专题10.1 二元一次方程组的特殊解法（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】数学方法：解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【思路点拨】
（1）设m+n=x，m−n=y，即可得m+n=−2m−n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，可得m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．
1．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：x5+y6=0①3x−y−43y+x=85②
2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
（1）43x−2y+32x−5y=1053x−2y−22x−5y=1； （2）3x+my=5x+2y=n；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6x1+2x2+x3+x4+x5=12x1+x2+2x3+x4+x5=24x1+x2+x3+2x4+x5=48x1+x2+x3+x4+2x5=96，求2x4+3x5的值.
3．（2023·全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3=y，原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程组的解为m=−4n=−1．
（1）若方程组2x−3y=45x−3y=1的解是x=−1y=−2，则方程组2a+b−3a−b=45a+b−3a−b=1的解是__________．
（2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：m4+n3=7m3+n2=8，解得m=60n=−24
把m=60n=−24代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9y=14
∴原方程组的解为x=9y=14
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组：x+y6+x−y10=3x+y6−x−y10=−1
（2）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=5y=2，则方程组5a1x+2b1y=6c15a2x+2b2y=6c2的解是 ．
5．（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
6．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5…③，把方程①代入③得：2×3+y=5即y=−1，把y=−1代入方程①，得x=4，所以方程组的解为x=4y=−1．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+5y=166x+11y=35；
（2）已知x，y满足方程组2x2−xy+3y2=246x2+4xy+9y2=51
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
7．（2023春·浙江·七年级阶段练习）已知方程组x+2y+3z=104x+3y+2z=15，求−2x+y+4z的值．
小明凑出“−2x+y+4z=2×x+2y+3z+−1×4x+3y+2z=20−15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设−2x+y+4z=mx+2y+3z+n4x+3y+2z，对照方程两边各项的系数可列出方程组m+4n=−22m+3n=13m+2n=4它的解就是你凑的数！
（1）根据丁老师的提示，已知方程组x+2y+3z=34x+3y+2z=7，求2x+5y+8z的值．
（2）已知2a−b+kc=4，且a+3b+2c=−2，当k为 时，8a+3b−2c为定值，此定值是 ．（直接写出结果）
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组32x+35y=38①30x+33y=36②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③．
③×35﹣①得3x=﹣3．
解得x=﹣1，从而y=2．
所以原方程组的解是x=−1y=2
（1）请你运用上述方法解方程组：2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②；
（2）猜测关于x、y的方程组ax+(a+n)y=a+2n①bx+(b+n)y=b+2n②（a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
（3）请你用类似方法解方程组：1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2x−3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m=2x+3y，n=2x−3y．
原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，
解得m=60n=−24，
把m=60n=−24代入m=2x+3y，n=2x−3y，
得2x+3y=602x−3y=−24，
解得x=9y=14．
∴原方程组的解为x=9y=14．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）2(x+1)+3(y−2)=1x+1−2(y−2)=4
（2）x+y2+x−y5=−32(x+y)−3x+3y=26
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）先阅读，再解方程组．
解方程组x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1
解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为m2+n3=7m3−n4=−1．解得m=6n=12，∴原方程组的解为x=9y=−3．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组ax+by=73x−2by=5的解是x=6y=−3，求方程组2a(x+y)+b(x−y)=76(x+y)−2b(x−y)=5的解．
（2）用换元法解方程组2x+y−1x−y=33x+y+4x−y=10（其中|x|≠|y|）．
11．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）【情境呈现】在解方程组2x+3y3+4x−3y2=72x+3y4+4x−3y3=5时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x−3y分别看作一个整体，通过换元：令m=2x+3y、n=4x−3y，可以将原方程组化为m3+n2=7m4+n3=5，解得m=12n=6，把m=12n=6代入m=2x+3y、n=4x−3y，得2x+3y=124x−3y=6，解得x=3y=2，所以原方程组解为x=3y=2．
（1）【灵活运用】若方程组3x+by=1ax+y=6的解为x=1y=1，则方程组3(x−2)+b(y+2)=1a(x−2)+(y+2)=6的解为 ；
（2）【灵活运用】若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=ky=k−2，其中k为常数．
①求方程组13a1(x+1)+12b1(y−2)=c113a2(x+1)+12b2(y−2)=c2的解：
②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x>y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组{14x+15y=16①17x+18y=19②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大．如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②－①得3x+3y=3，∴x+y=1③．
③×14得14x+14y=14④．
①－④得y=2，从而得x=−1．
∴原方程组的解是{x=−1y=2
（1）请运用上述方法解方程组{2015x+2016y=20172018x+2019y=2020．
（2）请直接写出方程组{998x+999y=10009998x+9999y=10000的解是______
（3）猜测关于x，y的方程组{mx+(m+1)y=m+2nx+(n+1)y=n+2(m≠n)的解，并加以验证．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1x+y&4b1x−y=5c13a2x+y⊗4b2x−y=5c2的解．
14．（2023春·七年级课时练习）【阅读材料】解二元一次方程组：10x+23y=119①23x+10y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数，
可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y ③
把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5，
∴原方程组的解是x=5y=3. 这样运算显得比较简单.
解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8，
∴ x＝8－y ③，
把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是x=5y=3.
【学以致用】
（1）填空：由二元一次方程组x+3y=53x+y=3，可得x＋y＝__________；
（2）解方程组：2021x−2022y=2023①2020x−2021y=2022②
【拓展提升】
（3）当m≠－12时，解关于x，y的方程组(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①(m+3)x−(2−m)y=−5m−5②.
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）数学乐园：解二元一次方程组{a1x+b1y=c1①a2x+b2y=c2②，①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1，
当a1b2−a2b1≠0时，x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1，同理：y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1；
符号|abcd|称之为二阶行列式，规定：|abcd|=ad−bc，
设D=|a1b1a2b2|，Dx=|c1b1c2b2|，Dy=|a1c1a2c2|，那么方程组的解就是{x=DxDy=DyD
（1）求二阶行列式|3456|的值；
（2）解不等式：|xx−22−4|≥−2；
（3）用二阶行列式解方程组{3x−2y=62x+3y=17；
（4）若关于x、y的二元一次方程组{3x−my=62x+3y=17无解，求m的值．
16．（2023·全国·九年级专题练习）我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组x+ky=bkx+y=b叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=b+2(1−a)x+y=3，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______．
（2）若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是______．
（3）直接写出方程组的解：
x+2y=32x+y=3的解为______；3x+2y=−102x+3y=−10的解为______；2x−y=4−x+2y=4的解为______．
（4）发现：若共轭二元一次方程组x+ky=bkx+y=b的解是x=my=n则m，n之间的数量关系是______．
（5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．x
2
0
y
0
1