人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.5工程问题、数字问题与年龄问题(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.5工程问题、数字问题与年龄问题(原卷版+解析)，共21页。
【典例1】甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的13，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的14、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？
【思路点拨】
设甲的效率为a，丙的效率为b，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【解题过程】
解：设甲的效率为a，丙的效率为b，
∵甲、乙合作完成这项工作需要8天，
∴甲、乙的工作效率之和为18，
则乙的效率为18−a
∵甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的13，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的14，
∴甲的效率的3倍等于乙和丙的效率，
乙的效率的4倍等于甲和丙的效率，
∴418−a=a+b3a=18−a+b，
解得：a=572,b=1172
∴甲、丙的效率和为572+1172=29，
1÷29=92=4.5
∴甲、丙合作完成这项工作需要4.5天．
1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
2．（2023春·全国·七年级专题练习）2021年寒假即将来临，成都市实验外国语学校准备请工人到学校装修教室，已知一天3名一级技工去粉刷7个教室，结果30m2没来得及粉刷；同样时间内10名二级技工粉刷15个房间之外，还多粉刷了另外的50m2墙面，每一名一级技工比二级技工一天多粉刷35m2墙面，求这每个教室需要粉刷的墙面面积为多少平方米？
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
4．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两工程队共同修建300km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？
5．（2022秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）某超市的地面需要铺设地砖，经询问得知:若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两工程队的费用共8000元；若先请甲工程队单独做6天，再请乙工程队单独做，则乙工程队12天可以完成，需付两工程队的费用共7920元.问：
（1）甲、乙两工程队单独工作一天，超市应各付多少元？
（2）单独请哪个工程队，超市所付费用较少？
6．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得x+y=____________+______=20
②小华同学：设整治任务完成后，m表示______，n表示______；
则可列方程组为m+n=2016m+24n=360.
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
9．（2023春·全国·七年级专题练习）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．
（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？
（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m的值．
11．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的4倍刚好等于这个两位数．求这个两位数．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
14．（2022秋·七年级课时练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
15．（2022秋·八年级课时练习）一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
16．（2022秋·八年级课前预习）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）“小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
则12：00时看到的两位数是多少？
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
19．（2023春·全国·七年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
20．（2023春·七年级单元测试）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
（1）求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
（2）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
时刻
12：00
13：00
14：30
碑上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数中间多了个0
专题8.5 工程问题、数字问题与年龄问题
【典例1】甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的13，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的14、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？
【思路点拨】
设甲的效率为a，丙的效率为b，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【解题过程】
解：设甲的效率为a，丙的效率为b，
∵甲、乙合作完成这项工作需要8天，
∴甲、乙的工作效率之和为18，
则乙的效率为18−a
∵甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的13，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的14，
∴甲的效率的3倍等于乙和丙的效率，
乙的效率的4倍等于甲和丙的效率，
∴418−a=a+b3a=18−a+b，
解得：a=572,b=1172
∴甲、丙的效率和为572+1172=29，
1÷29=92=4.5
∴甲、丙合作完成这项工作需要4.5天．
1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
【思路点拨】
设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又各自生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组各自生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个等量关系列方程组求解即可．
【解题过程】
解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得：
1+7x=7y300+5x+200=5y
解得：x=700y=800
答：甲、乙两组每天个各生产700、800个产品．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）2021年寒假即将来临，成都市实验外国语学校准备请工人到学校装修教室，已知一天3名一级技工去粉刷7个教室，结果30m2没来得及粉刷；同样时间内10名二级技工粉刷15个房间之外，还多粉刷了另外的50m2墙面，每一名一级技工比二级技工一天多粉刷35m2墙面，求这每个教室需要粉刷的墙面面积为多少平方米？
【思路点拨】
设每一名二级技工一天粉刷xm2墙面, 这每个教室需要粉刷的墙面面积ym2，等量关系：3名一级技工一天工作量= 7个教室粉刷任务－30m2，10名二级技工一天工作量=15个房间粉刷任务+ 50m2，构造方程组，解方程组即可．
【解题过程】
解：设每一名二级技工一天粉刷xm2墙面, 这每个教室需要粉刷的墙面面积ym2，
根据题意3x+35=7y−3010x=15y+50，
解方程组得x=95y=60．
答：这每个教室需要粉刷的墙面面积为60平方米．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
【思路点拨】
设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“前3小时两人共加工126件，后5小时内，甲比乙多加工了15件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得：
3x+3y=1264x+10−5y−1=15，
解方程组得：x=20y=22，
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两工程队共同修建300km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？
【思路点拨】
根据题意可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲，乙两工程队原计划平均每月修建公路的长度．
【解题过程】
设原计划甲每月xkm，乙每月ykm，
30(x+y)=300(30−5)×[(1+50%)x+y]=300，
解得：x=4y=6，
经检验，符合题意．
故甲工程队原计划平均每月修建公路4km，乙工程队原计划平均每月修建公路6km．
5．（2022秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）某超市的地面需要铺设地砖，经询问得知:若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两工程队的费用共8000元；若先请甲工程队单独做6天，再请乙工程队单独做，则乙工程队12天可以完成，需付两工程队的费用共7920元.问：
（1）甲、乙两工程队单独工作一天，超市应各付多少元？
（2）单独请哪个工程队，超市所付费用较少？
【思路点拨】
（1）首先根据题意设出未知数，然后找出题目中的两个等量关系：①甲乙两个工程队同时施工，8天可以完工的施工费用=8000元；②甲工程队单独施工6天的费用+乙工程队单独施工12天的费用=7920元，列出方程组可解得答案；
（2）设甲工程队每天完成的工作量为m，乙工程队每天完成的工作量为n，则可得8m+8n=1，6m+12n=1，解之可得甲乙两工程队的工作工作效率，可知那个干得快，进而可得到甲乙两工程队费用．
【解题过程】
解：（1）设甲工程队单独工作一天，超市应付x元，乙工程队单独工作一天.超市应付y元.
由题意可得，{8(x+y)=80006x+12y=7920,
解得{x=680y=320.
答：甲工程队单独工作一天，超市应付680元，乙工程队单独工作一天，超市应付320元.
（2）设工程总量为单位1，甲工程队的工作效率为m.乙工程队的工作效率为n.
由题意可得，{8(m+n)=16m+12n=1
解得，{m=112n=124,
所以甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需24天，
所以单独请甲工程队需付680×12=8160(元），单独请乙工程队需付320×24=7680(元），
所以单独请乙工程队，超市所付需用较少.
6．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得x+y=____________+______=20
②小华同学：设整治任务完成后，m表示______，n表示______；
则可列方程组为m+n=2016m+24n=360.
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【思路点拨】
（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）① x+y=360x16+y24=20
故答案为：360，x16，y24；
② m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）选择①
解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
x+y=360x16+y24=20
解得x=240y=120
经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②
解：设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天． 则
m+n=2016m+24n=360
解得m=15n=5
经检验，符合题意
甲整治的河道长度：15×16=240米 ；乙整治的河道长度：5×24=120米
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【思路点拨】
（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【解题过程】
（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则m+n=16，
故答案为：m+n=16．
（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，
m+n=164m+9n=1
解得：m=110n=115
∵110>115
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，根据题意得：
6a+6b=5.24a+9b=4.8
解得：a=35b=415
∴公司共需35×10=305=6万元，乙公司共需415×15=4万元，4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【思路点拨】
（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；
【解题过程】
解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．
依题意，得：{x+2y=400,2x+3y=700.
解之得：{x=200,y=100.
答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．
（2）设甲工程队最多可以调走m人．
依题意，得：
8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．
解之得：m=8．
答：甲工程队最多可以调走8人．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【思路点拨】
（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y，n的二元一次方程，结合0