专题5.4 相似---K字形及其变形中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT

这是一份专题5.4 相似---K字形及其变形中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT，共34页。PPT课件主要包含了∵∠EOF45º，∴∠3∠1，∴AE•BF4，∵AOBO2，证明∵ABAC，∴∠B∠C，∵∠APD∠B，∴∠APD∠C，∵ABAC，∠B∠1∠D等内容，欢迎下载使用。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种 演变和联系.现将基本模型总结如下： 模型一 A字形； 模型二 X(8)字形； 模型三 K字形(一线三等角)。
对于“A字形”及“ X字形”(或作平行线或其他辅助线去构造“AX字形”)问题，一般利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定、性质去进行比例变形、等量代换，寻找中间比，从而将问题解决.
【例1】如图,△ACB为等腰直角三角形,点O是斜边AB的中点,∠EOF=45º.⑴求证：△AOE∽△BFO；⑵若AB=4,求AE·BF的值.
⑴证明：∵△ACB为等腰直角三角形
∴△AOE∽△BFO.
∴∠A=∠B=45º,∠3＋∠2=135º.
∴∠1＋∠2=135º.
⑵解：∵△AOE∽△BFO.
∴AE:BO=AO:BF.
∴AE•BF=AO•BO.
∴△ABP∽△PCD.
【变式】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、P分别在边AC、BC上,且∠APD=∠B. 求证：AC·CD=CP·BP.
∵∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD.
∴∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD.
∴∠BAP=∠CPD.
∴AC·CD=CP·BP.
【例2】如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH. (1)求证：GF=GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
∴△DEH是等腰直角三角形.
过点H作HQ⊥AB交AB延长线于点Q.
易证△DAE≌△EQH.
∴AE=QH,DA=EQ.
∴△BQH是等腰直角三角形.
易证△DGF≌△DGC,
易证△DAE≌△DFE,
【变形一】由(1),(3)→(2)如图,E是正方形ABCD的边AB上一点,∠CBH=45º,过点E作EH⊥DE交BH于点H,求证：∠EDH=45º.
(1)∠DEH=90º；(2)∠EDH=45º；(3)∠CBH=45º.
【分析】可以采用构造三垂直思路,但是对于△DAE和△EQH,并没有已知的相等线段,此路不通.
不同的条件下方法可能会不同,利用好题目的已知条件,比如此处∠CBH=45º如何运用?
证明：在AD边上取点F使得AF=AE,连接EF.
∴∠DFE=135º=∠EBH,易证∠FDE=∠BEH,DF=EB,
∴△DFE≌△EBH,
∴△DEH是等腰直角三角形,
(1)∠DEH=90º；(2)∠EDH=45º；(3)∠CBH=45º.【变形二】由(2),(3)→(1)如图,E是正方形ABCD的边AB上一点, ∠EDH=∠CBH=45º,求证：DE⊥EH.
∴∠DEH=∠DBH=90º.
证明：∵∠EDH=45º,∠EBH=90º+45º=135º.
∴∠EDH+∠EBH=180º.
∴B、E、D、H四点共圆,连接BD.
∠D=∠ACB=∠E=90º
∠B=∠ACE=∠CDE=90º
【例3】如图,已知抛物线y=-0.5x2与直线AB交于A(-2,-4),B两点连接AO,BO,若∠AOB=90º,则点B的坐标为________.
如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB的一个顶点在原点处,∠ABO=90º,OB=AB,已知点A(2,4),则点B的坐标为______.
∠AEC=∠ACB=90º
构造一线三直角的基本步骤
一线三直角是一个常见的相似模型,指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,也有称三垂直模型、K型图或M型图.(一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角)
(1)找图中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的一线；(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在同一条直线上,这条直线可能在已知角的外部,也可能穿过这个角.
若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.本质就是找角、定线、构相似.
1.如图四边形ABCD、EFGH是正方形,NHMC是矩形,A,B,N,E,F五点在同一直线上,若正方形ABCD,EFGH的边长分别为3,4,BN=2,则NH为_____.2.如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是____.
6.如图,已知△ABC中∠ABC=90º,AB=BC,△ABC三个顶点在相互平行的三条直线上,且l1与l2之间的距离为2,l2与l3之间的距离为3,则AC的长是_____.7.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴,y轴上,且OA=8,OC=4.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为______________.
8.如图,点A(0,8),点B(4,0),连接AB,点M、N分别是OA,AB的中点,在射线MN上有一动点P.若△ABP是直角三角形,则点P的坐标是__________________.9.如图,在平面直角坐标系中,点C(0,4),射线CE∥x轴,直线y=-0.5x+b交线段OC于点B,交x轴于于点A,D是射线CE上一点,若存在点D,使得△ABD恰为等腰直角三角形,则b的值为___________.
10.如图,正方形ABCD的边长为16,在BC边上取一动点E,连接AE,作EF⊥AE，交CD边于点F.若CF=3,求CE的长.
解：∵四边形ABCD为正方形.
∴∠B=∠C=90º.
∴∠BAE=∠AEB=90º.
∴∠AEB+∠CEF=90º.
∴∠BAE=∠CEF.
∴△ABE∽△ECF.
11.如图,△ABC≌△DEF(点A,B分别与点D,E对应),AB=AC=5，BC=6,△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B,C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,求BE的长.
解：∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C.
①当AE=EM时,则△ABE≌△ECM.
∴BE=BC-CE=6-5=1.
②当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM.
∴∠MAB=∠CEA.
∴CE:AC=AC:CB
证明：∵∠BDF=∠BDE+∠EDF,∠BDE=∠C+∠CFD.
∴∠BDE+∠EDF=∠C+∠CFD.
∵∠C=∠EDF=45º.
∴∠BDE=∠CFD.
∴△BDE∽△CFD.
13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120º,将菱形沿EF折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合),若DG=2,BG=6,则BE的长为____.
易证△FGD∽△GEB
【分析】等边翻折得到一线三等角.
由题意可得：∠FDG=∠FGE=∠GBE=60º.
设FG=x,则AE=x,DF=8-x,设GE=y,则AE=y,BE=8-y.
1.如图,∠BAD=∠ACB=90º,AB=AD,AC=4BC,若CD=5,则S四边形ABCD=_____.2.如图,已知∠ACB=90º,AD=BC,CD=BE,AE与BD相交于点F,则∠AFD=____.3.如图,在四边形ABCD中,AD=3,CD=4,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45º,则BD=____ 
6.如图直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连AE、CE,则△ADE的面积是____.
7.如图,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋转,当∠ABF最大时,S△ADE=___.
【分析】动态问题先分析何时∠ABF最大.F点轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆,当BF与圆相切时,∠ABF最大,分别过点E、F作直线DA的垂线,垂足分别记为M、N,
易证△AME≌△FNA,
∴EM=AN=4×3/5=12/5.
∴S△ADE=1/2×5×12/5=6.
【分析】求三角形的面积,可以首先考虑面积公式,以BD为底,需作高 分别过C、E作BA的垂线,垂足分别记为点M、N.
故△BDE面积的最大值为8.
易证△DMC≌△END,
由tan∠ABC=1/2得：CM=4,BM=8,
设BD=x,则EN=DM=8-x.
∴S△BDE=1/2x(8-x)=-1/2x2+4x.
当x=4时,S△BDE取到最大值8.
9.如图,正方形ABCD的对角线AC上有一点E,且CE=4AE,点F在DC的延长线上,连接EF,过点E作EG⊥EF,交CB的延长线于点G,连接FG并延长,交4C的延长线于点P,若AB=5,CF=2,则线段EP的长是______.
【分析】有直角便可考虑构造三垂直.如下左图,过点E作EM⊥CD交CD于M点,过点G作GN⊥ME交ME延长线于点N,易证△FME≌△ENG,连接GA,点F作FH⊥AP交AP于H点,
易证△GAE∽△EHF,
∴△PHF∽△PAG.
∴FH:GA=PH:PA.