几何模型5.4 比例式或乘积式的证明技巧（相似模型）-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT

这是一份几何模型5.4 比例式或乘积式的证明技巧（相似模型）-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT，共38页。PPT课件主要包含了三点定型法，等长代换法，等比代换法，等积代换法，证等量先证等比，∴∠1∠2，∴∠3∠C，三点定形，证明连接PC，∴PC2＝PE·PF等内容，欢迎下载使用。
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A型、X型、K型等),也离不开下面的6种“相似模型”. “模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单. 【技巧一】三点定型法 【技巧二】等长代换法 【技巧三】等比代换法 【技巧四】等积代换法
【例1】如图,平行四边形ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F.求证：
三点：C、D、F； 三点：A、D、E。
1.在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,BE平分∠ABC交AC,AD于E,F.求证：BF•BC＝BA•BE
三点：A、B、F； 三点：B、C、E。
解：∵BE平分∠ABC,
∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BAC=∠ADC=90º,
∴∠3+∠4=∠4+∠C=90º,
∴△ABF∽△CBE,
∴BF•BC＝BA•BE,
【例2-1】如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于F,∠ECA=∠D求证：AC·BE=CE·AD.
替换比列式中的某一条线段.
横竖找不到(找不到相似三角形或找到但不相似),让出去：等长代换试一试.
【例2-2】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F.求证：FD2=FB·FC.
替换比列式中的两条线段.
2.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP2=PE·PF.
∵AB=AC,AD是中线
∴∠1+∠3=∠2+∠4
∵∠CPE是△CPE和△FPC的公共角
∴PE∶PC＝PC∶PF
【例3-1】如图,已知AB∥CD,AC、BD相交于点O. 求证：OA•PD=OC•PA
OA•PD=OC•PA
两次运用平行线中的A型或X型找中间比
【例3-2】如图,在△ABC中,已知∠BAC=90º,AD⊥BC于D,E为直角边AC的中点,过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF=AC·DF.
证明：∵∠A=90º,AD⊥BC
∴AB·AF=AC·DF.
∴∠1=∠C=90º-∠ABC
∵∠BDA=∠ADC=90º
∵AD⊥BC,E为直角边AC中点
∵∠3=∠2,∠1=∠C
∵∠F是△FBD与△FDA的公共角
DG∥BE,DG∥BE
证明：在□ABCD中.
【例4】如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证：AE·AB=AF·AC
由射影定理得：AD2=AE·AB；AD2=AF·AC.
(本题的中间积是：AD2)
遇等积,化等比,横找竖看定相似.
(本题的中间积是：BD·BC)
【例5】如图,△ABC为等腰直角三角形,点P为AB上任意一点,PF⊥BC，PE⊥AC,AF交PE于N,BE交PF于M，求证：(1)PM=PN；(2)MN∥AB.
2.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F分别在直线AD、CD上，EF∥AC,BE、BF分别交AC于M、N.求证：AM=CN.
比例线段的证明,离不开“平行线模型”(K型、A型、X型等),也离不开6种“相似模型”。
本节课我们学习了相似三角形的5大证明技巧中的哪3种？
我们学习了①三点定型法；②等长代换法；③等比代换法；④等积代换法.
“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。
证明：∵∠BAC=90º,M为BC的中点.
∴AM∶MD=ME∶AM
1.如图,△ABC中,∠BAC=90º,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E,求证：AM2=MD·ME.
∵∠BAC=90º,DM⊥BC
∴∠D=∠B=90º-∠C
三点：A、M、E； 三点：A、M、D。
2.(1)如图1,△ABC中,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD,交BC的延长线于点F, 求证：DF2=BF·CF(2)△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA,BF交AD于点P,交AC于点E, 求证：BP2=PE·PF
3.(1)如图1,△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE相交干0点, 求证：0C·BD=AB·OD(2)如图2,∠ACB=90º,FD垂直平分AB,交AC于点E, 求证：DC²=DE·DF(遇平方,找有公共边的相似三角形)
4.如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,且△ADE是等边三角形,∠BAC=120º, 求证：DE2=BD·CE.
∴△BAF∽△BEA.
∴BD·BC=BF·BE
证明：∵∠BAC=90º,AD⊥BC.
∴∠BAC=∠BDA=90º.
∵∠ABD=∠CBA.
∴△ABD∽△CBA.
∴AB2=BD·BC.
∵∠BAC=90º,AF⊥BE.
∴∠BAC=∠AFB=90º.
∵∠FBA=∠ABE.
∴AB2=BF·BE.
5.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90º,AD⊥BC于点D,E是AC上任意一点,连接BE,过点A作AF⊥BE于点F.求证：BD·BC=BF·BE.
6.如图,□ABCD中,过B作直线AC、AD于O、E,交CD的延长线于F,求证：OB2=OE·OF.
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,AD⊥BC,P为AD的中点,EF⊥BC. 求证：EF2=AE·EC.
延长BA、FE交于点G,
∵AP=PD,∴GE=EF.
8.如图,已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP,BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证：CE2=PE·DE.
由射影定理得：CE2=PE·DE
(本题的中间积是：AE·BE)
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,点D在边BC上，CE⊥AB,CF⊥AD,E,F分别是垂足,连接EF.求证：AE·BD=AD·EF.
(本题的中间积是：AC2)
10.如图,在△ABC中(AB＞AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BP·CE=CP·BD
过点B作BF∥AC交PD的延长线于点F.则BF=BD
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90º,D为AC中点,AE⊥BD,E为垂足.求证：∠CBD=∠ECD.
由射影定理得：DA2=DE·DB又∵D为AC中点，∴DA=DC∴DC2=DE·DB∴△DCE∽△DBC∴∠CBD=∠ECD
12.如图,正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M，CE与AF交于点P.求证：(1)EM=DN；(2)MN∥AC.
13.如图,梯形ABCD的底边AB上任取一点M,过M作MK∥BD,MN∥AC,分别交AD、BC于K、N,连接KN,分别交对角线AC、BD于P、Q.求证：KP=QN
14.(※)设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP∥CF,Q在CE上，DQ∥BE,PQ交BE于R,交CF于S.求证：
15.如图,已知AB=AC,BD∥AC,AB∥CE,过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：(1)AM=CN；(2)MN∥DE.
(1)延长DB、EC交于点F,得菱形ABFC.