人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题6.2新定义中的数字问题(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题6.2新定义中的数字问题(原卷版+解析)，共44页。
【典例1】材料阅读：材料一：若a是正整数，a除以6的余数为1，则称a是“余一数”．例如：13是正整数且13÷6=2…1，则13是“余一数”．材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，规定：Fp=a+bc+d．请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：346，1537是不是“余一数”？并说明理由；
（2）若四位正整数q是“余一数”，q的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，Fq是有理数，求所有满足条件的q．
【思路点拨】
（1）根据“余一数”的定义即可一一判定；
（2）设q的千位数字为a，百位数字为b，1≤a≤7，0≤b≤6且a、b是整数，则十位数字为6-b，个位数字为7-a，且q=999a+90b+67，根据q被6除余1，可设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)，则k=333a2+15b+11，可得a是2的倍数，即a=2或4或6，依题意可得F(q)=1313−a−b−1，再根据Fq是有理数，把a、b可取的值分别代入，即可求得．
【解题过程】
（1）解：346不是“余一数”，1537是“余一数”
理由如下：
∵346÷6=57⋅⋅⋅4
∴346不是“余一数”
∵1537÷6=256⋅⋅⋅1
∴1537是“余一数”
（2）解：设q的千位数字为a，百位数字为b，1≤a≤7，0≤b≤6且a、b是整数
则十位数字为6-b，个位数字为7-a，
且q=1000a+100b+10(6-b)+(7-a)=999a+90b+67
∵q被6除余1
∴设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)
则k=333a2+15b+11
∴a是2的倍数，即a=2或4或6
依题意可知：F(q)=a+b6−b+7−a=a+b13−a−b
∵Fq是有理数
∴a+b与13−a−b都是完全平方数
∴若a=2时，满足条件的b有，b=2
此时F(q)=2+213−2−2=23，q=2245（舍去，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和），
若a=4时，满足条件的b有，b=5
此时F(q)=4+513−4−5=32，q=4513
若a=6时，满足条件的b有，b=3
此时F(q)=6+313−6−3=32，q=6331
综上，据有满足条件的q的值为4513、6331．
1．（2022春·重庆巴南·八年级统考期末）对于任意一个四位正整数n，若n的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”n的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fn．例如，“相异数”n=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F1234=205．
（1）计算F6132的值；
（2）若“相异数”m的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且Fm能被17整除，求m的值．
2．（2022春·重庆开州·九年级校联考阶段练习）两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m的个位数字和十位数字分别与n的个位数字和十位数字相乘，按照这种方式产生的所有的积的和记为F（m，n）．
例如：F（13，24）=1×2+1×4+3×2+3×4=2+4+6+12=24．
又如：F（35，16）=3×1+3×6+5×1+5×6=3+18+5+30=56．
（1）计算：F（17，23）= ．F（31，72）= ．
（2）若一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b（1≤a≤4，1≤b≤5，且a，b都取整数），交换m的十位数字和个位数字得到新两位数m'，当m'与n的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“最美数对”，求所有“最美数对”F（m，n）的最大值．
3．（2022秋·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）对任意的一个三位数A，如果其各个数位上的数字均不为零，且满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么称这个三位数A为“三角形数”．把“三角形数”A的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F(A)；把A的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为G(A)．
例如：732，因为3+28，6+8>7，8+7>6，所以678是一个“三角形数”；
所以F(678)=67+68+78=213，Q(678)=6×3+7×2+8×1=40．
（1）请问398是不是“三角形数”，并说明理由；
（2）已知“三角形数”A满足百位数字比十位数字大1，且11F(A)+19G(A)3除以5的余数是2，求所有满足条件的A的值．
4．（2022春·重庆·八年级重庆一中校考阶段练习）对于任意一个四位数，如果百位上的字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数为“三倍数”．对于一个“三倍数”M＝abcd，将它的千位和十位数字构成的两位数记为ac，百位和个位数字构成的两位数记为bd，规定F（M）＝ac+bd12．例如：1452是“三倍数”，因为4+5＝9，1+2＝3，9是3的3倍，则F（1452）＝15+4212=194；3674不是“三倍数”，因为6+7＝13，3+4＝7，13不是7的3倍．
（1）判断2510，6713是否是“三倍效”？并说明理由；
（2）对于“三倍数”N，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，且N能被6整除，求出F（N）的最大值．
5．（2022秋·重庆·八年级校联考期中）一个多位数m（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（m），F（m）如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如：判断357383能不能被13整除，这个数的末三位数字是383，末三位以前的数字所组成的数是357，则F（357383）=383−357=26，26能被13整除，因此，357383也一定能被13整除．反之，若一个多位数m（数位大于等于4）能被13整除，则m的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（m）一定能被13整除．
（1）F（59306）＝ ，59306 （能或不能）被13整除．
（2）若两个四位数m，n均为13的倍数，且m=1000a+238，n的千位数字为b−1，百位数字为5，十位数字为5，个位数字为c−2．规定K（m，n）=a+cb，当F(n)13−F(m)13=24时，求K（m，n）的最小值．
6．（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）材料：对于一个四位正整数，如果满足百位上数字的2倍等于千位与十位的数字之和，十位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“平衡数”．
例如：∵1234中，2×2=1+3=4，3×2=2+4=6，∴1234是“平衡数”．
又如：∵2022中，0×2≠2+2，∴2022不是“平衡数”．
（1）判断7135，1357是否为“平衡数”，并说明理由；
（2）若四位正整数n=abcd为“平衡数”，其中a，b，c，d为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，设F(n)=3c，G(n)=a−2d，若2F(n)+G(n)+17能被13整除，求所有满足条件的n的值．
7．（2022春·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个四位自然数m＝abcd的各数位上的数字满足a﹣b＝b﹣c＝c﹣d＝k（k≠0），则称该数为“等差数”．把自然数m的千位和个位上的数字之差的平方与百位和十位上的数字之差的平方作差，记为F（m），即F（m）＝（a﹣d）2﹣（b﹣c）2，例如：1357是一个“等差数”，F（357）＝（1﹣7）2﹣（3﹣5）2＝32，4321是一个“等差数”，F（432）＝（4﹣1）2﹣（3﹣2）2＝8
（1）证明：任意一个“等差数”与它百位上的数字之和一定能被4整除；
（2）如果一个“等差数”p的各个数位数字之和与其千位数字的两倍之差是一个完全平方数，求所有满足条件的“等差数”p，并求所有满足条件的“等差数”p中F（p）的最小值．
8．（2022秋·重庆·八年级重庆十八中校考期中）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x）＝x−y9，例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）＝2356−62359＝﹣431．
（1）计算：f（5234）＝ ，f（3215）＝ ．
（2）若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：f（x）能被11整除．
（3）若s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数），若f（s）+f（t）被7除余2，求满足条件的f（t）的最小值．
9．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）对于一个百位数字与十位数字之和为3的四位正整数m，其各数位上数字均不为零且小于9，交换千位与个位上的数字得到数m'，令Fm=m−m'333，若Fm为正整数，则称m为“三中全会”数．例如：对于8212，2+1=3，F8212=8212−2218333=18，∵18是正整数，∴8212是“三中全会”数；对于3216，2+1=3，F3216=3216−6213333=−9，∵−9不是正整数，∴3216不是“三中全会”数．
（1）请判断6214，4127是否是“三中全会”数，并说明理由；
（2）对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百位、十位和个位上的数字之和记为Gm，若Gm是整数，则称m为“南开全对”数，请求出所有“南开全对”数．
10．（2022春·上海·七年级专题练习）如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．
（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．
11．（2022春·重庆·八年级校考期中）材料1：一个多位正整数，将其首两位截去，若余下的数与这个首两位数的和能被11整除，则称这样的数为“双十一数”．如1221，截去首两位12，余下的数为21，21与12的和为33，能被11整除，则1221是“双十一数”．
材料2：一个各位数字均不为0的三位正整数m，将其各位上的数字重新排列得到新三位数abc，在所有重新排列的数中，当a+2b−3c最大时，我们称此时的三位数为m的“自恋数”，并规定fm=2b−ca．例如123，重新排列可得132，213，231，312，321，1+2×3-3×2=1，2+2×1-3×3=-5，2+2×3-3×1=5，3+2×1-3×2=-1，3+2×2-3×1=4，5>4>1>-1>-5，∴231是123的“自恋数”，则f123=2×3−12=52，请回答下列问题：
（1）5665是 （填“是”或“不是”）“双十一数”；将任意一个“双十一数”的首两位数与余下的数交换得到一个新数，该新数 被11整除（填“能”或“不能”）；
（2）若一个三位“双十一数”t，它的十位数字与个位数字之和是7，且十位数字大于个位数字，求所有这样的“双十一数”中ft的最大值．
12．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那么称这个数n为“满月数”．例如：n1=9456，∵9+4+5−6=12，∴9456是“满月数”：n2=2021，∵2+0+2−1=3≠12，∴2021不是“满月数”．
（1）判断3764，2858是否为“满月数”？请说明理由：
（2）若“满月数”m=1000a+100b+10c+202（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s与t的和能被7整除，求m的值．
13．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）一位同学在阅读课外书的时候，学到了一种速算方法，也让我们一起来看看吧！1+2+3+⋯+100=(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)，他发现这样的数对一共有50对，且每一对数和都101，所以原式=(1+100)×50=5050；同样地，2+4+6+⋯+100=(2+100)+(4+98)
＋…＋(50+52），这样的数对一共有25对，且每一对数和都是102，所以原式=(2+100)×25=2550；
（1）请仔细观察以上算式的特点及运算规律，请你运用你的发现看看下列式子哪些具有上述特点，能运用上述规律来运算，并把这样式子的结果算出来：
①1+3+5+7+⋯+199；
②3+7+11+15+⋯+195+199；
③1+2+3+5+8+13+21+34；
（2）在上面的①式中，请你通过增加或减少和中最后面奇数的个数，探寻本题计算规律，请用一个含字母n的式子表示你的发现；
（3）另外，该同学还有一个有趣发现：1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43，…，以此类推，你能写出第50个式子的结果并写出等式左边第一个数吗？说出你的理由．
14．（2022春·重庆万州·七年级重庆市万州第二高级中学校考期中）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对折数”．例如在正整数3197中，因为3+7=1+9=10，所以3197是“对折数”，其中k=10，再如在正整数13457中，因为1+7=3+5=4+4=8，所以13457是“对折数”，其中k=8．
（1）已知P=200+10x+6，Q=3000+100y+47，其中x，y为正整数，1≤x≤9，1≤y≤9，当P，Q均为“对折数”时，求x，y的值；
（2）设某四位“对折数”的千位上的数字为a（1≤a≤9，a为整数），百位上的数字为b（0≤b≤9，b为整数），已知k=6，则该四位“对折数”能被11整除，且为偶数，求满足条件的四位“对折数”．
15．（2022·重庆北碚·统考模拟预测）对于个位数字不为0的任意一个两位数m，交换十位数字和个位数字的位置，得到一个新的两位数n，记Fm=m−n9，Gm=m+n11．
例如：当m=74时，则n=47，F74=74−479=3，G74=74+4711=11．
（1）计算F38和G59的值；
（2）若一个两位数m=10a+b（a，b都是整数，且5≤a≤9，1≤b≤9），Fm+2Gm是一个整数的平方，求满足条件的所有m的值．
16．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）材料一：一个两位自然数m，满足各位数字之和小于或等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“尚美数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数m′，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数m″，记Tm=m′−m″18．例如：m=52时，m′=752，m″=527，T52=752−52718=252．
材料二：若一个数M等于另一个整数N的平方，则称这个数是完全平方数．
（1）直接判断：46______（填“是”或“不是”）“尚美数”，并直接写出：T27=______；
（2）已知两个“尚美数”m=10a+b1≤a≤8,1≤b≤6，n=10x+y1≤x≤8,2≤y≤8，若Tm是一个完全平方数，且m+2Tn−8y=95，规定P=mn，求P的最小值．
17．（2023春·上海·七年级专题练习）若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017．
（1）P（2215）＝ ，P（6655）＝ ．
（2）求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．
（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．
18．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）对于各位数字均不为零的三位自然数m=abc，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”．例如m=327，∵3+2+7=12，12÷2=6，∴327是“对偶数”；又如n=136，∵1+3+6=10，10不能被3整除，∴136不是“对偶数”．将m的百位数字放在其个位数字后得m1=bca，再将m1的百位数字放在其个位数字后得m2=cab．记Fm=m+m1+m2111．
（1）判断248，933是否是“对偶数”，并说明理由；
（2）已知“对偶数”n=100a+10b+4（其中1≤a+b≤9），若18Fn+2a−4能被7整除，求出所有满足条件的n．
19．（2022·重庆·二模）一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．
（1）判断864192 （能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；
（2）一个自然数t可以表示为t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t的所有表示结果中，当|p﹣q|最小时，称p2﹣q2是t的“平方差分解”，并规定F（t）＝p+2qp−q，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，则F（32）＝9+2×79−7＝232．已知一个五位自然数，末三位数m＝500+10y+52，末三位以前的数为n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数），n为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求F（n） 的最大值．
20．（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）阅读材料：材料一：对于一个四位数n，若满足各个数位上的数字均不为零，且千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”.例如：
n=8563，∵8−5=6−3=3，∴8563是“等差数”；
n=2715，∵2−7≠1−5，∴2715不是“等差数”；
材料二：将一个四位数n（十位上的数字不为零）千位上的数字与十位上的数字交换，百位上的数字与个位上的数字交换可以得到一个新的四位数n′，记Fn=n−n′99.例如：n=1324，n′=2413，则F1324=1324−241399=−11.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）判断4312和2817是否为“等差数”，并说明理由；
（2）求证：对于任意一个“等差数”m，Fm都能被11整除；
（3）若s和t都是“等差数”，其中s=1000x+100y+512，t=10a+b+3600（1≤x≤9，0≤y≤9，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b，x，y均为整数），且2Fs−3Ft=121，求s的值.
专题6.2 新定义中的数字问题
【典例1】材料阅读：材料一：若a是正整数，a除以6的余数为1，则称a是“余一数”．例如：13是正整数且13÷6=2…1，则13是“余一数”．材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，规定：Fp=a+bc+d．请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：346，1537是不是“余一数”？并说明理由；
（2）若四位正整数q是“余一数”，q的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，Fq是有理数，求所有满足条件的q．
【思路点拨】
（1）根据“余一数”的定义即可一一判定；
（2）设q的千位数字为a，百位数字为b，1≤a≤7，0≤b≤6且a、b是整数，则十位数字为6-b，个位数字为7-a，且q=999a+90b+67，根据q被6除余1，可设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)，则k=333a2+15b+11，可得a是2的倍数，即a=2或4或6，依题意可得F(q)=1313−a−b−1，再根据Fq是有理数，把a、b可取的值分别代入，即可求得．
【解题过程】
（1）解：346不是“余一数”，1537是“余一数”
理由如下：
∵346÷6=57⋅⋅⋅4
∴346不是“余一数”
∵1537÷6=256⋅⋅⋅1
∴1537是“余一数”
（2）解：设q的千位数字为a，百位数字为b，1≤a≤7，0≤b≤6且a、b是整数
则十位数字为6-b，个位数字为7-a，
且q=1000a+100b+10(6-b)+(7-a)=999a+90b+67
∵q被6除余1
∴设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)
则k=333a2+15b+11
∴a是2的倍数，即a=2或4或6
依题意可知：F(q)=a+b6−b+7−a=a+b13−a−b
∵Fq是有理数
∴a+b与13−a−b都是完全平方数
∴若a=2时，满足条件的b有，b=2
此时F(q)=2+213−2−2=23，q=2245（舍去，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和），
若a=4时，满足条件的b有，b=5
此时F(q)=4+513−4−5=32，q=4513
若a=6时，满足条件的b有，b=3
此时F(q)=6+313−6−3=32，q=6331
综上，据有满足条件的q的值为4513、6331．
1．（2022春·重庆巴南·八年级统考期末）对于任意一个四位正整数n，若n的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”n的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fn．例如，“相异数”n=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F1234=205．
（1）计算F6132的值；
（2）若“相异数”m的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且Fm能被17整除，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据新定义计算，即可求得；
（2）首先可求得Fm=1020+4x+y，再根据Fm能被17整除，1020能被17整除，可得4x+y能被17整除，且1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，x≠y，可得5≤4x+y≤45，分类讨论即可求得．
【解题过程】
（1）解：F6132=132+632+612+613÷3=663，
（2）解：由题意可得：设“互异数”m=7800+10x+y，（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数，x≠y，），
去掉千位：800+10x+y，
去掉百位：700+10x+y，
去掉十位：780+y，
去掉个位：780+x，
Fm=800+10x+y+700+10x+y+780+y+780+x÷3=1020+4x+y，
∵Fm能被17整除，1020能被17整除，
∴4x+y能被17整除，且1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，x≠y，
∴5≤4x+y≤45且x≠y，
当4x+y=17时，Fm=1037，符合题意；
此时：x=2，y=9，m=7829（符合）；
x=3， y=5，m=7835（符合）；
x=4，y=1，m=7841（符合）；
当4x+y=34时，Fm=1054，符合题意；
此时：x=7，y=6，m=7876（不符合）；
x=8，y=2，m=7882（不符合）；
综上所述：m=7829，m=7835，m=7841.
2．（2022春·重庆开州·九年级校联考阶段练习）两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m的个位数字和十位数字分别与n的个位数字和十位数字相乘，按照这种方式产生的所有的积的和记为F（m，n）．
例如：F（13，24）=1×2+1×4+3×2+3×4=2+4+6+12=24．
又如：F（35，16）=3×1+3×6+5×1+5×6=3+18+5+30=56．
（1）计算：F（17，23）= ．F（31，72）= ．
（2）若一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b（1≤a≤4，1≤b≤5，且a，b都取整数），交换m的十位数字和个位数字得到新两位数m'，当m'与n的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“最美数对”，求所有“最美数对”F（m，n）的最大值．
【思路点拨】
（1）根据给定的规则即可求出；
（2）由m=21a+b， n=53+b得出m'+5 (3+b)的表达式，根据m'+5 (3+b)能被11整除及1≤a≤4， 1≤b≤5，讨论出a和b的值，从而可得F ( m， n)的最大值
【解题过程】
（1）解∶ F(17， 23) =12+13+72+73=40，
F (31， 72) =37+32+17+12=36，
故答案为∶40，36；
（2）∵一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b ( 1≤a≤4， 1≤b≤5，且a， b都取整数)，
∴m'=10 (a+b) +2a， n的个位数字是3+b， ．
∴m'+5 (3+b) =10 ( a+b) +2a+5 ( 3+b) =12a+ 15b+15，
∵m'+3 (3+b)能被11整除，m'+5(3+b)=12a+ 15b+15=11(a+b+1)+(a+4b+4)，
∴a+4b+4能被11整除，
∵1≤a≤4， 1≤b≤5，
∴9≤a+4b+4 ≤28，
∴当a+4b+4=11时， a=3， b=1 ；
当a+4b+4=22时， a=2， b=4 ；
∴当a=3， b=1时，m=64， n=54，此时F (m，n) =F (64， 54) =6×5+6×4+4×5+4×4=90 ，
当a=2，b=4时， m=46， n=57，此时F ( m，n) =F ( 46， 57) =4×5+4×7+6×5+6×7=120，
所有“最美数对”F (m， n)的最大值为∶ 120．
3．（2022秋·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）对任意的一个三位数A，如果其各个数位上的数字均不为零，且满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么称这个三位数A为“三角形数”．把“三角形数”A的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F(A)；把A的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为G(A)．
例如：732，因为3+28，6+8>7，8+7>6，所以678是一个“三角形数”；
所以F(678)=67+68+78=213，Q(678)=6×3+7×2+8×1=40．
（1）请问398是不是“三角形数”，并说明理由；
（2）已知“三角形数”A满足百位数字比十位数字大1，且11F(A)+19G(A)3除以5的余数是2，求所有满足条件的A的值．
【思路点拨】
设“三角形数” A十位数字为b，个位数字为c，则百位数字为b+1，根据把“三角形数”A的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F（A）；把A的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为G（A），求出11F（A）+19G（A），再根据5的倍数特征进行讨论即可求解．
【解题过程】
（1）解：398是“三角形数”，理由如下：
∵3+9>8，3+8>9，9+8>3，
∴398是一个“三角形数”；
（2）解：设“三角形数” A十位数字为b，个位数字为c，则百位数字为b+1，
则F（A）=10(b+1)+b+10(b+1)+c+10b+c=31b+2c+20，
G（A）=3(b+1)+2b+c=5b+c+3，
∴11F（A）+19G（A）
=341b+22c+220+95b+19c+57
=436b+41c+277，
则436b+41c+275=5x(x为自然数），
即430b+40c+275+6b+c=5x，
∴6b+c是5的倍数(0-3>-8>-9>-13，
∴671是t的“自恋数”，
∴ft=2×7−16=136；
②当t为752时，
同理可求出572是t的“自恋数”，
∴ft=2×7−25=125；
③当t为743时，
同理可求出473是t的“自恋数”，
∴ft=2×7−34=114．
∵114>125>136，
∴ft的最大值为114．
12．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那么称这个数n为“满月数”．例如：n1=9456，∵9+4+5−6=12，∴9456是“满月数”：n2=2021，∵2+0+2−1=3≠12，∴2021不是“满月数”．
（1）判断3764，2858是否为“满月数”？请说明理由：
（2）若“满月数”m=1000a+100b+10c+202（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s与t的和能被7整除，求m的值．
【思路点拨】
（1）读懂“满月数”的意思，再根据定义代入3764和2858进行验证；
（2）m是一个四位数，s、t分别是两位数，都是可以用字母a、b、c表示，这样就可以用a、b、c表示s和t．再根据m是满月数，化简得到a＋c＝12﹣b．最后s和t的和能被7整除，再代入求出值．
【解题过程】
解：（1）∵3＋7＋6﹣4＝12，2＋8＋5﹣8＝7，
∴3764是满月数，2858不是满月数．
（2）当1≤b≤7时，
∵m＝1000a＋100b＋10c＋202＝1000a＋100（b＋2）＋10c＋2，
∴s＝10a＋b＋2，t＝10c＋2，
当b＝8或b＝9时，
∵m＝1000a＋100b＋10c＋202＝1000（a＋1）＋100（b﹣8）＋10c＋2，
∴s＝10（a＋1）＋（b﹣8）＝10a＋b＋2，t＝10c＋2，
∴s＋t＝10a＋10c＋b＋2＋2＝10（a＋c）＋b＋4．
∵m为“满月数”，
∴a＋（b＋2）＋c﹣2＝12，
∴a＋c＝12﹣b，
∴10（a＋c）＋b＋4＝124﹣9b．
∵124﹣9b能被7整除，且1≤b≤9，
∴b＝6，
∴a＋c＝6．
∵4≤a≤8，1≤c≤5，
∴当a＝4时，c＝2，m＝4×1000＋100×（2＋6）＋10×2＋2＝4822；
当a＝5时，c＝1，m＝5×1000＋100（2＋6）＋10×1＋2＝5812．
②当8≤b≤9时，m=1000（a+1）+100（b-8）+10c+2，
∴a+1+b-8+c-2=12，
∴a+b+c=21，
当b=8时，a+c=13，
∴a=8c=5
∴m=9052，而90+52=142不能被7整除，不符合题意，
当b=9时，则a+c=12，
∴a=8c=4，a=7c=5
∴m=9142，而91+42=133能被7整除，
m=8152，而81+52=133，能被7整除，
答：3764是满月数，2858不是满月数；m的值为4822，5812，9142，8152．
13．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）一位同学在阅读课外书的时候，学到了一种速算方法，也让我们一起来看看吧！1+2+3+⋯+100=(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)，他发现这样的数对一共有50对，且每一对数和都101，所以原式=(1+100)×50=5050；同样地，2+4+6+⋯+100=(2+100)+(4+98)
＋…＋(50+52），这样的数对一共有25对，且每一对数和都是102，所以原式=(2+100)×25=2550；
（1）请仔细观察以上算式的特点及运算规律，请你运用你的发现看看下列式子哪些具有上述特点，能运用上述规律来运算，并把这样式子的结果算出来：
①1+3+5+7+⋯+199；
②3+7+11+15+⋯+195+199；
③1+2+3+5+8+13+21+34；
（2）在上面的①式中，请你通过增加或减少和中最后面奇数的个数，探寻本题计算规律，请用一个含字母n的式子表示你的发现；
（3）另外，该同学还有一个有趣发现：1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43，…，以此类推，你能写出第50个式子的结果并写出等式左边第一个数吗？说出你的理由．
【思路点拨】
（1）①根据阅读部分提供的方法可得：1+3+5+7+⋯+199一共有199+12=100个数，分成50组，每组的和为200，从而可得答案；②根据阅读部分提供的方法可得：3+7+11+15+⋯+195+199一共有199+14=50个数，分成25组，每组的和为202，从而可得答案；③由1+2+3+5+8+13+21+34可得前面两个数的和等于后一个数，再计算即可.
（2）分两种情况讨论：当n为偶数时，当n为奇数时，再利用从具体到一般的探究方法矩形探究即可；
（3）由1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43 ···，可发现左边第一个数有：1=0×1+1,3=1×2+1,7=2×3+1,13=3×4+1,···, 归纳可得：第n行第一个数为：(n−1)n+1, 右边为n3, 后续的奇数为：(n−1)n+3,(n−1)n+5,···,(n−1)n+(2n−1), 再应用规律，从而可得答案.
【解题过程】
（1）解：①1+3+5+7+⋯+199
=(1+199)+(3+197)+⋅⋅⋅+(99+101)
=200×50=10000
②3+7+11+15+⋯+195+199
=(3+199)+(7+195)+⋅⋅⋅+(99+103)
=202×25=5050
③1+2+3+5+8+13+21+34
=1+5+5+21+21+34
=87
（2）解：∵1+3+5+7=8×7+12×12=16,
1+3+5+7+9+11=12×11+12×12=36,
···
1+3+5+7+⋯+199=200×199+12×12=10000,
当n为偶数时，
∴1+3+5+···+(2n−3)+(2n−1) =2n×2n−1+12×12=n2,
∵1+3+5=6×5−12×12+5+12,
1+3+5+7+9=10×9−12×12+9+12,
···
当n为奇数时，
∴1+3+5+7+···+(2n−3)+(2n−1)
=2n×2n−1−12×12+2n−1+12
=2n×2n−24+n=n2−n+n=n2,
综上：1+3+5+···+(2n−3)+(2n−1)=n2（n为正整数）
（3）解：∵ 1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43 ···，
可发现左边第一个数有：1=0×1+1,3=1×2+1,7=2×3+1,13=3×4+1,···,
归纳可得：第n行第一个数为：(n−1)n+1, 右边为n3,
后续的奇数为：(n−1)n+3,(n−1)n+5,···,(n−1)n+(2n−1),
所以第50行第一个数为：(50−1)×50+1=2451,
后续奇数为：2453,2455,2457，···，2549,
所以第50个式子为：
2451+2453+2457+···+2549=503,
等式的左边第1个数为：2451.
14．（2022春·重庆万州·七年级重庆市万州第二高级中学校考期中）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对折数”．例如在正整数3197中，因为3+7=1+9=10，所以3197是“对折数”，其中k=10，再如在正整数13457中，因为1+7=3+5=4+4=8，所以13457是“对折数”，其中k=8．
（1）已知P=200+10x+6，Q=3000+100y+47，其中x，y为正整数，1≤x≤9，1≤y≤9，当P，Q均为“对折数”时，求x，y的值；
（2）设某四位“对折数”的千位上的数字为a（1≤a≤9，a为整数），百位上的数字为b（0≤b≤9，b为整数），已知k=6，则该四位“对折数”能被11整除，且为偶数，求满足条件的四位“对折数”．
【思路点拨】
（1）根据新定义建立方程求解，即可得出x、y的值．
（2）先判断出0＜a≤6，0≤b≤6，a、b，为整数，再判断出9a＋b能被11整除，进而得出9a＋b＝11或22或33或44或55或66，分别求解，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵P=200+10x+6，其中x为正整数，1≤x≤9，
∴P是三位数，百位数字为2，十位数字为x，个位数字为6，
∵P为“对折数”，
∴x+x=2+6，
解得x=4．
∵Q=3000+100y+47，其中y为正整数，1≤y≤9，
∴Q是四位数，千位数字为3，百位数字为y，十位数字为4，个位数字为7，
∵Q为“对折数”，
∴y+4=3+7，
解得y=6．
（2）解：根据题意得，四位数的十位数字为6−b，个位数字为6−a
∵1≤a≤9，0≤b≤9，a，b为整数，
∴0≤6−a