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人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题7.2坐标系中平移的几何综合(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题7.2坐标系中平移的几何综合(原卷版+解析)，共51页。
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴12OD·BH+12OM·AB=12,
即12×4×3+12t×6=12，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵SΔEMB−SΔOEN=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB
=12ON·BH+12OM·AB
=12×4−2t×3+12t×6
=6-3t+3t
=6；
∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．
1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．
（1）点C的坐标为 ；
（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．
2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．
（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）在图中画出△A1B1C1．
（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．
（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．
4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为 ．
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．
（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+2)2+n−6=0，将线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接AC，BD．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积等于平行四边形ABDC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且∠BAE=∠DCB．求证：AE//BC．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；
（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．
（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；
（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14S四边形ABD？若存在这样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；
8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；
（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；
（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 ，长方形A1BCD1的面积为 cm2；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，Aa,0，B0,b，C0,c，a+4+2−b=0，c=12a−b．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q'在同一直线上，求m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A2，6，B4,3，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′交y轴于点C，BB′交x轴于点D．
（1）线段A′B′可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A′，B′的坐标；
（2）求四边形AA′BB′的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A′DB′的数量关系，给出结论并说明理由．
12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，点A0,a，点B0,b，点Da,12a，点Em−b,12a+4.
（1）若a=1，求m的值；
（2）若点C−a,14m+3，其中a>0. 直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由.
13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．
（1）如图（1），若A(1,3), B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D的坐标；
（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP之间的数量关系（不用证明）．
14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，Bb,0．且a，b满足a+3+a−2b+72=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．
（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则∠BOQ+∠DCQ∠OQC的值______（填“变”或“不变”）．
16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．
（1）填空：点D的坐标为 ．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点Aa,0、Bb,0满足3a+b2+b−3=0．将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
（1）请求出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：SΔEMD−SΔOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，Aa,0，B1,b，a，b满足a+b−1+2a−b+10=0，连接AB交y轴于C．
（1）直接写出a=______，b=______；
（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于D4,0，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Qx,y在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13，求点Q横坐标x的取值范围．
专题7.2 坐标系中平移的几何综合
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴12OD·BH+12OM·AB=12,
即12×4×3+12t×6=12，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵SΔEMB−SΔOEN=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB
=12ON·BH+12OM·AB
=12×4−2t×3+12t×6
=6-3t+3t
=6；
∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．
1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．
（1）点C的坐标为 ；
（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．
【思路点拨】
（1）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可得到△A1B1C1，用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；
（3）设P(m,0)．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）点C的坐标为(−1,5)，
故答案为：(−1,5)；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
△A1B1C1的面积：2×4−12×2×2−12×2×1−12×4×1=8−2−1−2=3；
（3）设P(m,0)．
∵B(−2,1)，A(−3,3)，将ΔABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，
∴B1(4,0)，A1(3,2)，
∴△PA1B1的面积=12×|m−4|×2=3，
解得：m=1或7，
∴P(1,0)或(7,−0)．
2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．
（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）在图中画出△A1B1C1．
（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．
（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
【思路点拨】
（1）利用P点和P1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）利用点A1，B1，C1的坐标描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AOA1的面积；
（4）设Q（0，t），利用三角形面积公式得到12×8×|t−1|＝8，然后解方程求出t得到Q点的坐标．
【解题过程】
（1）解：A1(3,1)，B1(1,−1)，C1(4,−2)；
（2）解：如图，△A1B1C1为所作；
（3）解：ΔAOA1的面积=6×3−12×3×3−12×3×1−12×6×2
=18−92−32−6，
=18−12，
=6；
（4）解：设Q(0,t)，
∵B(−5,1)，A1(3,1)，
∴BA1=3−(−5)=8，
∵三角形QBA1的面积为8，
∴ 12×8×|t−1|=8，解得t=−1或t=3，
∴Q点的坐标为(0,−1)或(0,3)．
3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．
【思路点拨】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
（3）利用△A1B1P的面积是2，分情况讨论得出答案．
【解题过程】
（1）解：如图所示：把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得△A1B1C1．点A1坐标为（0，0），点B1坐标为（−1，−2），点C1坐标为（−3，1）．
∴点A的对应点A1的坐标为（0，0）．
（2）解：△A1B1C1的面积为：
3×3−12×1×3−12×2×3−12×1×2=72；
（3）解：∵点A1的坐标为（0，0），点B1坐标为（−1，−2），
若点P在x轴上，
设点P的坐标为（m，0），
则：S△A1B1P=12A1P×2=12•|m﹣0|×2=2，
解得：m=±2，
∴点P的坐标为：（2，0），（﹣2，0）；
若点P在y轴上，设点P的坐标为（0，n），
则： S△A1B1P=12•A1P×1=12•|n﹣0|=2，
解得：n=±4，
∴点P的坐标为：（0，4）或（0，﹣4）．
综上所述：点P坐标为：（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．
4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为 ．
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．
（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）根据点A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0），即可在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积；
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1；
（3）根据△BCM的面积等于△ABC的面积，即可在坐标轴上找到点M．
【解题过程】
解：（1）如图，△ABC即为所求，
△ABC的面积为：12﹣3﹣2﹣2＝5；
故答案为：5；
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所求；
（3）因为△BCM的面积等于△ABC的面积，
由（1）知：△ABC的面积=5，
∴△BCM的面积：12MC×4=5或12BM×1=5，
解得：MC=2.5或BM=10，
∵B（0，4），C（-1，0），
∴MO=3.5或1.5，
∴M（-3.5，0）或（1.5，0）；
当点M在y轴正半轴上时，
∵BM=10，OB=4，
∴MO=10+4=14，
∴M（0，14），
当点M在y轴负半轴上时，
∵BM=10，OB=4
∴MO=10-4=6，
∴M（0，-6），
所以点M的坐标为（-3.5，0）或（1.5，0）或（0，14）或（0，-6）．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+2)2+n−6=0，将线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接AC，BD．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积等于平行四边形ABDC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且∠BAE=∠DCB．求证：AE//BC．
【思路点拨】
（1）由非负数的性质得出m+2=0，且n−6=0，求出m=−2，n=6，得出A(−2,0)，B(6,0)，由平移的性质得C(0,4)，D(8,4)；
（2）设P(x,0)，由（1）由（1）得：AB=8，OC=4，∴S平行四边形ABDC=8×4=32，进而可得关于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性质得AB//CD，由平行线的性质得出∠DCB=∠CBA，证出∠BAE=∠CBA，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵m，n满足(m+2)2+n−6=0，
∴m+2=0，且n−6=0，
∴m=−2，n=6，
∴A(−2,0)，B(6,0)，
由平移的性质得：C(0,4)，D(8,4)；
（2）解：存在，理由如下：
设P(x,0)，
由（1）得：AB=8，OC=4，
∴S平行四边形ABDC=8×4=32，
∵PB=|x−6|，
∴S△PBC=12PB×OC=12|x−6|×4=32，
解得：x=22或x=−10，
∴点P的坐标为(22,0)或(−10,0)；
（3）证明：由平移的性质得：AB//CD，
∴∠DCB=∠CBA，
∵∠BAE=∠DCB，
∴∠BAE=∠CBA，
∴AE//BC．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；
（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到12×6×2=2×12×|4−x|×2，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作PQ∥CD交y轴于Q，根据平行线的性质由AB∥CD得CD∥PQ∥AB，再根据平行线的性质∠CPQ=∠1，∠OPQ=∠2，从而得到结论∠CPO=∠CPQ+∠OPQ=∠1+∠2．
【解题过程】
（1）解：∵点A、B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、B的对应点C、D，
∴点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(6,2)，
∴ S四边形ABCD=AB·OC =2×(4+2)=12；
（2）解：存在．理由如下：
设点E的坐标为(x,0)，
∵△DEC的面积是△DEB的面积的2倍，
∴12×6×2=2×12×|4−x|×2，解得x=1或x=7，
∴点E的坐标为(1,0)或(7,0)；
（3）解：∠CPO=∠1+∠2，理由如下：
过点P作PQ∥CD交y轴于Q，如图所示：
∵ AB∥CD
∴CD∥PQ∥AB
∴∠CPQ=∠1，∠OPQ=∠2，
∴∠CPO=∠CPQ+∠OPQ=∠1+∠2．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．
（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；
（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14S四边形ABD？若存在这样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；
【思路点拨】
（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据直线CD上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解题过程】
（1）解：（1）∵点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，
∴点C的坐标为−1,3，点D的坐标为3,3，AB=4，
∴四边形ABCD的面积=4×3=12；
（2）存在，
设点P的坐标为0,b，
由题意得：12×4×b=12，
解得：b=±6，
∴点P的坐标为0,6或0,−6；
（3）设点Q的坐标为a,3，
则CQ=a+1，
由题意得：12×a+1×3=14×12，
解得：a=1或−3，
则点Q的坐标为1,3或−3,3．
8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；
（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；
（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．
【思路点拨】
（1）①根据坐标求出线段AB的长度即可；②根据垂线段最短，可得A′是原点时点A与点A′的“友好距离”最小值；
（2）根据S△ACD=12AC⋅OD=10计算即可；
（3）连接AF，A′E，由∥易得S△AEF=S△AEA′，面积相等求出AA′即可．
【解题过程】
（1）①∵点A（3，0）的“友好图形”点B（3，6）
∴点A与点B的“友好距离”AB=6；
②当A′是原点时，点A（3，0）与点A′的“友好距离”最小值，最小值为3；
（2）S△ACD=12AC⋅OD=10
由题意可知：AC＝4，
∴OD＝5，
∵点D在y轴上，
∴D（0，5）或（0，－5）
（3）如图，连接AF，A′E
∵AE∥A′E
∴S△AEF=S△AEA′
∴12EF⋅OA=12AA′⋅OE
∵EF＝8，OA＝3，OE＝6
∴12×8×3=12×AA×6
∴AA′=4
∴点A与点A′的“友好距离”为4．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 ，长方形A1BCD1的面积为 cm2；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？
【思路点拨】
（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出A1B的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵AB＝10cm，BC＝6cm，
∴C的坐标为（10，6），
故答案为：（10，6）．
（2）∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，
∵C（10，6），
∴C1（14，6），
故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，A1A＝4，
∴A1B＝6，
∴长方形A1BCD1的面积为36（cm2）．
故答案为：36．
（3）当t≤5时，如图：
∵A1B＝AB﹣A1A＝10﹣2t，
∴长方形A1BCD1的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（cm2），
当t＞5时，如图：
∵A1B＝A1A﹣AB＝2t﹣10，
∴长方形A1BCD1的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（cm2），
故答案为：（﹣12t+60）cm2或（12t﹣60）cm2；
当t≤5时，如图：
长方形A1BCD1的面积为﹣12t+60，
△FBB1面积的3倍为3×12×2t×6=18t，
由题意得：﹣12t+60＝18t，
解得t＝2；
当t＞5时，如图：
同理可得：12t﹣60＝18t，
解得t＝﹣10（舍去），
∴t＝2．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，Aa,0，B0,b，C0,c，a+4+2−b=0，c=12a−b．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q'在同一直线上，求m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
【思路点拨】
（1）由非负数的性质求出a=−4，b=2，求出c=−3，由A，B，C三点的坐标可求出答案；
（2）根据三角形的面积关系S△A'Q'A=S△CQ'O+S梯形AA'CO可得出答案；
（3）连接OD，OE，，设D（m,n），由三角形面积关系得出m=2n−4，由平移的性质得出E（2n,n），根据三角形的面积关系可求出答案．
【解题过程】
解：（1）∵a+4+2−b=0，a+4≥0，2−b≥0，
∴a+4=0.，2−b=0，
∴a=−4，b=2，
∴c=12a−b=−3，
∴A−4,0，B0,2，C−3,0，
∴BC=5，OA=4，
∴S△ABC=12×BC×OA=12×5×4=10；
（2）由题意知：OQ'=2×3=6，AA'=3m，
∵S△A'Q'A=S△CQ'O+S梯形AA'CO，
∴12×10×3m=12×6×3+12×3+3m×4，
∴m=53．
（3）连接OD，OE，
设Dm,n，
∵S△AOB=S△AOD+S△DOB，
∴12×4×2=12×4×n+12×2×−m，
∴m=2n−4，
∵点D向右平移4个单位长度得到E点，
∴E2n,n，
∵S△AOC+S△AOE+S△COE=S△ACE，
∴12×4×3+12×4×n+12×3×2n=14，
∴n=85，
∴m=2n−4=−45，
∴D−45,85.
11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A2，6，B4,3，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′交y轴于点C，BB′交x轴于点D．
（1）线段A′B′可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A′，B′的坐标；
（2）求四边形AA′BB′的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A′DB′的数量关系，给出结论并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A(2,6)，B(4,3)，
又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，
∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
∴A′(−2,0)，B′(0,−3)．
（2）S四边形ABB′A′=6×9−2×12×2×3−2×12×6×4=24．
（3）连接AD．
∵B(4,3)，B′(0,−3)，
∴BB′的中点坐标为(2,0)在x轴上，
∴D(2,0)．
∵A(2,6)，
∴AD//y轴，
同法可证C(0,3)，
∴OC=OB′，
∵A′O⊥CB′，
∴A′C=A′B′，
同法可证，B′A′=B′D，
∴∠A′DB=∠DA′B′，∠A′CB′=∠A′B′C，
当点P在点C的下方时，
∵∠PCA′+∠A′CB′=180°，∠A′B′C+∠DA′B′=90°，
∴∠PCA′+90°−∠A′DB′=180°，
∴∠PCA'−∠A'DB'=90°，
当点P在点C的上方时，∠PCA'+∠A'DB'=90°．
12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，点A0,a，点B0,b，点Da,12a，点Em−b,12a+4.
（1）若a=1，求m的值；
（2）若点C−a,14m+3，其中a>0. 直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）当a=1时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到m−b=1b−412=1−12，即可求出m的值；
（2）由平移的规律得出a=m−b①a−12a=b−12a+4②，变形整理得到14m+3=12a+4，那么CE∥x轴，根据三角形BEM的面积=12BM⋅EM=1，求出a=2，A（0，2），B（0，6），C（-2，5）．根据点F与点C是对应点，得出F（0，4），求出AF=BF=2．
【解题过程】
解：（1）当a=1时，
由三角形ABC平移得到三角形DEF，
A0,1,B0,b的对应点分别为
D1,12，Em−b,412
可得m−b=1b−412=1−12，
解得b=6m=5.
∴m的值为6.
（2）由三角形ABC平移得到三角形DEF，
A0,a，B0,b的对应点分别为
Da,12a，Em−b,12a+4.
可得a=m−b①a−12a=b−12a+4②，
由②得b=a+4③，
把③代入①，得m=2a+4，
∴14m+3=12a+4，
∴点C与点E的纵坐标相等，
∴CE∕∕x轴，
∴点M0,12a+4，
∴三角形EBM的面积=12BM⋅EM=1，
∵a>0，
∴BM=a+4−12a+4=12a，EM=a.
∴14a2=1，
∴a=2，
∴A0,2，B0,6，C−2,5.
又∵在平移中，点F与点C是对应点，
∴F0,4，
∴AF=4−2=2
BF=6−4=2，
∴AF=BF.
13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．
（1）如图（1），若A(1,3), B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D的坐标；
（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP之间的数量关系（不用证明）．
【思路点拨】
（1）先根据A,B的坐标找到平移规律，从而求出C的坐标，进而△ABC的面积和△AOD的面积可求,则点D的坐标可求；
（2）分两种情况讨论：当P在y轴的正半轴上时和当P在y轴的负半轴上时，分情况进行讨论即可．
【解题过程】
（1）由线段平移，点A(1,3)的对应点为B(3,0)，
知线段AO先向石平移2个单位，再向下平移3个单位，
则点O(0,0)平移后的坐标为(2,−3)，
即C(2,−3)
∴S△ABC=2×6−12×1×6−12×2×3−12×1×3=92,
∵S△AOD=2S△ABC
∴S△AOD=9
∵点A到x轴的距离为3，到y轴的的距离为1，
若点D在x轴上，
∵12×3·OD=9
∴OD=6
∴点D的坐标为(6,0)或(−6,0)
若点D在y轴上，
∵12×1·OD=9
∴OD=18
∴点D为(0,−18)或(0,18)
综上所述，点D的坐标为(6,0)或(−6,0)或(0,−18)或(0,18)
（2）如图，延长BC交y轴于点E．
∵OA∥BC且∠AOB=60°,
∴∠1=∠2=30°，∠OBC=60°，
分两种情况讨论：
（1）当P在y轴的正半轴上时，∠BCP=∠CPO+∠1=∠CPO+30°
（2）当P在y轴的负半轴上时，
若P在点E上方（含与点E重台）时，
∠CPO=180°−∠BCP+∠2
即∠BCP+∠CPO=210°
若P在点E下方时，
∠BCP=180°−(∠2−∠CPO)
即∠BCP=∠CPO+150°
综合可得∠CPO与∠CPO的数量关系是∠BCP=∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO=210°或∠BCP=∠CPO+150°．
14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，Bb,0．且a，b满足a+3+a−2b+72=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．
（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；
（2）先求出△ACD的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解．
【解题过程】
（1）解：∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°，证明如下：
证明：∵a+3+a−2b+72=0
∴a+3=0，a−2b+7=0，解得a=−3，b=2，
∴A−3,0，B2,0，
∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，
∴C−5,2，D0,2，
过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PQD+∠EPQ=180°，∠OPE+∠POB=180°，
∴∠PQD+∠EPQ+∠OPE+∠POB=360°，
即∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°．
（2）解：存在，M点坐标为−8,0，2,0，0,163，0,−43．理由如下：
△ACD的面积为12×5×2=5，
①M在x轴上，根据△MAD的高与△ACD相等的高，
∴AM=CD=5，
∴点M坐标为−8,0，2,0，
②M在y轴上，△MAD的高为AO=3，△MAD的面积为5，
即S△MAD=12AO×MD=5
∴MD=103
又∵D0,2，
∴点M坐标为0,163，0,−43．
故存在符合条件的M点坐标为−8,0，2,0，0,163，0,−43．
15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则∠BOQ+∠DCQ∠OQC的值______（填“变”或“不变”）．
【思路点拨】
（1）根据平移的特点可得出点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式可求面积；
（2）存在2种情况，点P在y轴正半轴和点P在y轴负半轴，另△ABP的面积与平行四边形ABDC面积相等可求得点P的坐标；
（3）如下图，利用平行的性质可求得∠CQO=∠DCQ+∠QOB，可得不变关系．
【解题过程】
解：（1）∵将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点C、D
又∵点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）
∴C（0，2），D（4，2）．
由题意可知：四边形ABDC为平行四边形，
∴S四边形ABDC=OC×AB=2×4=8．
（2）当点P在y轴正半轴时，设点P的纵坐标为a，图形如下
根据题意，得12a×4=8．
解得:a=4
同理当点P在y轴负半轴时，a=－4
∴P（0，4）或P（0，－4）．
（3）不变．
图形如下，过点Q作QM∥CD
∵CD是AB平移得到，∴AB∥CD
∵QM∥CD，∴QM∥AB
∴∠DCQ=∠CQM，∠MQO=∠QOB
∴∠DCQ+∠QOB=∠CQM+∠MQO=∠CQO
∴∠BOQ+∠DCQ∠OQC=1，比值始终不变
16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．
（1）填空：点D的坐标为 ．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据CD∥x轴，CD＝4，C（2，0），可确定点D坐标；
（2）①先计算出S梯形OCDB＝7，再讨论：当点P运动到点B时，S△POC的最小值＝3，则可判断S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC的最大值＝4，于是可判断S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，易得∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
【解题过程】
（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），
∴AB＝4，
由题意得：C（2，0），
∵CD＝4，AB∥CD，
∴D（2，﹣4）．
故答案为（2，﹣4）；
（2）①如图1中，S梯形OCDB＝12×（3+4）×2＝7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝12×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝12×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点Aa,0、Bb,0满足3a+b2+b−3=0．将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
（1）请求出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：SΔEMD−SΔOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
【解题过程】
（1）解：∵3a+b2+b−3=0，3a+b2≥0,b−3≥0，
∴3a+b=0b−3=0，解得a=−1b=3，
∴点A和点B的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在．
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴12OB⋅DH+12OM⋅CD=9，即12×3×2+12t×4=9，解得t=3，
存在这样的t=3，使得四边形OMDB的面积等于9；
（3）解：不变．
理由如下：当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵SΔEMD−SΔOEN=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴SΔEMD−SΔOEN= S△OND+S△OMD
=12ON·DH+12OM·CD
=12×3−2t×2+12t×4
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
SΔEMD−SΔOEN=SΔEMD+SΔOED−SΔOEN+SΔOED=SΔOMD−SΔOND
=12×4⋅OM−12×2⋅ON
=12×4t−12×22t−3
=2t−2t−3=3
∴SΔEMD−SΔOEN为定值3，故其值不会变化．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，Aa,0，B1,b，a，b满足a+b−1+2a−b+10=0，连接AB交y轴于C．
（1）直接写出a=______，b=______；
（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于D4,0，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Qx,y在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13，求点Q横坐标x的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a，b；
（2）过点B作BM⊥x轴于M，设OC=m，由三角形面积关系得出12OA⋅OC+12(OC+BM)⋅OM=12AM⋅BM，求出m=3，过点B作BN⊥y轴于N，由三角形面积关系得出12×3×CP+12CP=12，求出CP即可；
（3）连接DQ，过点Q作QR⊥x轴，分点Q在第二象限，点Q在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
【解题过程】
（1）解：∵ a+b−1+|2a−b+10|=0，
又∵a+b−1⩾0，|2a−b+10|⩾0，
∴ a+b−1=02a−b+10=0，
解得：a=−3b=4，
故答案为：-3，4．
（2）过点B作BM⊥x轴于M，
设OC=m，
∵三角形AOC的面积+四边形OCBM的面积=三角形ABM的面积，
∴ 12OA⋅OC+12(OC+BM)⋅OM=12AM⋅BM，
即12×3m+12(m+4)×1=12×4×4，
解得：m=3，
点C的坐标为(0,3)，
过点B作BN⊥y轴于N，
∵三角形ABP的面积=三角形ACP的面积+三角形BCP的面积，
∴ 12OA⋅CP+12BN⋅CP=12，
即12×3×CP+12CP=12，
∴CP=6，
∴点P的坐标为(0,−3)或(0,9)．
（3）点B向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点D平移后的对应点恰好是点E(0,−4)，
连接DQ，过点Q作QR⊥x轴，如图所示：
∵AE∥BD，
∴三角形ADQ的面积=三角形ABQ的面积，
当三角形ABQ的面积=13三角形ABD的面积时，QR=13yB=43，
当点Q在第三象限时，
∴ 12(x+3)×43+12(43+4)(−x)=12×4×3，
解得：x=−2，
当点Q在第二象限时，
∴ 12×3×4+12(3−x)×43=12(−x)×163，
解得：x=−4，
∴当三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13时，
点Q的横坐标x的取值范围是−4⩽x⩽−2，且x≠−3．
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴12OD·BH+12OM·AB=12,
即12×4×3+12t×6=12，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵SΔEMB−SΔOEN=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB
=12ON·BH+12OM·AB
=12×4−2t×3+12t×6
=6-3t+3t
=6；
∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．
1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．
（1）点C的坐标为 ；
（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．
2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．
（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）在图中画出△A1B1C1．
（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．
（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．
4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为 ．
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．
（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+2)2+n−6=0，将线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接AC，BD．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积等于平行四边形ABDC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且∠BAE=∠DCB．求证：AE//BC．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；
（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．
（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；
（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14S四边形ABD？若存在这样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；
8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；
（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；
（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 ，长方形A1BCD1的面积为 cm2；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，Aa,0，B0,b，C0,c，a+4+2−b=0，c=12a−b．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q'在同一直线上，求m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A2，6，B4,3，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′交y轴于点C，BB′交x轴于点D．
（1）线段A′B′可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A′，B′的坐标；
（2）求四边形AA′BB′的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A′DB′的数量关系，给出结论并说明理由．
12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，点A0,a，点B0,b，点Da,12a，点Em−b,12a+4.
（1）若a=1，求m的值；
（2）若点C−a,14m+3，其中a>0. 直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由.
13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．
（1）如图（1），若A(1,3), B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D的坐标；
（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP之间的数量关系（不用证明）．
14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，Bb,0．且a，b满足a+3+a−2b+72=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．
（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则∠BOQ+∠DCQ∠OQC的值______（填“变”或“不变”）．
16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．
（1）填空：点D的坐标为 ．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点Aa,0、Bb,0满足3a+b2+b−3=0．将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
（1）请求出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：SΔEMD−SΔOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，Aa,0，B1,b，a，b满足a+b−1+2a−b+10=0，连接AB交y轴于C．
（1）直接写出a=______，b=______；
（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于D4,0，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Qx,y在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13，求点Q横坐标x的取值范围．
专题7.2 坐标系中平移的几何综合
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴12OD·BH+12OM·AB=12,
即12×4×3+12t×6=12，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵SΔEMB−SΔOEN=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB
=12ON·BH+12OM·AB
=12×4−2t×3+12t×6
=6-3t+3t
=6；
∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．
1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．
（1）点C的坐标为 ；
（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．
【思路点拨】
（1）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可得到△A1B1C1，用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；
（3）设P(m,0)．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）点C的坐标为(−1,5)，
故答案为：(−1,5)；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
△A1B1C1的面积：2×4−12×2×2−12×2×1−12×4×1=8−2−1−2=3；
（3）设P(m,0)．
∵B(−2,1)，A(−3,3)，将ΔABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，
∴B1(4,0)，A1(3,2)，
∴△PA1B1的面积=12×|m−4|×2=3，
解得：m=1或7，
∴P(1,0)或(7,−0)．
2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．
（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）在图中画出△A1B1C1．
（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．
（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
【思路点拨】
（1）利用P点和P1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）利用点A1，B1，C1的坐标描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AOA1的面积；
（4）设Q（0，t），利用三角形面积公式得到12×8×|t−1|＝8，然后解方程求出t得到Q点的坐标．
【解题过程】
（1）解：A1(3,1)，B1(1,−1)，C1(4,−2)；
（2）解：如图，△A1B1C1为所作；
（3）解：ΔAOA1的面积=6×3−12×3×3−12×3×1−12×6×2
=18−92−32−6，
=18−12，
=6；
（4）解：设Q(0,t)，
∵B(−5,1)，A1(3,1)，
∴BA1=3−(−5)=8，
∵三角形QBA1的面积为8，
∴ 12×8×|t−1|=8，解得t=−1或t=3，
∴Q点的坐标为(0,−1)或(0,3)．
3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．
【思路点拨】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
（3）利用△A1B1P的面积是2，分情况讨论得出答案．
【解题过程】
（1）解：如图所示：把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得△A1B1C1．点A1坐标为（0，0），点B1坐标为（−1，−2），点C1坐标为（−3，1）．
∴点A的对应点A1的坐标为（0，0）．
（2）解：△A1B1C1的面积为：
3×3−12×1×3−12×2×3−12×1×2=72；
（3）解：∵点A1的坐标为（0，0），点B1坐标为（−1，−2），
若点P在x轴上，
设点P的坐标为（m，0），
则：S△A1B1P=12A1P×2=12•|m﹣0|×2=2，
解得：m=±2，
∴点P的坐标为：（2，0），（﹣2，0）；
若点P在y轴上，设点P的坐标为（0，n），
则： S△A1B1P=12•A1P×1=12•|n﹣0|=2，
解得：n=±4，
∴点P的坐标为：（0，4）或（0，﹣4）．
综上所述：点P坐标为：（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．
4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为 ．
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．
（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）根据点A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0），即可在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积；
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1；
（3）根据△BCM的面积等于△ABC的面积，即可在坐标轴上找到点M．
【解题过程】
解：（1）如图，△ABC即为所求，
△ABC的面积为：12﹣3﹣2﹣2＝5；
故答案为：5；
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所求；
（3）因为△BCM的面积等于△ABC的面积，
由（1）知：△ABC的面积=5，
∴△BCM的面积：12MC×4=5或12BM×1=5，
解得：MC=2.5或BM=10，
∵B（0，4），C（-1，0），
∴MO=3.5或1.5，
∴M（-3.5，0）或（1.5，0）；
当点M在y轴正半轴上时，
∵BM=10，OB=4，
∴MO=10+4=14，
∴M（0，14），
当点M在y轴负半轴上时，
∵BM=10，OB=4
∴MO=10-4=6，
∴M（0，-6），
所以点M的坐标为（-3.5，0）或（1.5，0）或（0，14）或（0，-6）．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+2)2+n−6=0，将线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接AC，BD．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积等于平行四边形ABDC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且∠BAE=∠DCB．求证：AE//BC．
【思路点拨】
（1）由非负数的性质得出m+2=0，且n−6=0，求出m=−2，n=6，得出A(−2,0)，B(6,0)，由平移的性质得C(0,4)，D(8,4)；
（2）设P(x,0)，由（1）由（1）得：AB=8，OC=4，∴S平行四边形ABDC=8×4=32，进而可得关于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性质得AB//CD，由平行线的性质得出∠DCB=∠CBA，证出∠BAE=∠CBA，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵m，n满足(m+2)2+n−6=0，
∴m+2=0，且n−6=0，
∴m=−2，n=6，
∴A(−2,0)，B(6,0)，
由平移的性质得：C(0,4)，D(8,4)；
（2）解：存在，理由如下：
设P(x,0)，
由（1）得：AB=8，OC=4，
∴S平行四边形ABDC=8×4=32，
∵PB=|x−6|，
∴S△PBC=12PB×OC=12|x−6|×4=32，
解得：x=22或x=−10，
∴点P的坐标为(22,0)或(−10,0)；
（3）证明：由平移的性质得：AB//CD，
∴∠DCB=∠CBA，
∵∠BAE=∠DCB，
∴∠BAE=∠CBA，
∴AE//BC．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；
（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到12×6×2=2×12×|4−x|×2，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作PQ∥CD交y轴于Q，根据平行线的性质由AB∥CD得CD∥PQ∥AB，再根据平行线的性质∠CPQ=∠1，∠OPQ=∠2，从而得到结论∠CPO=∠CPQ+∠OPQ=∠1+∠2．
【解题过程】
（1）解：∵点A、B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、B的对应点C、D，
∴点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(6,2)，
∴ S四边形ABCD=AB·OC =2×(4+2)=12；
（2）解：存在．理由如下：
设点E的坐标为(x,0)，
∵△DEC的面积是△DEB的面积的2倍，
∴12×6×2=2×12×|4−x|×2，解得x=1或x=7，
∴点E的坐标为(1,0)或(7,0)；
（3）解：∠CPO=∠1+∠2，理由如下：
过点P作PQ∥CD交y轴于Q，如图所示：
∵ AB∥CD
∴CD∥PQ∥AB
∴∠CPQ=∠1，∠OPQ=∠2，
∴∠CPO=∠CPQ+∠OPQ=∠1+∠2．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．
（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；
（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14S四边形ABD？若存在这样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；
【思路点拨】
（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据直线CD上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解题过程】
（1）解：（1）∵点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，
∴点C的坐标为−1,3，点D的坐标为3,3，AB=4，
∴四边形ABCD的面积=4×3=12；
（2）存在，
设点P的坐标为0,b，
由题意得：12×4×b=12，
解得：b=±6，
∴点P的坐标为0,6或0,−6；
（3）设点Q的坐标为a,3，
则CQ=a+1，
由题意得：12×a+1×3=14×12，
解得：a=1或−3，
则点Q的坐标为1,3或−3,3．
8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；
（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；
（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．
【思路点拨】
（1）①根据坐标求出线段AB的长度即可；②根据垂线段最短，可得A′是原点时点A与点A′的“友好距离”最小值；
（2）根据S△ACD=12AC⋅OD=10计算即可；
（3）连接AF，A′E，由∥易得S△AEF=S△AEA′，面积相等求出AA′即可．
【解题过程】
（1）①∵点A（3，0）的“友好图形”点B（3，6）
∴点A与点B的“友好距离”AB=6；
②当A′是原点时，点A（3，0）与点A′的“友好距离”最小值，最小值为3；
（2）S△ACD=12AC⋅OD=10
由题意可知：AC＝4，
∴OD＝5，
∵点D在y轴上，
∴D（0，5）或（0，－5）
（3）如图，连接AF，A′E
∵AE∥A′E
∴S△AEF=S△AEA′
∴12EF⋅OA=12AA′⋅OE
∵EF＝8，OA＝3，OE＝6
∴12×8×3=12×AA×6
∴AA′=4
∴点A与点A′的“友好距离”为4．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 ，长方形A1BCD1的面积为 cm2；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？
【思路点拨】
（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出A1B的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵AB＝10cm，BC＝6cm，
∴C的坐标为（10，6），
故答案为：（10，6）．
（2）∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，
∵C（10，6），
∴C1（14，6），
故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，A1A＝4，
∴A1B＝6，
∴长方形A1BCD1的面积为36（cm2）．
故答案为：36．
（3）当t≤5时，如图：
∵A1B＝AB﹣A1A＝10﹣2t，
∴长方形A1BCD1的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（cm2），
当t＞5时，如图：
∵A1B＝A1A﹣AB＝2t﹣10，
∴长方形A1BCD1的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（cm2），
故答案为：（﹣12t+60）cm2或（12t﹣60）cm2；
当t≤5时，如图：
长方形A1BCD1的面积为﹣12t+60，
△FBB1面积的3倍为3×12×2t×6=18t，
由题意得：﹣12t+60＝18t，
解得t＝2；
当t＞5时，如图：
同理可得：12t﹣60＝18t，
解得t＝﹣10（舍去），
∴t＝2．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，Aa,0，B0,b，C0,c，a+4+2−b=0，c=12a−b．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q'在同一直线上，求m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
【思路点拨】
（1）由非负数的性质求出a=−4，b=2，求出c=−3，由A，B，C三点的坐标可求出答案；
（2）根据三角形的面积关系S△A'Q'A=S△CQ'O+S梯形AA'CO可得出答案；
（3）连接OD，OE，，设D（m,n），由三角形面积关系得出m=2n−4，由平移的性质得出E（2n,n），根据三角形的面积关系可求出答案．
【解题过程】
解：（1）∵a+4+2−b=0，a+4≥0，2−b≥0，
∴a+4=0.，2−b=0，
∴a=−4，b=2，
∴c=12a−b=−3，
∴A−4,0，B0,2，C−3,0，
∴BC=5，OA=4，
∴S△ABC=12×BC×OA=12×5×4=10；
（2）由题意知：OQ'=2×3=6，AA'=3m，
∵S△A'Q'A=S△CQ'O+S梯形AA'CO，
∴12×10×3m=12×6×3+12×3+3m×4，
∴m=53．
（3）连接OD，OE，
设Dm,n，
∵S△AOB=S△AOD+S△DOB，
∴12×4×2=12×4×n+12×2×−m，
∴m=2n−4，
∵点D向右平移4个单位长度得到E点，
∴E2n,n，
∵S△AOC+S△AOE+S△COE=S△ACE，
∴12×4×3+12×4×n+12×3×2n=14，
∴n=85，
∴m=2n−4=−45，
∴D−45,85.
11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A2，6，B4,3，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′交y轴于点C，BB′交x轴于点D．
（1）线段A′B′可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A′，B′的坐标；
（2）求四边形AA′BB′的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A′DB′的数量关系，给出结论并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A(2,6)，B(4,3)，
又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，
∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
∴A′(−2,0)，B′(0,−3)．
（2）S四边形ABB′A′=6×9−2×12×2×3−2×12×6×4=24．
（3）连接AD．
∵B(4,3)，B′(0,−3)，
∴BB′的中点坐标为(2,0)在x轴上，
∴D(2,0)．
∵A(2,6)，
∴AD//y轴，
同法可证C(0,3)，
∴OC=OB′，
∵A′O⊥CB′，
∴A′C=A′B′，
同法可证，B′A′=B′D，
∴∠A′DB=∠DA′B′，∠A′CB′=∠A′B′C，
当点P在点C的下方时，
∵∠PCA′+∠A′CB′=180°，∠A′B′C+∠DA′B′=90°，
∴∠PCA′+90°−∠A′DB′=180°，
∴∠PCA'−∠A'DB'=90°，
当点P在点C的上方时，∠PCA'+∠A'DB'=90°．
12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，点A0,a，点B0,b，点Da,12a，点Em−b,12a+4.
（1）若a=1，求m的值；
（2）若点C−a,14m+3，其中a>0. 直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）当a=1时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到m−b=1b−412=1−12，即可求出m的值；
（2）由平移的规律得出a=m−b①a−12a=b−12a+4②，变形整理得到14m+3=12a+4，那么CE∥x轴，根据三角形BEM的面积=12BM⋅EM=1，求出a=2，A（0，2），B（0，6），C（-2，5）．根据点F与点C是对应点，得出F（0，4），求出AF=BF=2．
【解题过程】
解：（1）当a=1时，
由三角形ABC平移得到三角形DEF，
A0,1,B0,b的对应点分别为
D1,12，Em−b,412
可得m−b=1b−412=1−12，
解得b=6m=5.
∴m的值为6.
（2）由三角形ABC平移得到三角形DEF，
A0,a，B0,b的对应点分别为
Da,12a，Em−b,12a+4.
可得a=m−b①a−12a=b−12a+4②，
由②得b=a+4③，
把③代入①，得m=2a+4，
∴14m+3=12a+4，
∴点C与点E的纵坐标相等，
∴CE∕∕x轴，
∴点M0,12a+4，
∴三角形EBM的面积=12BM⋅EM=1，
∵a>0，
∴BM=a+4−12a+4=12a，EM=a.
∴14a2=1，
∴a=2，
∴A0,2，B0,6，C−2,5.
又∵在平移中，点F与点C是对应点，
∴F0,4，
∴AF=4−2=2
BF=6−4=2，
∴AF=BF.
13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．
（1）如图（1），若A(1,3), B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D的坐标；
（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP之间的数量关系（不用证明）．
【思路点拨】
（1）先根据A,B的坐标找到平移规律，从而求出C的坐标，进而△ABC的面积和△AOD的面积可求,则点D的坐标可求；
（2）分两种情况讨论：当P在y轴的正半轴上时和当P在y轴的负半轴上时，分情况进行讨论即可．
【解题过程】
（1）由线段平移，点A(1,3)的对应点为B(3,0)，
知线段AO先向石平移2个单位，再向下平移3个单位，
则点O(0,0)平移后的坐标为(2,−3)，
即C(2,−3)
∴S△ABC=2×6−12×1×6−12×2×3−12×1×3=92,
∵S△AOD=2S△ABC
∴S△AOD=9
∵点A到x轴的距离为3，到y轴的的距离为1，
若点D在x轴上，
∵12×3·OD=9
∴OD=6
∴点D的坐标为(6,0)或(−6,0)
若点D在y轴上，
∵12×1·OD=9
∴OD=18
∴点D为(0,−18)或(0,18)
综上所述，点D的坐标为(6,0)或(−6,0)或(0,−18)或(0,18)
（2）如图，延长BC交y轴于点E．
∵OA∥BC且∠AOB=60°,
∴∠1=∠2=30°，∠OBC=60°，
分两种情况讨论：
（1）当P在y轴的正半轴上时，∠BCP=∠CPO+∠1=∠CPO+30°
（2）当P在y轴的负半轴上时，
若P在点E上方（含与点E重台）时，
∠CPO=180°−∠BCP+∠2
即∠BCP+∠CPO=210°
若P在点E下方时，
∠BCP=180°−(∠2−∠CPO)
即∠BCP=∠CPO+150°
综合可得∠CPO与∠CPO的数量关系是∠BCP=∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO=210°或∠BCP=∠CPO+150°．
14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，Bb,0．且a，b满足a+3+a−2b+72=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．
（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；
（2）先求出△ACD的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解．
【解题过程】
（1）解：∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°，证明如下：
证明：∵a+3+a−2b+72=0
∴a+3=0，a−2b+7=0，解得a=−3，b=2，
∴A−3,0，B2,0，
∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，
∴C−5,2，D0,2，
过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PQD+∠EPQ=180°，∠OPE+∠POB=180°，
∴∠PQD+∠EPQ+∠OPE+∠POB=360°，
即∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°．
（2）解：存在，M点坐标为−8,0，2,0，0,163，0,−43．理由如下：
△ACD的面积为12×5×2=5，
①M在x轴上，根据△MAD的高与△ACD相等的高，
∴AM=CD=5，
∴点M坐标为−8,0，2,0，
②M在y轴上，△MAD的高为AO=3，△MAD的面积为5，
即S△MAD=12AO×MD=5
∴MD=103
又∵D0,2，
∴点M坐标为0,163，0,−43．
故存在符合条件的M点坐标为−8,0，2,0，0,163，0,−43．
15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则∠BOQ+∠DCQ∠OQC的值______（填“变”或“不变”）．
【思路点拨】
（1）根据平移的特点可得出点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式可求面积；
（2）存在2种情况，点P在y轴正半轴和点P在y轴负半轴，另△ABP的面积与平行四边形ABDC面积相等可求得点P的坐标；
（3）如下图，利用平行的性质可求得∠CQO=∠DCQ+∠QOB，可得不变关系．
【解题过程】
解：（1）∵将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点C、D
又∵点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）
∴C（0，2），D（4，2）．
由题意可知：四边形ABDC为平行四边形，
∴S四边形ABDC=OC×AB=2×4=8．
（2）当点P在y轴正半轴时，设点P的纵坐标为a，图形如下
根据题意，得12a×4=8．
解得:a=4
同理当点P在y轴负半轴时，a=－4
∴P（0，4）或P（0，－4）．
（3）不变．
图形如下，过点Q作QM∥CD
∵CD是AB平移得到，∴AB∥CD
∵QM∥CD，∴QM∥AB
∴∠DCQ=∠CQM，∠MQO=∠QOB
∴∠DCQ+∠QOB=∠CQM+∠MQO=∠CQO
∴∠BOQ+∠DCQ∠OQC=1，比值始终不变
16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．
（1）填空：点D的坐标为 ．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据CD∥x轴，CD＝4，C（2，0），可确定点D坐标；
（2）①先计算出S梯形OCDB＝7，再讨论：当点P运动到点B时，S△POC的最小值＝3，则可判断S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC的最大值＝4，于是可判断S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，易得∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
【解题过程】
（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），
∴AB＝4，
由题意得：C（2，0），
∵CD＝4，AB∥CD，
∴D（2，﹣4）．
故答案为（2，﹣4）；
（2）①如图1中，S梯形OCDB＝12×（3+4）×2＝7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝12×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝12×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点Aa,0、Bb,0满足3a+b2+b−3=0．将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．
（1）请求出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：SΔEMD−SΔOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
【解题过程】
（1）解：∵3a+b2+b−3=0，3a+b2≥0,b−3≥0，
∴3a+b=0b−3=0，解得a=−1b=3，
∴点A和点B的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在．
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴12OB⋅DH+12OM⋅CD=9，即12×3×2+12t×4=9，解得t=3，
存在这样的t=3，使得四边形OMDB的面积等于9；
（3）解：不变．
理由如下：当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵SΔEMD−SΔOEN=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴SΔEMD−SΔOEN= S△OND+S△OMD
=12ON·DH+12OM·CD
=12×3−2t×2+12t×4
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
SΔEMD−SΔOEN=SΔEMD+SΔOED−SΔOEN+SΔOED=SΔOMD−SΔOND
=12×4⋅OM−12×2⋅ON
=12×4t−12×22t−3
=2t−2t−3=3
∴SΔEMD−SΔOEN为定值3，故其值不会变化．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，Aa,0，B1,b，a，b满足a+b−1+2a−b+10=0，连接AB交y轴于C．
（1）直接写出a=______，b=______；
（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于D4,0，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Qx,y在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13，求点Q横坐标x的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a，b；
（2）过点B作BM⊥x轴于M，设OC=m，由三角形面积关系得出12OA⋅OC+12(OC+BM)⋅OM=12AM⋅BM，求出m=3，过点B作BN⊥y轴于N，由三角形面积关系得出12×3×CP+12CP=12，求出CP即可；
（3）连接DQ，过点Q作QR⊥x轴，分点Q在第二象限，点Q在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
【解题过程】
（1）解：∵ a+b−1+|2a−b+10|=0，
又∵a+b−1⩾0，|2a−b+10|⩾0，
∴ a+b−1=02a−b+10=0，
解得：a=−3b=4，
故答案为：-3，4．
（2）过点B作BM⊥x轴于M，
设OC=m，
∵三角形AOC的面积+四边形OCBM的面积=三角形ABM的面积，
∴ 12OA⋅OC+12(OC+BM)⋅OM=12AM⋅BM，
即12×3m+12(m+4)×1=12×4×4，
解得：m=3，
点C的坐标为(0,3)，
过点B作BN⊥y轴于N，
∵三角形ABP的面积=三角形ACP的面积+三角形BCP的面积，
∴ 12OA⋅CP+12BN⋅CP=12，
即12×3×CP+12CP=12，
∴CP=6，
∴点P的坐标为(0,−3)或(0,9)．
（3）点B向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点D平移后的对应点恰好是点E(0,−4)，
连接DQ，过点Q作QR⊥x轴，如图所示：
∵AE∥BD，
∴三角形ADQ的面积=三角形ABQ的面积，
当三角形ABQ的面积=13三角形ABD的面积时，QR=13yB=43，
当点Q在第三象限时，
∴ 12(x+3)×43+12(43+4)(−x)=12×4×3，
解得：x=−2，
当点Q在第二象限时，
∴ 12×3×4+12(3−x)×43=12(−x)×163，
解得：x=−4，
∴当三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13时，
点Q的横坐标x的取值范围是−4⩽x⩽−2，且x≠−3．
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