试卷 中考必会几何模型：相似模型

这是一份试卷 中考必会几何模型：相似模型，共21页。

相似模型
模型1：A、8模型
已知∠1＝∠2
结论：△ADE∽△ABC


模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．

模型实例
【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：．

解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴．，DE//BC
∴△EOD∽△COB（8模型）∴．同理：，．
∴．

证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴．
∵AD＝CD，∴．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）
∴．同理，．∴．


【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，求的值．

解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．
设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BFA
∴，∴HD＝1．5a，，∴FH＝BH
∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴，∴
∴BG＝HB，∴

跟踪练习：
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．

解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴
∵DE//AC，∴，∴，∴的比是1：4.

2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD
∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；
（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.

3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．

证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=BC，∴G为AF中点
∴，，∴BF=FC，即点F是BC的中点

4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：．

方法一：过点C?CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴
∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴

方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，，
过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则，
，又∵1=2，∴DE=DF，∴

5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．

证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF
∵AE：EB=2：1，∴BF=AC=BC=CD，又AC=CB，∠ACD=∠CBF=90°
∴△ACD≌△CBF，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°
∴∠4=90°，∴CE⊥AD

模型2 共边共角型
已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABC

模型分析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC进而可以得到：AC2=ADAB
模型实例
例1 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ．

解答：
∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD ∽△BCA．∵AB=4，AD=2，
∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5
例2
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．
（1）图中有多少对相似三角形？
（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD
（3）求证：ABAC=BCAD

解答
（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA；△ACD ∽△BCA；△ABD ∽△CAD
（2）∵△ABD ∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD ∽△BCA
∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD ∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD
（3），∴ABAC=BCAD

跟踪练习：
1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有 ．
①∠B=∠DAC
②∠BAC=∠ADC
③AC2=DCBC
④AD2=BDBC

【答案】①②③

2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：
（1）AB2=BMBC；
（2）AC2=CNCB；
（3）MN2=BMNC．

【答案】证明：∵∠BAC=120o，∴∠B+∠C=60o.∵△AMN是等边三角形，
∴∠B+∠1=∠AMN=60o，∠C+∠2=∠ANM=60o.∴∠1=∠C，∠2=∠B.
(1)∵∠1=∠C，∠B=∠B，∴△BAM ∽△BCA.∴.∴AB2=BMBC
（2）∵∠2=∠B，∠C=∠C，∴△CAN ∽△CBA.∴.∴AC2=CNCB
（3）∵∠1=∠C，∠2=∠B，∴△BAM ∽△ACN.∴.
∴BMCN=ANAM∵AN=AM=MN，∴AB2=BMBC

3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CD⊥AB于D，AC=，AD:DB=4:1．求CD的长．

【答案】连接BC，设AD=4x，则DB=x.∴AB=5x.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90o
又∵CD⊥AB.∴△ACD∽△ABC.∴AC2=ADAB，即，解得：x=（舍负）.
∴AD=.∴CD=
4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．

【答案】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90o.∴BC2=BOBD.
∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE.∴BOBD=BFBE.即，
又∵∠OBF=∠EBD，∴△BOF ∽△BED.
（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，BE==，
在Rt△OBC中，OB=，∵△BOF∽△BED，
∴，即，∴.

模型3 一线三等角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D
结论：△ABC∽△CDE

模型分析
如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．
∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．
模型实例
例1 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=．则△ABC的边长为 ．

解答
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60o．∵∠APC=∠B＋∠BAP，
即∠APD＋∠DPC=∠B＋∠BAP，又∵∠APD=∠B=60o，∴∠DPC=∠BAP．
又∵∠B=∠C，∴△PCD∽△ABP．∴．
设AB=x，则PC=x－1，，解得x=3．
例2 如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个．

解答
设AP＝，则有PB＝AB－AP＝7－，当△PDA∽△CPB时，，即，
解得：或，当△PDA∽△PCB时，，即，
解得：，则这样的的点P共有3个．

练习：
1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设，，求关于的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

1.解答：



（3）当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE.

当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA.

即△ADE为等腰直角三角形.

当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去.


2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，且．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD等于8或；
④
其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上）
2.解答：

故①正确.

故②正确.
（3）当∠AED=900时，由可知：△ADE∽△ACD.
∴ ∠ADC=∠AED.
∵ ∠AED=900，
∴ ∠ADC=900.
即 AD⊥BC.
∵ AB=AC，
∴ BD=CD.

当∠CDE=900时，易得△CDE∽△BAD.

故③正确.
（4）易证△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，

故④正确，故答案为：①②③④.

3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折叠与边BC交于O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．

3.解答


模型4 倒数型
条件：AF∥DE∥BC
结论：




模型分析
∵AF∥DE∥BC，
∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC
∴，．
∴
即
∴（两边同时除以DE）
仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．

模型实例
如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．
求证：．


证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G
则（模型结论）．


跟踪练习
1． 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上.求证：

答案：1、证明：
方法一：如图①
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ EF⊥AB
∵ CD⊥AB，
∴ EF∥CD，
∴ △AEF∽△ACD.
∴ ①
∵ EH∥AB，
∴ △CEH∽△CAB
∴
∵ EH=EF，
∴ ②
①+②得，
∴
方法二：如图②，构造模型4
过点C作AB的平行线交AH的延长线于点K，
依题意有，CK∥EH∥AB，
∴
∵
∴ CK=CD.
∴

2．正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB于G，连接BF．求证：
(1) AF+BF=EF；
(2)


答案：（1）如图①，在EF上截取FH=AF.
∵ ∠EAB=600，∠BAD=900，AE=AD，
∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600.
∴ △AFH为等边三角形.
∴ ∠EAH=∠BAF.
∴ △EAH≌△BAF.
∴ EH=BF.
∴ AF+BF=FH+EH=EF.
（2），如图②，过点G作GK∥BF交AC于点K.
由①可得∠BFC=600，
∴ AH∥GK∥BF.
∴ 由模型4，得
∵ AH=AF，GK=GF，
∴


模型5 与圆有关的简单相似

模型分析
图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB.
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD∽△AEC.
图③中，已知AB切⊙O于点A，如下图，
过A作直径AE，连接DE，则有∠EAD+∠E=900.
又∠BAD+∠EAD=900，∠BAD=∠E=∠C.
从而△BAD∽△BCA.


模型实例
如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．
求证：PA﹒PB=PD﹒PC.
答案：证明：作直线OP交⊙O于C、D两点，连接BC、AD.
∵ ∠B=∠D，∠C=∠A，
∴ △PBC∽△PDA.
∴
∴ PA﹒PB=PD﹒PC=（r+d）（r-d）= r2-d2

证明：
连接AD、BC．
∵四边形ADCB内接于⊙O，
∴∠1＝∠2．
又∵∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PCB．
∴．
∴．

练习1．如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为，．
求证：．

答案
证明：作直线OP交⊙O于C、D两点，连接BC、AD．
∵∠A＝∠D，∠C＝∠A，
∴△PBC∽△PDA．
∴．
∴
2．如图，已知AB为⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点M为BE上一点，且满足，连接CM，求证：CM是⊙O的切线．



答案
解：
（1）连接OC、OD．
∵C、D是半圆的三等分点，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°．
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∴△AOC、△DOB为等边三角形．
∴∠EAB＝∠EBA＝60°．
∴∠E＝60°．
（2）连接BC，
∵，
∴．
∵∠E＝∠E，
∴△CEM∽△BEC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ECB＝90°，
∴∠EMC＝∠ECB＝90°．
∵C、D是半圆三等分点，
∴∠AOC＝∠DOB＝60°，
∴OC∥BE．
∴∠OCM＝∠EMC＝90°．
∴OC⊥CM．
∴CM为⊙O的切线．


模型6 相似和旋转
如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．
结论：△ABD∽△ACE．


模型分析
∵DE∥BC，
∴，
如图②，∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE
∴△ABD∽△ACE．
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．

模型实例
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点P在△ABC内，且，PB＝5，PC＝2．
求．





解答：
如图，作△ABQ，使得∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
则△ABQ∽△ACP．
∴，即．
又∠QAP＝∠BAC＝60°，
∴△AQP∽△ACB
∴∠APQ=∠ACB＝90°．
∴AQ＝2AP＝，PQ＝AP＝3．
∴△APQ与△APC的相似比为．
∴．
∴．
∴∠BQP＝90°．
过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M．
∴AM＝PQ，MQ＝AP．
∴
故．

练习
1．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CA E＋∠ CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．

解：
（1）∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形．
∴
∴∠ACB＝∠ECF＝45°．
∴∠ACE＝∠BCF．
∴△CAE∽△CBF．
∴∠ACB＝∠ECF＝45°．
∴∠ACE＝∠BCF．
∴△CAE∽△CBF．
（2）∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，
又∵，AE＝2．
∴，∴BF＝
又∵∠CAE＋∠CBE＝90°．
∴∠CBF＋∠CBE＝90°．
∴∠EBF＝90°．
∴．
∴．
∵，
∴．
2．已知，在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图①．若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP．
①依题意补全图1；
②直接写出PB的长；
（2）如图②，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC 的度数；
（3）如图③，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，∠APC＝120°，请直接写出PC的长．














解：
（1）如图，由旋转有，AD＝AP，BD＝PC，∠DAB＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠BAC＝60°．
∴△ADP为等边三角形．∴DP＝PA＝3，∠ADP＝60°．
∴∠ADB＝∠APC＝150°，
∴∠BDP＝90°，在Rt△BDP中，BD＝4，DP＝3．
根据勾股定理得：PB＝5．
（2）把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，
∴△APC≌△ADB．
∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠PAC＝∠DAB，∠APC＝∠2．
∴∠DAP＝∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAP＝60°，
∴△DAP是等边三角形．
∴PD＝3，∠1＝60°，
∴．
∴∠PDB＝90°．
∴∠2＝30°．
∴∠APC＝30°．
（3）作△ABQ，使得∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，
∴∠AQB＝∠APC＝120°．
∵AB＝2AC，
∴△ABQ与△ACP的相似比为2．
∴AQ＝2AP＝2，BQ＝2CP，
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°．
取AQ中点D，连接PD，
∵AQ＝2AP，∴AD＝AP．
∴△APD是等边三角形．∴DP＝DQ．
∴∠DPQ＝∠DQP＝30°．∴∠APQ＝90°．
∴PQ＝3．∴∠BQP＝∠AQB－∠AQP＝120°－30°＝90°．
根据勾股定理得，．∴．