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人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题7.1平面直角坐标系中的规律问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题7.1平面直角坐标系中的规律问题(原卷版+解析)，共30页。
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点A(−6,3)，B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，连接AB，BC，CD，DA，BD，并依次取AB，BC，CD，DA，BD的中点E，F，G，H，I，分别写出E，F，G，H的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段PQ两端点坐标分别为Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，请用等式表示你所观察的规律 ，并用G，I的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” )；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点M1(−9,5)，点M2(11,17)，则线段M1M2的中点M的坐标为 ；
②已知点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，求点N2的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段M1M2的中点M的坐标；
②设点N2的坐标为(m,n)，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点N2的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)，I(−1,1)，
∴E，F，G，H的坐标分别为：E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
∵Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，
∴ x0=x1+x22y0=y1+y22，
∵B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，G(5,72)，I(−1,1)，G、I分别为线段CD、BD的中点，
∴检验得，5=8+2272=0+72，−1=−4+221=−5+72，
∴通过G，I的坐标验证规律是正确的，
故答案为：x0=x1+x22y0=y1+y22；是；
（3）解：①∵点M1(−9,5)，点M2(11,17)，
∴根据（2）中发现的规律，线段M1M2的中点M的坐标为−9+112,5+172=1,11，
故答案为：(1,11)；
②设点N2的坐标为(m,n)，
∵点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，
∴ m−122=1n−152=2，
∴ m=14n=19，
∴点N2的坐标为(14,19)．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1(1,1)，A2(−1,1)，A3(−1,−1)，A4(1,−1)，A5(2,2)，A6(−2,2)，A7(−2,−2)，A8(2,−2)，A9(3,3)，A10(−3,3)，……，按此规律接下去，则A2016的坐标为（ ）
A．(−504,−504)B．(504,−504)
C．(−504,504)D．(504,504)
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对(m,n)表示，如点A的位置为(3,3)，点B的位置为(6,2)．点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)，…，第n次移动n个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上)，那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．(182,169)B．(169,182)C．(196,182)D．(196,210)
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点P0−3，4运动到点P1−2，2，第2次运动到点P2−1，1，第3次运动到点P30，−1，……按这样的规律，第2023次运动到点P2023的坐标是（ ）
A．2020，1B．2021，1C．2020，−1D．2021，−1
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．1，−1B．−1，1C．−1，−2D．1，−2
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点A10，0出发，由A1跳动至点A20，2，依次跳动至点A32，−1，点A42，0，点A52，2…根据这个规律，则点A2022的坐标是（ ）
A．（1348，-1）B．（1348，2）C．（674，-1）D．（674，2）
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1−1,1，第二次点A1跳动至点A22,1，第三次点A2跳动至点A3−2,2，第四次点A3跳动至点A43,2，……依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021）B．（674，2021）C．（-673，2021）D．（-674，2021）
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到A1，第二次向右蹦到A2，第三次向下蹦到A3，第四次向右蹦到A4，第五次向上蹦到A5，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点A2022的坐标是（ ）
A．(1010,1)B．(1010,0)C．(1011,0)D．(1011,1)
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A．(100,101)B．(101,100)C．(102,101)D．(103,102)
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点A1的坐标是1,2，线段OA1从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：A1A2⊥OA1，A1A2=OA1；A2A3⊥A1A2，A2A3=A1A2；A3A4⊥A2A3，A3A1=A2A3；…；则点A2023的坐标是______．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4，1，A3−3,1，A4−3，0，A5−2，0，A6−2，3，A7−1，3，A8−1，0，A9−1，−3，A100，−3，A110，0，…，按此规律，则点A2022的坐标是______________
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如1,0，2,0，2,1，3,1，3,0，3,−1…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为______，第55个点的坐标为______．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…照此规律，点P第2022次跳动至点P2022的坐标是________．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时，点A6的坐标是______，点A2022的坐标是______．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即1,0，2,0，2,1，3,2，3,1，3,0……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D，C，P，H在x轴上，A1,2，B−1,2，D−3,0，E−3,−2，G3,−2．
（1）若点M在线段EG上，当点M与点A的距离最小时，点M的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A⋅⋅⋅的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1(1,0)，A2(5,0)，…，An，图形与y轴正半轴的交点依次记作B(0,2)，B2(0,6)，…，Bn，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1(−3,0)，C2(–7,0)，…，Cn，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1(0,−4)，D2(0,−8)，…，Dn，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：A3__________，B3__________，C3__________，D3__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：An__________，Bn__________，Cn__________，Dn__________．
（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．
专题7.1 平面直角坐标系中的规律问题
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点A(−6,3)，B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，连接AB，BC，CD，DA，BD，并依次取AB，BC，CD，DA，BD的中点E，F，G，H，I，分别写出E，F，G，H的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段PQ两端点坐标分别为Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，请用等式表示你所观察的规律 ，并用G，I的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” )；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点M1(−9,5)，点M2(11,17)，则线段M1M2的中点M的坐标为 ；
②已知点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，求点N2的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段M1M2的中点M的坐标；
②设点N2的坐标为(m,n)，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点N2的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)，I(−1,1)，
∴E，F，G，H的坐标分别为：E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
∵Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，
∴ x0=x1+x22y0=y1+y22，
∵B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，G(5,72)，I(−1,1)，G、I分别为线段CD、BD的中点，
∴检验得，5=8+2272=0+72，−1=−4+221=−5+72，
∴通过G，I的坐标验证规律是正确的，
故答案为：x0=x1+x22y0=y1+y22；是；
（3）解：①∵点M1(−9,5)，点M2(11,17)，
∴根据（2）中发现的规律，线段M1M2的中点M的坐标为−9+112,5+172=1,11，
故答案为：(1,11)；
②设点N2的坐标为(m,n)，
∵点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，
∴ m−122=1n−152=2，
∴ m=14n=19，
∴点N2的坐标为(14,19)．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1(1,1)，A2(−1,1)，A3(−1,−1)，A4(1,−1)，A5(2,2)，A6(−2,2)，A7(−2,−2)，A8(2,−2)，A9(3,3)，A10(−3,3)，……，按此规律接下去，则A2016的坐标为（ ）
A．(−504,−504)B．(504,−504)
C．(−504,504)D．(504,504)
【思路点拨】
由正方形的中心都是位于原点，边长依次为2，4，6，8，…，可得第n个正方形的顶点横坐标与纵坐标的绝对值都是n．计算2016÷4，根据商和余数知道是第几个正方形的顶点，且在哪一个象限，进而得出A2016的坐标．
【解题过程】
解：∵2016÷4=504，
∴顶点A2016是第504个正方形的顶点，且在第四象限，
横坐标是504，纵坐标是−504，
∴A2016(504,−504)，
故选：B．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对(m,n)表示，如点A的位置为(3,3)，点B的位置为(6,2)．点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)，…，第n次移动n个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上)，那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．(182,169)B．(169,182)C．(196,182)D．(196,210)
【思路点拨】
数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．
【解题过程】
解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，
∴点M第27次移动到的位置时，列的数字是1~27中所有奇数的和，行的数字是1~27中所有偶数的和，
∴1+3+5+7+9+11+⋯+27=196，2+4+6+8+10+⋯+26=182，
∴点M第27次移动到的位置为(196,182)，
故选：C．
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点P0−3，4运动到点P1−2，2，第2次运动到点P2−1，1，第3次运动到点P30，−1，……按这样的规律，第2023次运动到点P2023的坐标是（ ）
A．2020，1B．2021，1C．2020，−1D．2021，−1
【思路点拨】
根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为4，2，1，−1，2，4，每5次一轮，进而即可求出答案．
【解题过程】
解：根据动点P0−3，4在平面直角坐标系中的运动，
P1−2，2，P2−1，1，P30，−1，P41，2，P52，4，P63，2，
…，
∴横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，点P2023的横坐标是2020，
纵坐标依次为4，2，1，−1，2，每5次一轮，
∴2023+1÷5=404⋅⋅⋅⋅⋅4，
∴经过第2023次运动后，点P2023的坐标是2020，−1，
故选：C．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．1，−1B．−1，1C．−1，−2D．1，−2
【思路点拨】
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解题过程】
解：∵A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2，
∴AB=1−(−1)=2，BC=1−(−2)=3，CD=1−(−1)=2，DA=1−(−2)=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2015÷10=201⋯⋯5，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，即点C的位置，
∴点的坐标为−1，−2．
故选：C．
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点A10，0出发，由A1跳动至点A20，2，依次跳动至点A32，−1，点A42，0，点A52，2…根据这个规律，则点A2022的坐标是（ ）
A．（1348，-1）B．（1348，2）C．（674，-1）D．（674，2）
【思路点拨】
观察可知A1−A3，A4−A6，A7−A9，⋯，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，据此求解即可．
【解题过程】
解：∵动点A从点A10，0出发，由A1跳动至点A20，2，依次跳动至点A32，−1，点A42，0，点A52，2…
∴A1−A3，A4−A6，A7−A9，⋯，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，
∵2022÷3=674，
∴点A2022的纵坐标与点A3的纵坐标相同，即为-1，点A2022横坐标为674×2=1348，
∴点A2022的坐标为（1348，-1）．
故选：A．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1−1,1，第二次点A1跳动至点A22,1，第三次点A2跳动至点A3−2,2，第四次点A3跳动至点A43,2，……依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【思路点拨】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2021与点A2022的坐标，进而可求出点A2021与点A2022之间的距离．
【解题过程】
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是2,1，
第4次跳动至点的坐标是3,2，
第6次跳动至点的坐标是4,3，
第8次跳动至点的坐标是5,4，
…
第2n次跳动至点的坐标是n+1,n，
则第2022次跳动至点的坐标是1012,1011，
第2021次跳动至点A2021的坐标是−1011,1011．
∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，
∴点A2021与点A2022之间的距离=1012−−1011=2023，
故选：A．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021）B．（674，2021）C．（-673，2021）D．（-674，2021）
【思路点拨】
根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可．
【解题过程】
解：∵A1（0，1），A2（1，2），A3（-1，3），A4（-1，4），
∴A5（2，5），A6（-2，6），A7（-2，7），A8（3，8），
∴A3n-1（n，3n-1），A3n（-n，3n），A3n+1（-n，3n+1）（n为正整数），
∵3×674-1=2021，
∴n=674，所以A 2021（674，2021）．
故选B．
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到A1，第二次向右蹦到A2，第三次向下蹦到A3，第四次向右蹦到A4，第五次向上蹦到A5，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点A2022的坐标是（ ）
A．(1010,1)B．(1010,0)C．(1011,0)D．(1011,1)
【思路点拨】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，再由2022÷4=505……2，可得点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，再由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，可得A4n（2n，0），从而得到A2020的坐标是（1010，0），从而可得出点A2022的坐标．
【解题过程】
解：根据题意得：点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），……
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵2022÷4=505……2，
∴点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，
∵A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，
∴A4n（2n，0），
∴A2020的坐标是（1010，0），
∴A2022的坐标是（1010+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故选：D．
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A．(100,101)B．(101,100)C．(102,101)D．(103,102)
【思路点拨】
根据题意可知，点A平移时每4次为一个周期，由102÷4=25•••2，可知点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律，进而求解即可．
【解题过程】
解：由题意可知，将点A（-1，0）向上平移1个单位长度得到A1（-1，1），再向右平移3个单位长度得到A2（2，1），再向下平移5个单位长度得到A3（2，-4），再向左平移7个单位长度得到A4（-5，-4）；再向上平移9个单位长度得到A5（-5，5）…，
∴点A平移时每4次为一个周期．
∵102÷4=25•••2，
∴点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同．
∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102的点坐标是（102，101）．
故选：C．
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
【思路点拨】
观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2022÷6所得的整数及余数，可计算出点A2022的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【解题过程】
解：观察发现，每6个点形成一个循环，
∵A6（6，0），
∴OA6＝6，
∵2022÷6＝337，
∴点A2022的位于第337个循环组的第6个，
∴点A2022的横坐标为6×337＝2022，其纵坐标为：0，
∴点A2022的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
【思路点拨】
观察前几次运动后点的坐标，不难发现动点P的横坐标等于运动的次数，而纵坐标的变化为1，0，2，0，1，0，2，0…，4个一循环；
接下来通过总结得到的规律，再结合2017÷4=504……1，即可求出经过2017次运动后动点P的坐标了，同理可找到2018次运动后动点P的坐标.
【解题过程】
根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
∴横坐标为运动次数，经过第2017次运动后，动点P的横坐标为2017，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2017次运动后，动点P的纵坐标为：2017÷4=504……1，故纵坐标为四个数中第一个，即1，
∴经过第2017次运动后，动点P的坐标是（2017，1）.
∵2018÷4=504……2，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是（2018，0）.
故答案为(2017,1) ， (2018,0) .
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点A1的坐标是1,2，线段OA1从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：A1A2⊥OA1，A1A2=OA1；A2A3⊥A1A2，A2A3=A1A2；A3A4⊥A2A3，A3A1=A2A3；…；则点A2023的坐标是______．
【思路点拨】
先得出A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解．
【解题过程】
解：A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3），…，
可得：
A1横坐标为：1+12×3−2=1，纵坐标为：1+12+1=2；
A3横坐标为：3+12×3−2=4，纵坐标为：3+12+1=3；
A5横坐标为：5+12×3−2=7，纵坐标为：5+12+1=4，…；
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A2023横坐标为：2023+12×3−2=3034，纵坐标为：2023+12+1=1013…；
∴A2023的坐标为：（3034，1013），
故答案为：（3034，1013）．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4，1，A3−3,1，A4−3，0，A5−2，0，A6−2，3，A7−1，3，A8−1，0，A9−1，−3，A100，−3，A110，0，…，按此规律，则点A2022的坐标是______________
【思路点拨】
根据图形可以发现规律，从A1到A11是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点A2021的坐标（804，0），再求点A2022的坐标即可．
【解题过程】
解：观察图形可知，ｎ为正整数时，An的纵坐标为0，1，3，﹣3
纵坐标为0的点：A1,A4A5,A8A11,A14⋯⋯
纵坐标为1的点：A2,A3A12,A13A22,A23⋯⋯
纵坐标为3的点：A6,A7A16,A17A26,A27⋯⋯
纵坐标为﹣3的点：A9,A10A19,A20A29,A30⋯⋯
可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律A2+10n−1，A2+10n−1+1
∴A2022的纵坐标为1，
由2+10n−1=2022，解得n＝203，
∵A2022正好是A2往右循环203次，
∴A2022横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，
∴点A2022的坐标是（804，1），
故答案为：（804，1）
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如1,0，2,0，2,1，3,1，3,0，3,−1…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为______，第55个点的坐标为______．
【思路点拨】
从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【解题过程】
解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵1+2+3+4=10，1+2+3+…+10=55，
∴第10个点在第4列自下而上第4行，
所以奇数列的坐标为：n，n−12n，n−12−1…n，1−n2；
偶数列的坐标为：n，n2n，n2−1…n，1−n2．
由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．
代入上式得第10个点的坐标为4，2，第55个点的坐标为10，5．
故答案为：4，2 10，5．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…照此规律，点P第2022次跳动至点P2022的坐标是________．
【思路点拨】
设第n次跳动至点Pn，根据部分点的坐标找出变化规律“P4nn+1，2n，P4n+1n+1，2n+1，P4n+2−n−1，2n+1，P4n+3−n−1，2n+2”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【解题过程】
解：设第n次跳动至点Pn，
由图知，P11，1、P2−1，1、P3−1，2、P42，2、P52，3、P6−2，3、P7−2，4、P83，4、…，
∴可得：点的变化规律为P4nn+1，2n，P4n+1n+1，2n+1，P4n+2−n−1，2n+1，P4n+3−n−1，2n+2，
∵2022=4×505+2，
∴P2022−505−1，2×505+1，即P2022−506，1011，
故答案为：(−506,1011)．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时，点A6的坐标是______，点A2022的坐标是______．
【思路点拨】
根据题意求出点A1的坐标为3,0；点A2的坐标为3,6；点A3的坐标为−6,6；点A4的坐标为−6,−6；点A5的坐标为9,−6；点A6的坐标为9,12，依此类推，从点A2开始，每走动4次一个循环，从而得到点A2022位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【解题过程】
解：根据题意可知：OA1=3,A1A2=6,A2A3=9,A3A4=12,A4A5=15,A5A6=18，
∴点A1的坐标为3,0；
点A2的坐标为3,0+6，即3,6；
点A3的坐标为3−9,6，即−6,6；
点A4的坐标为−6,6−12，即−6,−6；
点A5的坐标为−6+15,−6，即9,−6；
依此类推，可得点A6的坐标为9,−6+18，即9,12．
由此发现，从点A2开始，每走动4次一个循环，
∵2022−1÷4=505⋯⋯1，
∴点A2022位于第一象限内，
∵点A2的坐标为3,6，点A6的坐标为9,12，点A10的坐标为15,18，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点A2022的坐标为505×6+3,505×6+6，即3033,3036．
故答案为①9,12，②3033,3036．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即1,0，2,0，2,1，3,2，3,1，3,0……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
【思路点拨】
观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答．
【解题过程】
解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；
…，
发现规律：
因为1＋2＋3＋4＋…＋14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，
所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，
故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数5个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）
故答案为：（15，10）．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
【思路点拨】
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解题过程】
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
①∵52=25，5是奇数，
∴第25个点是(5，0)，
②∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是(45，0)，
即第2022个点是(45，3)
故答案为(5，0)，(45，3)．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D，C，P，H在x轴上，A1,2，B−1,2，D−3,0，E−3,−2，G3,−2．
（1）若点M在线段EG上，当点M与点A的距离最小时，点M的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A⋅⋅⋅的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
【思路点拨】
（1）根据两点之间线段最短即可求出答案；
（2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意，画图如下，
∵两点之间线段最短，
∴当点M 在AP⊥EG的直线上时，点M与点A的距离最小，且点M在线段EG 上，
∴点M的坐标是(1,−2) ，
故答案是：(1,−2)．
（2）解：∵A1,2，B−1,2，D−3,0，E−3,−2，G3,−2，
从点A→B→C→D→E→F→G→H→P→A的线段之和为AB+BC+CD+DE+EG+GH+HP+PA ，即2+2+2+2+6+2+2+2=20，
∴2022÷20=101⋯⋯2 ，即绕了101 周余下2 个单位长度，也就是落在点B ，
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是−1,2，
故答案是：−1,2．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1(1,0)，A2(5,0)，…，An，图形与y轴正半轴的交点依次记作B(0,2)，B2(0,6)，…，Bn，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1(−3,0)，C2(–7,0)，…，Cn，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1(0,−4)，D2(0,−8)，…，Dn，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：A3__________，B3__________，C3__________，D3__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：An__________，Bn__________，Cn__________，Dn__________．
（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形A5B5C5D5的面积为S△A5B5+S△B5C5+S△C5D5+S△D5A5计算即可.
【解题过程】
由题意得:
An的横坐标为4n−3，纵坐标为0，得出A3 (9,0)
Bn的横坐标为0，纵坐标为4n−2，得出B3 (0,10)
Cn的横坐标为−4n+1 ，纵坐标为0，得出C3 (−11,0)
Dn的横坐标为0，纵坐标为−4n，得出D3 (0,−12)
故答案为：(9,0)，(0,10)，(−11,0)，(0,−12)
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出(4n−3,0)，(0,4n−2)，(−4n+1,0)，(0,−4n)
故答案为：(4n−3,0)，(0,4n−2)，(−4n+1,0)，(0,−4n)
（3）∵A5(17,0)，B5(0,18)，C5(−19,0)，D5(0,−20)，
∴四边形A5B5C5D5的面积为S△A5B5+S△B5C5+S△C5D5+S△D5A5
=12×17×18+12×18×19+12×19×20+12×20×17
=684
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点A(−6,3)，B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，连接AB，BC，CD，DA，BD，并依次取AB，BC，CD，DA，BD的中点E，F，G，H，I，分别写出E，F，G，H的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段PQ两端点坐标分别为Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，请用等式表示你所观察的规律 ，并用G，I的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” )；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点M1(−9,5)，点M2(11,17)，则线段M1M2的中点M的坐标为 ；
②已知点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，求点N2的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段M1M2的中点M的坐标；
②设点N2的坐标为(m,n)，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点N2的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)，I(−1,1)，
∴E，F，G，H的坐标分别为：E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
∵Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，
∴ x0=x1+x22y0=y1+y22，
∵B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，G(5,72)，I(−1,1)，G、I分别为线段CD、BD的中点，
∴检验得，5=8+2272=0+72，−1=−4+221=−5+72，
∴通过G，I的坐标验证规律是正确的，
故答案为：x0=x1+x22y0=y1+y22；是；
（3）解：①∵点M1(−9,5)，点M2(11,17)，
∴根据（2）中发现的规律，线段M1M2的中点M的坐标为−9+112,5+172=1,11，
故答案为：(1,11)；
②设点N2的坐标为(m,n)，
∵点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，
∴ m−122=1n−152=2，
∴ m=14n=19，
∴点N2的坐标为(14,19)．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1(1,1)，A2(−1,1)，A3(−1,−1)，A4(1,−1)，A5(2,2)，A6(−2,2)，A7(−2,−2)，A8(2,−2)，A9(3,3)，A10(−3,3)，……，按此规律接下去，则A2016的坐标为（ ）
A．(−504,−504)B．(504,−504)
C．(−504,504)D．(504,504)
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对(m,n)表示，如点A的位置为(3,3)，点B的位置为(6,2)．点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)，…，第n次移动n个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上)，那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．(182,169)B．(169,182)C．(196,182)D．(196,210)
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点P0−3，4运动到点P1−2，2，第2次运动到点P2−1，1，第3次运动到点P30，−1，……按这样的规律，第2023次运动到点P2023的坐标是（ ）
A．2020，1B．2021，1C．2020，−1D．2021，−1
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．1，−1B．−1，1C．−1，−2D．1，−2
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点A10，0出发，由A1跳动至点A20，2，依次跳动至点A32，−1，点A42，0，点A52，2…根据这个规律，则点A2022的坐标是（ ）
A．（1348，-1）B．（1348，2）C．（674，-1）D．（674，2）
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1−1,1，第二次点A1跳动至点A22,1，第三次点A2跳动至点A3−2,2，第四次点A3跳动至点A43,2，……依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021）B．（674，2021）C．（-673，2021）D．（-674，2021）
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到A1，第二次向右蹦到A2，第三次向下蹦到A3，第四次向右蹦到A4，第五次向上蹦到A5，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点A2022的坐标是（ ）
A．(1010,1)B．(1010,0)C．(1011,0)D．(1011,1)
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A．(100,101)B．(101,100)C．(102,101)D．(103,102)
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点A1的坐标是1,2，线段OA1从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：A1A2⊥OA1，A1A2=OA1；A2A3⊥A1A2，A2A3=A1A2；A3A4⊥A2A3，A3A1=A2A3；…；则点A2023的坐标是______．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4，1，A3−3,1，A4−3，0，A5−2，0，A6−2，3，A7−1，3，A8−1，0，A9−1，−3，A100，−3，A110，0，…，按此规律，则点A2022的坐标是______________
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如1,0，2,0，2,1，3,1，3,0，3,−1…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为______，第55个点的坐标为______．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…照此规律，点P第2022次跳动至点P2022的坐标是________．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时，点A6的坐标是______，点A2022的坐标是______．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即1,0，2,0，2,1，3,2，3,1，3,0……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D，C，P，H在x轴上，A1,2，B−1,2，D−3,0，E−3,−2，G3,−2．
（1）若点M在线段EG上，当点M与点A的距离最小时，点M的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A⋅⋅⋅的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1(1,0)，A2(5,0)，…，An，图形与y轴正半轴的交点依次记作B(0,2)，B2(0,6)，…，Bn，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1(−3,0)，C2(–7,0)，…，Cn，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1(0,−4)，D2(0,−8)，…，Dn，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：A3__________，B3__________，C3__________，D3__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：An__________，Bn__________，Cn__________，Dn__________．
（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．
专题7.1 平面直角坐标系中的规律问题
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点A(−6,3)，B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，连接AB，BC，CD，DA，BD，并依次取AB，BC，CD，DA，BD的中点E，F，G，H，I，分别写出E，F，G，H的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段PQ两端点坐标分别为Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，请用等式表示你所观察的规律 ，并用G，I的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” )；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点M1(−9,5)，点M2(11,17)，则线段M1M2的中点M的坐标为 ；
②已知点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，求点N2的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段M1M2的中点M的坐标；
②设点N2的坐标为(m,n)，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点N2的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)，I(−1,1)，
∴E，F，G，H的坐标分别为：E(−5,−1)，F(2,−52)，G(5,72)，H(−2,5)；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
∵Px1,y1、Qx2,y2，线段PQ的中点是Rx0,y0，
∴ x0=x1+x22y0=y1+y22，
∵B(−4,−5)，C(8,0)，D(2,7)，G(5,72)，I(−1,1)，G、I分别为线段CD、BD的中点，
∴检验得，5=8+2272=0+72，−1=−4+221=−5+72，
∴通过G，I的坐标验证规律是正确的，
故答案为：x0=x1+x22y0=y1+y22；是；
（3）解：①∵点M1(−9,5)，点M2(11,17)，
∴根据（2）中发现的规律，线段M1M2的中点M的坐标为−9+112,5+172=1,11，
故答案为：(1,11)；
②设点N2的坐标为(m,n)，
∵点N是线段N1N2的中点，且点N1(−12,−15)，N(1,2)，
∴ m−122=1n−152=2，
∴ m=14n=19，
∴点N2的坐标为(14,19)．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1(1,1)，A2(−1,1)，A3(−1,−1)，A4(1,−1)，A5(2,2)，A6(−2,2)，A7(−2,−2)，A8(2,−2)，A9(3,3)，A10(−3,3)，……，按此规律接下去，则A2016的坐标为（ ）
A．(−504,−504)B．(504,−504)
C．(−504,504)D．(504,504)
【思路点拨】
由正方形的中心都是位于原点，边长依次为2，4，6，8，…，可得第n个正方形的顶点横坐标与纵坐标的绝对值都是n．计算2016÷4，根据商和余数知道是第几个正方形的顶点，且在哪一个象限，进而得出A2016的坐标．
【解题过程】
解：∵2016÷4=504，
∴顶点A2016是第504个正方形的顶点，且在第四象限，
横坐标是504，纵坐标是−504，
∴A2016(504,−504)，
故选：B．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对(m,n)表示，如点A的位置为(3,3)，点B的位置为(6,2)．点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)，…，第n次移动n个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上)，那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．(182,169)B．(169,182)C．(196,182)D．(196,210)
【思路点拨】
数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．
【解题过程】
解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，
∴点M第27次移动到的位置时，列的数字是1~27中所有奇数的和，行的数字是1~27中所有偶数的和，
∴1+3+5+7+9+11+⋯+27=196，2+4+6+8+10+⋯+26=182，
∴点M第27次移动到的位置为(196,182)，
故选：C．
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点P0−3，4运动到点P1−2，2，第2次运动到点P2−1，1，第3次运动到点P30，−1，……按这样的规律，第2023次运动到点P2023的坐标是（ ）
A．2020，1B．2021，1C．2020，−1D．2021，−1
【思路点拨】
根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为4，2，1，−1，2，4，每5次一轮，进而即可求出答案．
【解题过程】
解：根据动点P0−3，4在平面直角坐标系中的运动，
P1−2，2，P2−1，1，P30，−1，P41，2，P52，4，P63，2，
…，
∴横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，点P2023的横坐标是2020，
纵坐标依次为4，2，1，−1，2，每5次一轮，
∴2023+1÷5=404⋅⋅⋅⋅⋅4，
∴经过第2023次运动后，点P2023的坐标是2020，−1，
故选：C．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．1，−1B．−1，1C．−1，−2D．1，−2
【思路点拨】
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解题过程】
解：∵A1，1，B−1，1，C−1，−2，D1，−2，
∴AB=1−(−1)=2，BC=1−(−2)=3，CD=1−(−1)=2，DA=1−(−2)=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2015÷10=201⋯⋯5，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，即点C的位置，
∴点的坐标为−1，−2．
故选：C．
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点A10，0出发，由A1跳动至点A20，2，依次跳动至点A32，−1，点A42，0，点A52，2…根据这个规律，则点A2022的坐标是（ ）
A．（1348，-1）B．（1348，2）C．（674，-1）D．（674，2）
【思路点拨】
观察可知A1−A3，A4−A6，A7−A9，⋯，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，据此求解即可．
【解题过程】
解：∵动点A从点A10，0出发，由A1跳动至点A20，2，依次跳动至点A32，−1，点A42，0，点A52，2…
∴A1−A3，A4−A6，A7−A9，⋯，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，
∵2022÷3=674，
∴点A2022的纵坐标与点A3的纵坐标相同，即为-1，点A2022横坐标为674×2=1348，
∴点A2022的坐标为（1348，-1）．
故选：A．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1−1,1，第二次点A1跳动至点A22,1，第三次点A2跳动至点A3−2,2，第四次点A3跳动至点A43,2，……依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【思路点拨】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2021与点A2022的坐标，进而可求出点A2021与点A2022之间的距离．
【解题过程】
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是2,1，
第4次跳动至点的坐标是3,2，
第6次跳动至点的坐标是4,3，
第8次跳动至点的坐标是5,4，
…
第2n次跳动至点的坐标是n+1,n，
则第2022次跳动至点的坐标是1012,1011，
第2021次跳动至点A2021的坐标是−1011,1011．
∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，
∴点A2021与点A2022之间的距离=1012−−1011=2023，
故选：A．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021）B．（674，2021）C．（-673，2021）D．（-674，2021）
【思路点拨】
根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可．
【解题过程】
解：∵A1（0，1），A2（1，2），A3（-1，3），A4（-1，4），
∴A5（2，5），A6（-2，6），A7（-2，7），A8（3，8），
∴A3n-1（n，3n-1），A3n（-n，3n），A3n+1（-n，3n+1）（n为正整数），
∵3×674-1=2021，
∴n=674，所以A 2021（674，2021）．
故选B．
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到A1，第二次向右蹦到A2，第三次向下蹦到A3，第四次向右蹦到A4，第五次向上蹦到A5，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点A2022的坐标是（ ）
A．(1010,1)B．(1010,0)C．(1011,0)D．(1011,1)
【思路点拨】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，再由2022÷4=505……2，可得点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，再由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，可得A4n（2n，0），从而得到A2020的坐标是（1010，0），从而可得出点A2022的坐标．
【解题过程】
解：根据题意得：点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），……
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵2022÷4=505……2，
∴点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，
∵A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，
∴A4n（2n，0），
∴A2020的坐标是（1010，0），
∴A2022的坐标是（1010+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故选：D．
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A．(100,101)B．(101,100)C．(102,101)D．(103,102)
【思路点拨】
根据题意可知，点A平移时每4次为一个周期，由102÷4=25•••2，可知点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律，进而求解即可．
【解题过程】
解：由题意可知，将点A（-1，0）向上平移1个单位长度得到A1（-1，1），再向右平移3个单位长度得到A2（2，1），再向下平移5个单位长度得到A3（2，-4），再向左平移7个单位长度得到A4（-5，-4）；再向上平移9个单位长度得到A5（-5，5）…，
∴点A平移时每4次为一个周期．
∵102÷4=25•••2，
∴点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同．
∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102的点坐标是（102，101）．
故选：C．
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
【思路点拨】
观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2022÷6所得的整数及余数，可计算出点A2022的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【解题过程】
解：观察发现，每6个点形成一个循环，
∵A6（6，0），
∴OA6＝6，
∵2022÷6＝337，
∴点A2022的位于第337个循环组的第6个，
∴点A2022的横坐标为6×337＝2022，其纵坐标为：0，
∴点A2022的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
【思路点拨】
观察前几次运动后点的坐标，不难发现动点P的横坐标等于运动的次数，而纵坐标的变化为1，0，2，0，1，0，2，0…，4个一循环；
接下来通过总结得到的规律，再结合2017÷4=504……1，即可求出经过2017次运动后动点P的坐标了，同理可找到2018次运动后动点P的坐标.
【解题过程】
根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
∴横坐标为运动次数，经过第2017次运动后，动点P的横坐标为2017，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2017次运动后，动点P的纵坐标为：2017÷4=504……1，故纵坐标为四个数中第一个，即1，
∴经过第2017次运动后，动点P的坐标是（2017，1）.
∵2018÷4=504……2，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是（2018，0）.
故答案为(2017,1) ， (2018,0) .
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点A1的坐标是1,2，线段OA1从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：A1A2⊥OA1，A1A2=OA1；A2A3⊥A1A2，A2A3=A1A2；A3A4⊥A2A3，A3A1=A2A3；…；则点A2023的坐标是______．
【思路点拨】
先得出A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解．
【解题过程】
解：A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3），…，
可得：
A1横坐标为：1+12×3−2=1，纵坐标为：1+12+1=2；
A3横坐标为：3+12×3−2=4，纵坐标为：3+12+1=3；
A5横坐标为：5+12×3−2=7，纵坐标为：5+12+1=4，…；
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A2023横坐标为：2023+12×3−2=3034，纵坐标为：2023+12+1=1013…；
∴A2023的坐标为：（3034，1013），
故答案为：（3034，1013）．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1−4,0依次跳动到A2−4，1，A3−3,1，A4−3，0，A5−2，0，A6−2，3，A7−1，3，A8−1，0，A9−1，−3，A100，−3，A110，0，…，按此规律，则点A2022的坐标是______________
【思路点拨】
根据图形可以发现规律，从A1到A11是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点A2021的坐标（804，0），再求点A2022的坐标即可．
【解题过程】
解：观察图形可知，ｎ为正整数时，An的纵坐标为0，1，3，﹣3
纵坐标为0的点：A1,A4A5,A8A11,A14⋯⋯
纵坐标为1的点：A2,A3A12,A13A22,A23⋯⋯
纵坐标为3的点：A6,A7A16,A17A26,A27⋯⋯
纵坐标为﹣3的点：A9,A10A19,A20A29,A30⋯⋯
可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律A2+10n−1，A2+10n−1+1
∴A2022的纵坐标为1，
由2+10n−1=2022，解得n＝203，
∵A2022正好是A2往右循环203次，
∴A2022横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，
∴点A2022的坐标是（804，1），
故答案为：（804，1）
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如1,0，2,0，2,1，3,1，3,0，3,−1…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为______，第55个点的坐标为______．
【思路点拨】
从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【解题过程】
解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵1+2+3+4=10，1+2+3+…+10=55，
∴第10个点在第4列自下而上第4行，
所以奇数列的坐标为：n，n−12n，n−12−1…n，1−n2；
偶数列的坐标为：n，n2n，n2−1…n，1−n2．
由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．
代入上式得第10个点的坐标为4，2，第55个点的坐标为10，5．
故答案为：4，2 10，5．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…照此规律，点P第2022次跳动至点P2022的坐标是________．
【思路点拨】
设第n次跳动至点Pn，根据部分点的坐标找出变化规律“P4nn+1，2n，P4n+1n+1，2n+1，P4n+2−n−1，2n+1，P4n+3−n−1，2n+2”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【解题过程】
解：设第n次跳动至点Pn，
由图知，P11，1、P2−1，1、P3−1，2、P42，2、P52，3、P6−2，3、P7−2，4、P83，4、…，
∴可得：点的变化规律为P4nn+1，2n，P4n+1n+1，2n+1，P4n+2−n−1，2n+1，P4n+3−n−1，2n+2，
∵2022=4×505+2，
∴P2022−505−1，2×505+1，即P2022−506，1011，
故答案为：(−506,1011)．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时，点A6的坐标是______，点A2022的坐标是______．
【思路点拨】
根据题意求出点A1的坐标为3,0；点A2的坐标为3,6；点A3的坐标为−6,6；点A4的坐标为−6,−6；点A5的坐标为9,−6；点A6的坐标为9,12，依此类推，从点A2开始，每走动4次一个循环，从而得到点A2022位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【解题过程】
解：根据题意可知：OA1=3,A1A2=6,A2A3=9,A3A4=12,A4A5=15,A5A6=18，
∴点A1的坐标为3,0；
点A2的坐标为3,0+6，即3,6；
点A3的坐标为3−9,6，即−6,6；
点A4的坐标为−6,6−12，即−6,−6；
点A5的坐标为−6+15,−6，即9,−6；
依此类推，可得点A6的坐标为9,−6+18，即9,12．
由此发现，从点A2开始，每走动4次一个循环，
∵2022−1÷4=505⋯⋯1，
∴点A2022位于第一象限内，
∵点A2的坐标为3,6，点A6的坐标为9,12，点A10的坐标为15,18，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点A2022的坐标为505×6+3,505×6+6，即3033,3036．
故答案为①9,12，②3033,3036．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即1,0，2,0，2,1，3,2，3,1，3,0……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
【思路点拨】
观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答．
【解题过程】
解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；
…，
发现规律：
因为1＋2＋3＋4＋…＋14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，
所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，
故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数5个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）
故答案为：（15，10）．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
【思路点拨】
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解题过程】
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
①∵52=25，5是奇数，
∴第25个点是(5，0)，
②∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是(45，0)，
即第2022个点是(45，3)
故答案为(5，0)，(45，3)．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D，C，P，H在x轴上，A1,2，B−1,2，D−3,0，E−3,−2，G3,−2．
（1）若点M在线段EG上，当点M与点A的距离最小时，点M的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A⋅⋅⋅的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
【思路点拨】
（1）根据两点之间线段最短即可求出答案；
（2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意，画图如下，
∵两点之间线段最短，
∴当点M 在AP⊥EG的直线上时，点M与点A的距离最小，且点M在线段EG 上，
∴点M的坐标是(1,−2) ，
故答案是：(1,−2)．
（2）解：∵A1,2，B−1,2，D−3,0，E−3,−2，G3,−2，
从点A→B→C→D→E→F→G→H→P→A的线段之和为AB+BC+CD+DE+EG+GH+HP+PA ，即2+2+2+2+6+2+2+2=20，
∴2022÷20=101⋯⋯2 ，即绕了101 周余下2 个单位长度，也就是落在点B ，
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是−1,2，
故答案是：−1,2．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1(1,0)，A2(5,0)，…，An，图形与y轴正半轴的交点依次记作B(0,2)，B2(0,6)，…，Bn，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1(−3,0)，C2(–7,0)，…，Cn，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1(0,−4)，D2(0,−8)，…，Dn，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：A3__________，B3__________，C3__________，D3__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：An__________，Bn__________，Cn__________，Dn__________．
（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形A5B5C5D5的面积为S△A5B5+S△B5C5+S△C5D5+S△D5A5计算即可.
【解题过程】
由题意得:
An的横坐标为4n−3，纵坐标为0，得出A3 (9,0)
Bn的横坐标为0，纵坐标为4n−2，得出B3 (0,10)
Cn的横坐标为−4n+1 ，纵坐标为0，得出C3 (−11,0)
Dn的横坐标为0，纵坐标为−4n，得出D3 (0,−12)
故答案为：(9,0)，(0,10)，(−11,0)，(0,−12)
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出(4n−3,0)，(0,4n−2)，(−4n+1,0)，(0,−4n)
故答案为：(4n−3,0)，(0,4n−2)，(−4n+1,0)，(0,−4n)
（3）∵A5(17,0)，B5(0,18)，C5(−19,0)，D5(0,−20)，
∴四边形A5B5C5D5的面积为S△A5B5+S△B5C5+S△C5D5+S△D5A5
=12×17×18+12×18×19+12×19×20+12×20×17
=684
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