+(n+1)y=n+2(m≠n)的解，并加以验证．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1x+y&4b1x−y=5c13a2x+y⊗4b2x−y=5c2的解．
14．（2023春·七年级课时练习）【阅读材料】解二元一次方程组：10x+23y=119①23x+10y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数，
可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y ③
把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5，
∴原方程组的解是x=5y=3. 这样运算显得比较简单.
解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8，
∴ x＝8－y ③，
把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是x=5y=3.
【学以致用】
（1）填空：由二元一次方程组x+3y=53x+y=3，可得x＋y＝__________；
（2）解方程组：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②
【拓展提升】
（3）当m≠－12时，解关于x，y的方程组(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②.
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）数学乐园：解二元一次方程组{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②，①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1，
当a1b2−a2b1≠0时，x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1，同理：y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1；
符号|abcd|称之为二阶行列式，规定：|abcd|=ad−bc，
设D=|a1b1a2b2|，Dx=|c1b1c2b2|，Dy=|a1c1a2c2|，那么方程组的解就是{x=DxDy=DyD
（1）求二阶行列式|3456|的值；
（2）解不等式：|xx−22−4|≥−2；
（3）用二阶行列式解方程组{3x−2y=62x+3y=17；
（4）若关于x、y的二元一次方程组{3x−my=62x+3y=17无解，求m的值．
16．（2023·全国·九年级专题练习）我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组x+ky=bkx+y=b叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=b+2(1−a)x+y=3，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______．
（2）若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是______．
（3）直接写出方程组的解：
x+2y=32x+y=3的解为______；3x+2y=−102x+3y=−10的解为______；2x−y=4−x+2y=4的解为______．
（4）发现：若共轭二元一次方程组x+ky=bkx+y=b的解是x=my=n则m，n之间的数量关系是______．
（5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．
x
2
0
y
0
1
专题8.1 二元一次方程组的特殊解法
【典例1】数学方法：解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【思路点拨】
（1）设m+n=x，m−n=y，即可得m+n=−2m−n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，可得m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．
1．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：x5+y6=0①3x−y−43y+x=85②
【思路点拨】
采用先换元，再代入即可作答．
【解题过程】
解：由①，得x5=−y6，
设x5=−y6=k，则x=5k，y=−6k，
将x=5k，y=−6k代入方程②，
得35k+6k−43×−6k+5k=85，
解这个方程得k=1，
即x=5，y=−6，
所以原方程组的解是x=5y=−6。
2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
（1）43x−2y+32x−5y=1053x−2y−22x−5y=1；
（2）3x+my=5x+2y=n；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6x1+2x2+x3+x4+x5=12x1+x2+2x3+x4+x5=24x1+x2+x3+2x4+x5=48x1+x2+x3+x4+2x5=96，求2x4+3x5的值.
【思路点拨】
（1）设13x−2y=a，12x−5y=b，方程组变形为关于a与b的方程组，求出解得到a与b的值，即可求出x与y的值；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）先求出x1+x2+x3+x4+x5=31，再利用加减消元法可分别求出x4=17，x5=65，代入计算后即可求得代数式的值．
【解题过程】
解：（1）43x−2y+32x−5y=1053x−2y−22x−5y=1，
解：设13x−2y=a，12x−5y=b，则原方程组可化为4a+3b=10①5a−2b=1②，
①×2+②×3得：23a=23，则a=1，
把a=1代入①得：b=2，
则3x−2y=12x−5y=12，即3x−2y=1①4x−10y=1②，
①×5-②得：11x=4，即x=411，
把x=411代入①得：y=122，
经检验，方程组的解为x=411y=122；
（2）3x+my=5①x+2y=n②，
①－②×3，得(m−6)y=5−3n，
当m≠6时，y=5−3nm−6，
将y=5−3nm−6代入②，得x+2×5−3nm−6=n，
解得x=mn−10m−6，
∴当m≠6时，原方程组的解为x=mn−10m−6y=5−3nm−6；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6①x1+2x2+x3+x4+x5=12②x1+x2+2x3+x4+x5=24③x1+x2+x3+2x4+x5=48④x1+x2+x3+x4+2x5=96⑤，
①+②+③+④+⑤，得6x1+6x2+6x3+6x4+6x5=186，
则x1+x2+x3+x4+x5=31，⑥
④-⑥，得x4=17，
⑤-⑥，得x5=65，
∴2x4+3x5=2×17+3×65=229．
3．（2023·全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3=y，原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程组的解为m=−4n=−1．
（1）若方程组2x−3y=45x−3y=1的解是x=−1y=−2，则方程组2a+b−3a−b=45a+b−3a−b=1的解是__________．
（2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1．
【思路点拨】
（1）根据题意所给材料可得出a+b=−1a−b=−2，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令m=x+y，n=x−y，则原方程组可化为3m−4n=4m2+n6=1，解出m，n，代入m=x+y，n=x−y，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：m=2815n=25，∴x+y=2815x−y=25，解这个二元一次方程组即可．
【解题过程】
（1）∵方程组2x−3y=45x−3y=1的解是x=−1y=−2，
∴a+b=−1a−b=−2，
解得：a=−32b=12 ；
（2）对于3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1，令m=x+y，n=x−y，
则原方程组可化为3m−4n=4m2+n6=1，
解得：m=2815n=25，
∴x+y=2815x−y=25，
解得：x=1715y=1115．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：m4+n3=7m3+n2=8，解得m=60n=−24
把m=60n=−24代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9y=14
∴原方程组的解为x=9y=14
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组：x+y6+x−y10=3x+y6−x−y10=−1
（2）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=5y=2，则方程组5a1x+2b1y=6c15a2x+2b2y=6c2的解是 ．
【思路点拨】
（1）令m=x+y，n=x−y，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令m=5x，n=2y，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【解题过程】
（1）解：令m=x+y，n=x−y，
原方程组可化为m6+n10=3m6−n10=−1，
解得：m=6n=20，
∴x+y=6x−y=20，
两式相加得x=13，将x=13代入x−y=20中，求得y=−7，
∴原方程组的解为x=13y=−7 ；
（2）解：m=5x，n=2y，
原方程组可化为
a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2 ，
依题意，得
m=5n=2，
∴56x=513y=2，
解得x=6y=6．
故答案为：x=6y=6．
5．（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
【思路点拨】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【解题过程】
解：（1）选择甲，3m+2n=7k−4①2m+3n=−2②，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝21k−85，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝2−14k5，
代入m+n＝3得：21k−85+2−14k5＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
3m+2n=7k−4①2m+3n=−2②，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝7k-65，
代入m+n＝3得：7k-65＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：m+n=3①2m+3n=−2②，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：a+1=3b+2=7，
解得：b=5a=2，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
6．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5…③，把方程①代入③得：2×3+y=5即y=−1，把y=−1代入方程①，得x=4，所以方程组的解为x=4y=−1．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+5y=166x+11y=35；
(2)已知x，y满足方程组2x2−xy+3y2=246x2+4xy+9y2=51
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【思路点拨】
（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）（i）把方程变形后，再把将①代入方程②，即可；
（ii）根据x与y是整数且xy=−3计算即可．
【解题过程】
解：（1）3x+5y=16①6x+11y=35②，
将方程②变形：6x+10y+y=35，
即2(3x+5y)+y=35③，
把方程①代入③得：2×16+y=35，
解得y=3，
把y=3代入方程①，得x=13，
所以方程组的解为x=13y=3；
（2）（i）原方程组化为2x2−xy+3y2=24①32x2−xy+3y2+7xy=51②，
将①代入方程②得：72+7xy=51，
∴xy=−3；
（ii）由（i）得xy=−3，
∵x与y是整数，
∴x=−1y=3或x=3y=−1或x=−3y=1或x=1y=−3，
由（i）可求得2x2+3y2=21，
∴x=−3y=1和x=3y=−1符合题意，
故原方程组的所有整数解是x=−3y=1或x=3y=−1．
7．（2023春·浙江·七年级阶段练习）已知方程组x+2y+3z=104x+3y+2z=15，求−2x+y+4z的值．
小明凑出“−2x+y+4z=2×x+2y+3z+−1×4x+3y+2z=20−15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设−2x+y+4z=mx+2y+3z+n4x+3y+2z，对照方程两边各项的系数可列出方程组m+4n=−22m+3n=13m+2n=4它的解就是你凑的数！
（1）根据丁老师的提示，已知方程组x+2y+3z=34x+3y+2z=7，求2x+5y+8z的值．
（2）已知2a−b+kc=4，且a+3b+2c=−2，当k为 时，8a+3b−2c为定值，此定值是 ．（直接写出结果）
【思路点拨】
（1）仿照样例进行解答便可；
（2）仿照样例进行解答．
【解题过程】
（1）解：假设2x+5y+8z＝m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），
对照方程两边各项的系数可列出方程组m+4n=2，2m+3n=5，3m+2n=8，
解得m=145n=−15，
∴2x+5y+8z=145(x+2y+3z)−15(4x+3y+2z)，
∴2x+5y+8z=145×3−15×7=7．
（2）设8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c），
2m+n=83n−m=3km+2n=−2，
∴m=3n=2，k=−2，
∴8a+3b﹣2＝3×4+2×（﹣2）＝8．
故答案为：﹣2；8．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组32x+35y=38①30x+33y=36②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③．
③×35﹣①得3x=﹣3．
解得x=﹣1，从而y=2．
所以原方程组的解是x=−1y=2
（1）请你运用上述方法解方程组：2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②；
（2）猜测关于x、y的方程组ax+(a+n)y=a+2n①bx+(b+n)y=b+2n②（a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
（3）请你用类似方法解方程组：1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②．
【思路点拨】
（1）仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解；
（2）将方程组的解代入方程计算方程左右两边相等即可检验；
（3）仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【解题过程】
解：（1）2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②，
②﹣①得3x+3y=3，即x+y=1③，
③×2018﹣①得2x=﹣2，
解得x=﹣1，
将x=﹣1代入③得y=2，
∴原方程组的解为x=−1y=2；
（2）方程组ax+(a+n)y=a+2n①bx+(b+n)y=b+2n②的解为x=−1y=2，
检验：把x=−1y=2代入①得，左边=﹣a+2a+2n=a+2n=右边；
把x=−1y=2代入②得，左边=﹣b+2b+2n=b+2n=右边，
∴x=−1y=2是原方程组的解；
（3）1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②，
①+②得2020x+2020y=4040，即x+y=2③，
③×1007﹣①得﹣2x=﹣5，
解得x=2.5，
将x=2.5代入③得y=﹣0.5，
∴原方程组的解为x=2.5y=−0.5．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2x−3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m=2x+3y，n=2x−3y．
原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，
解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m=2x+3y，n=2x−3y，
得2x+3y=602x−3y=−24，
解得x=9y=14．
∴原方程组的解为x=9y=14．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）2(x+1)+3(y−2)=1x+1−2(y−2)=4
（2）x+y2+x−y5=−32(x+y)−3x+3y=26
【思路点拨】
（1）令m=x+1，n=y−2，原方程组变形为2m+3n=1m−2n=4，解得m=2n=−1，还原方程组得x+1=2y−2=−1，求解即可．
（2）令p=x+y，q=x−y．仿照原题的解法求解即可．
【解题过程】
解：（1）令m=x+1，n=y−2，
方程组2(x+1)+3(y−2)=1x+1−2(y−2)=4变形为2m+3n=1m−2n=4，
解得m=2n=−1，
所以x+1=2y−2=−1，
解得x=1y=1
∴原方程组的解为x=1y=1．
（2）令p=x+y，q=x−y．
原方程组化为p2+q5=−32p−3q=26
解得p=−2q=−10，
把p=−2q=−10代入p=x+y，q=x−y．
得x+y=−2x−y=−10,
解得x=−6y=4·
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）先阅读，再解方程组．
解方程组x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1
解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为m2+n3=7m3−n4=−1．解得m=6n=12，∴原方程组的解为x=9y=−3．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组ax+by=73x−2by=5的解是x=6y=−3，求方程组2a(x+y)+b(x−y)=76(x+y)−2b(x−y)=5的解．
（2）用换元法解方程组2x+y−1x−y=33x+y+4x−y=10（其中|x|≠|y|）．
【思路点拨】
（1）先把方程组2a(x+y)+b(x−y)=76(x+y)−2b(x−y)=5变形为a(2x+2y)+b(x−y)=73(2x+2y)−2b(x−y)=5，根据题意得到2x+2y=6x−y=−3，然后解方程组即可；
（2）设m=1x+y，n=1x−y，则原方程组化为2m−n=33m+4n=10，解得m=2n=1，然后解方程组x+y=12x−y=1即可．
【解题过程】
解：（1）把方程组2a(x+y)+b(x−y)=76(x+y)−2b(x−y)=5变形为a(2x+2y)+b(x−y)=73(2x+2y)−2b(x−y)=5，
∵方程组ax+by=73x−2by=5的解是x=6y=−3，
∴ 2x+2y=6x−y=−3，解得x=0y=3，
∴方程组2a(x+y)+b(x−y)=76(x+y)−2b(x−y)=5的解为x=0y=3；
（2）设m=1x+y，n=1x−y，则原方程组化为2m−n=33m+4n=10，解得m=2n=1，
即x+y=12，x−y=1，
解方程组x+y=12x−y=1，解得x=34y=−14，
所以原方程组的解为x=34y=−14．
11．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）【情境呈现】在解方程组2x+3y3+4x−3y2=72x+3y4+4x−3y3=5时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x−3y分别看作一个整体，通过换元：令m=2x+3y、n=4x−3y，可以将原方程组化为m3+n2=7m4+n3=5，解得m=12n=6，把m=12n=6代入m=2x+3y、n=4x−3y，得2x+3y=124x−3y=6，解得x=3y=2，所以原方程组解为x=3y=2．
（1）【灵活运用】若方程组3x+by=1ax+y=6的解为x=1y=1，则方程组3(x−2)+b(y+2)=1a(x−2)+(y+2)=6的解为 ；
（2）【灵活运用】若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=ky=k−2，其中k为常数．
①求方程组13a1(x+1)+12b1(y−2)=c113a2(x+1)+12b2(y−2)=c2的解：
②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x>y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据3x+by=1ax+y=6的解为x=1y=1，得出3m+bn=1am+n=6的解为m=1n=1，令x−2=m，y+2=n，将方程组3x−2+by+2=1ax−2+y+2=6变为：3m+bn=1am+n=6，得出x−2=1y+2=1即可得出结果；
（2）①令13x+1=m，12y−2=n，则13a1x+1+12b1y−2=c113a2x+1+12b2y−2=c2可变为：a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，由a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=ky=k−2，变为a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2的解为m=kn=k−2，然后解方程13x+1=k12y−2=k−2即可；
②根据x>y，列出关于k的不等式，解关于k的不等式即可．
【解题过程】
（1）解：∵3x+by=1ax+y=6的解为x=1y=1，
∴3m+bn=1am+n=6的解为m=1n=1，
令x−2=m，y+2=n，则方程组3x−2+by+2=1ax−2+y+2=6可变为：3m+bn=1am+n=6，
∴x−2=1y+2=1，解得：x=3y=−1．
（2）①令13x+1=m，12y−2=n，则13a1x+1+12b1y−2=c113a2x+1+12b2y−2=c2可变为：a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=ky=k−2，
∴a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2的解为m=kn=k−2，
即13x+1=k12y−2=k−2，解得：x=3k−1y=2k−2；
②不存在；
由①得：x=3k−1y=2k−2，
∵x>y，
∴3k−1>2k−2，
∴k>−1，
又∵k为负整数，
∴不存在．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组{14x+15y=16①17x+18y=19②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大．如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②－①得3x+3y=3，∴x+y=1③．
③×14得14x+14y=14④．
①－④得y=2，从而得x=−1．
∴原方程组的解是{x=−1y=2
（1）请运用上述方法解方程组{2015x+2016y=20172018x+2019y=2020．
（2）请直接写出方程组{998x+999y=10009998x+9999y=10000的解是______
（3）猜测关于x，y的方程组{mx+(m+1)y=m+2nx+(n+1)y=n+2(m≠n)的解，并加以验证．
【思路点拨】
（1）先把两个方程相减得到x+y=1, 再利用加减法解方程即可；
（2）先把两个方程相减得到x+y=1, 再利用加减法解方程即可；
（3）先把两个方程相减得到x+y=1, 再利用加减法解方程即可；再把方程的解代入方程组中的两个方程进行检验即可．
【解题过程】
（1）解：{2015x+2016y=2017①2018x+2019y=2020②
②-①得：3x+3y=3, 即x+y=1,
所以：2015x+2015y=2015③
①-③得：y=2,
∴x=−1,
∴方程组的解为：{x=−1y=2.
（2）{998x+999y=1000①9998x+9999y=10000②
②-①得：9000x+9000y=9000, 即x+y=1,
∴998x+998y=998③，
①-③得：y=2,
∴x=−1,
∴方程组的解为：{x=−1y=2.
（3）{mx+(m+1)y=m+2①nx+(n+1)y=n+2②
①-②得：(m−n)x+(m−n)y=m−n,
∵m≠n,
∴x+y=1,
∴mx+my=m③，
①-③得：y=2,
∴x=−1,
∴方程组的解为：{x=−1y=2.
把{x=−1y=2代入①，左边=−m+2m+2=m+2=右边，
把{x=−1y=2代入②，左边=−n+2n+2=n+2=右边，
所以{x=−1y=2是方程组的解．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1x+y&4b1x−y=5c13a2x+y⊗4b2x−y=5c2的解．
【思路点拨】
（1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据x+y=5进行求解即可；
（3）可令3x+y5=m45x−y=n再根据同解题意可知关于m、n的方程组a1m&b1n=c1a2m⊗b2n=c2的解为m=4n=5，则3x+y5=445x−y=5据此求解即可；
【解题过程】
（1）解：由题意得：a+b=13a−2b=8，
解得a=2b=−1；
（2）解：∵x&y=4−mx⊗y=5m，
∴2x−y=4−m2x+y=5m，
∴x=m+1y=3m−2，
又∵关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，
∴m+1+3m−2=5，
∴m=1.5
（3）解：∵3a1x+y&4b1x−y=5c13a2x+y⊗4b2x−y=5c2，
∴可令3x+y5=m45x−y=n，
∴a1m&b1n=c1a2m⊗b2n=c1，
∵关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，
∴关于m、n的方程组a1m&b1n=c1a2m⊗b2n=c2的解为m=4n=5，
∴3x+y5=445x−y=5，
解得x=15524y=524．
14．（2023春·七年级课时练习）【阅读材料】解二元一次方程组：10x+23y=119①23x+10y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数，
可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y ③
把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5，
∴原方程组的解是x=5y=3. 这样运算显得比较简单.
解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8，
∴ x＝8－y ③，
把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是x=5y=3.
【学以致用】
（1）填空：由二元一次方程组x+3y=53x+y=3，可得x＋y＝__________；
（2）解方程组：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②
【拓展提升】
（3）当m≠－12时，解关于x，y的方程组(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②.
【思路点拨】
（1）根据材料中介绍的方法，解二元一次方程组x+3y=5①3x+y=3②，通过①+②得：x+y=2．
（2）观察原方程组，发现两式相加不能简化，所以将两式相减．解二元一次方程组2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②，通过①-②，化简可得：x−y=1，所以x=y+1③．将③代入①中，即可解出y=−2，则x=y+1=−1．所以原方程组的解为x=−1y=−2
（3）观察原方程组，选择两式相减．解二元一次方程组(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②，通过①-②，化简可得：−x+y=1，所以y=x+1③．将③代入①中，整理可得：(2m+1)x=−6m−3=−3(2m+1)．当m≠−12时，即可解出x=−3，则y=x+1=−2．所以原方程组的解为x=−3y=−2
【解题过程】
（1）解：x+3y=5①3x+y=3②
由①+②得：4x+4y=8，即x+y=2
故答案为：2．
（2）解：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②
由①-②得：x−y=1
∴ x=y+1③
把③代入①得：2021y+2021−2022y=2023
解得：y=−2
把y=−2代入③得：x=y+1=−2+1=−1
∴原方程组的解为x=−1y=−2
（3）解：(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②
由①-②得：−4x+4y=4，即：−x+y=1
∴ y=x+1③
把③代入①中得：(m−1)x+(m+2)x+m+2=−5m−1
即(2m+1)x=−6m−3=−3(2m+1)
当m≠−12时，可解得x=−3
把x=−3代入③得：y=x+1=−3+1=−2
∴原方程组的解为x=−3y=−2
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）数学乐园：解二元一次方程组{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②，①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1，
当a1b2−a2b1≠0时，x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1，同理：y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1；
符号|abcd|称之为二阶行列式，规定：|abcd|=ad−bc，
设D=|a1b1a2b2|，Dx=|c1b1c2b2|，Dy=|a1c1a2c2|，那么方程组的解就是{x=DxDy=DyD
（1）求二阶行列式|3456|的值；
（2）解不等式：|xx−22−4|≥−2；
（3）用二阶行列式解方程组{3x−2y=62x+3y=17；
（4）若关于x、y的二元一次方程组{3x−my=62x+3y=17无解，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据|abcd|=ad−bc，即可求出|3456|；
（2）根据|abcd|=ad−bc，得|xx−22−4|≥−2=x×(−4)−2(x−2)≥−2，解出x，即可；
（3）根据D=|a1b1a2b2|，Dx=|c1b1c2b2|，Dy=|a1c1a2c2|，那么方程组的解就是{x=DxDy=DyD，即可求出{3x−2y=62x+3y=17的解；
（4）根据{3x−my=62x+3y=17无解，得D=0，即可求出m的值．
【解题过程】
解：（1）∵|abcd|=ad−bc
∴|3456|=3×6−4×5=−2
∴|3456|的值是−2．
（2）∵|abcd|=ad−bc
∴|xx−22−4|=−4x−2(x−2)
∴|xx−22−4|≥−2=−4x−2(x−2)≥−2
∴−4x−2x+4≥−2
∴−6x≥−6
∴x≤1
∴|xx−22−4|≥−2的解集为x≤1．
（3）∵方程组{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②
∴方程组{3x−2y=62x+3y=17中，a1=3，a2=2，b1=−2，b2=3，c1=6，c2=17
∴D=|a1b1a2b2|=|3−223|=9−(−4)=13
Dx=|c1b1c2b2|=|6−2173|=18+34=52
Dy=|a1c1a2c2|=|36217|=3×17−12=39
x=DxD=5213=4，y=DyD=3913=3
∴方程组的解为：{x=4y=3．
（4）∵{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②
∴方程组{3x−my=62x+3y=17中，a1=3，a2=2，b1=−m，b2=3，c1=6，c2=17
∴D=|a1b1a2b2|=|3−m23|=9−2(−m)=9+2m
∵{3x−my=62x+3y=17无解
∴D=0
∴9+2m=0
解得m=−92．
16．（2023·全国·九年级专题练习）我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组x+ky=bkx+y=b叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=b+2(1−a)x+y=3，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______．
（2）若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是______．
（3）直接写出方程组的解：
x+2y=32x+y=3的解为______；3x+2y=−102x+3y=−10的解为______；2x−y=4−x+2y=4的解为______．
（4）发现：若共轭二元一次方程组x+ky=bkx+y=b的解是x=my=n则m，n之间的数量关系是______．
（5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．
【思路点拨】
（1）根据共轭二元一次方程组定义可得解答1-a=2，b+2=3，解方程即可得到答案；
（2）将x与y的对应值代入x+ky=b中，得到二元一次方程组，求出k与b的值，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）分别根据代入法或是加减法解方程组；
（4）观察（3）中x与y的关系即可得到答案，
（5）根据共轭二元一次方程组定义，写出符合条件的一组方程组即可．
【解题过程】
解：（1）由题意得1-a=2，b+2=3，
解得a=-1，b=1，；
（2）由题意得将x=2，y=0；x=0，y=1代入x+ky=b中得：2=bk=b，
解得b=2k=2，
∴原方程为：x+2y=2，
∴这个方程的共轭二元一次方程是2x+y=2；
（3）解方程组x+2y=3①2x+y=3②，
由①得x=3-2y③，
将③代入②得，2（3-2y）+y=3，
解得y=1，
将y=1代入③得x=3-2=1，
∴原方程组的解为x=1y=1；
解方程组3x+2y=−10①2x+3y=−10②，
①-②得x-y=0，
∴x=y，
将x=y代入①得x=-2，
∴y=-2，
∴原方程组的解是x=−2y=−2；
解方程组2x−y=4①−x+2y=4②，
由①得y=2x-4③，
将③代入②得-x+2（2x-4）=4，
解得x=4，
将x=4代入③得y=4，
∴原方程组的解是x=4y=4；
（4）由（3）可知，解方程组x+ky=bkx+y=b的解是x=my=n中m与n的数量关系是m=n.
（5）x−2y=1①−2x+y=1②
①×2，得2x-4y=2
②+③得：y=-1
将y=-1代入①中得：x=-1，
∴方程组的解为x=−1y=−1 ．x
2
0
y
0
1