几何模型5.1 “A、X”字模型（相似模型）-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT

这是一份几何模型5.1 “A、X”字模型（相似模型）-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT，共32页。PPT课件主要包含了预备知识，“A”字型及其变形，构造“A或X”字型，DE∥BC，△ADE∽△ABC，△ADE∽△ACB，△ADC∽△ACB，也可看作斜射影，AC2AD·AB，△ABF∽△CDF等内容，欢迎下载使用。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种 演变和联系.现将基本模型总结如下：模型一 A字型； 模型二 K(8)字型； 模型三 一线三等角型(K型).
1.三角形中的十字架；2.三角形中的面积比；3.全等的各类模型；4.面积2倍模型.
“X”(8)字型及其变形
∠AED=∠B(错位)
∠ACD=∠B(错位)
(逆定理也成立：用来证明平行)
CD⊥AB,AC⊥BC
△BCD∽△BAC,BC2=BD·BA.
△CAD∽△BCD,CD2=AD·BD；
△CDA∽△BCA,AC2=AD·AB；
∠A=∠C(或∠ABF=∠CDF)
△DAB∽△DBF∽△EBC
∠ABD=∠AFE=∠C=60º
【例1-1】如图,点D,F在△ABC边AC上,点E在边BC上,且DE∥AB,CD2=CF·CA. (1)求证：EF∥BD. (2)如果AC·CF=BC·CE,求证：BD2=DE·BA
∴BD2＝BA·DE.
证明:(1)∵DE∥AB,
∴CD:AC=CE:CB．
∵CD2=CF·CA，
∴CD:AC=CF:CD.
∴CF:CD=CE:CB．
∴∠CEF=∠CBD.
∵AC·CF=BC·CE，
∴AC:BC=CE:CF
∴△CEF∽△CAB.
∴∠EDB=∠DBA.∠DBE=∠A，
∴△BAD∽△DBE.
∴BA:BD＝BD:DE.
【例1-2】如图,在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且AD:AC=DF:CG, (1)求证：△ADF∽△ACG. (2)若AD:AC=3:7,求AF:FG的值.
(1)证明：∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∵AD:AC=DF:CG
∴△ADF∽△ACG.
(2)解：∵△ADF∽△ACG，
∴AD:AC=AF:AG
∵AD:AC=3:7.
∴AF:AG=3:7.
∴AF:FG=3:4.
1.如图,在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过点D作DE∥BC交AC于E,若AD:DB=3:2,则EC:BC=______.2.如图,已知菱形ABCD内接于△AEF,AE=5cm,AF=4cm,则菱形的边长为_____.
3.在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=_____时,以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.4.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为______时,△ADP和△ABC相似.
逆定理也成立：用来证明平行
四对共边等角,(相交弦定理)
歪A下面有歪8；歪8补全生歪A
【例2-1】如图,已知E是□ABCD中AD边上一点,且AE:DE=3:2,CE交BD于点F,BF=15cm,求DF的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴BC∥AD,BC=AD
∴DF:BF=DE:BC
【例2-2】如图,已知在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在BE的延长线上,且BA·BC=BD·BE. (1)求证：△ABD∽△EBC. (2)求证：AD2=BD·DE
即：AD2＝BD·DE.
证明：(1)∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBC.
∵BA·BC=BD·BE，
∴AB:BE=BD:BC.
∴△ABD∽△EBC.
(2)∵△ABD∽△EBC，
∴∠BAD＝∠BEC.
∵∠EAD＝∠BEC，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△AED∽△BAD.
∴AD:BD=DE:AD
【例2-3】如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且BD=2AD,CE=2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC. (2)若DF=2,求FC的长度.
(1)证明：∵BD=2AD,CE=2AE，
∴AD:AB=AE:AC=1:3.
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC.
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴DE:BC=AD:AB=1:3,∠ADE＝∠ABC.
∴△DEF∽△CBF.
∴DF:CF=DE:CB 即2：CF=1:3
【例3-2】如图,AD与BC相交于点O,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F,BO=1,CO=3,AO=1.5,DO=4.5. (1)求证：∠A=∠D. (2)若AE=BE,求证：CF=DF.
证明：(1)∵BO=1,CO=3,AO=1.5,DO=4.5,
∴OB:OC=OA:OD.
∵∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△ODC.
∴AE:DF=OE:OF,BE:CF=OE:OF.
∴AE:DF=BE:CF.
条件：如图,EF//BC,
5.如图,AM:MD=4:1,BD:DC=2:3,则AE:EC=_____.6.如图,在△ABC中,D在AC边上,AD:DC=1:2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,则BE:EC=_____.
7.如图：已知等边△ABC,D为AC边上的一动点,CD=nDA,连线段BD,M为线段BD上一点,∠AMD=60º,AM交BC于E.(1)若n=1,则BE:CE=____.BM:DM=____；(2)若n=2,求证：BM=6DM；
11.已知△ABC中,∠AEF=∠ACB,求证：(1)AE·AB=AF·AC； (2)∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD； (3)∠DEF=∠DBC,∠DFE=∠DCB.
12.如图,△ABC的高AD、BE交于点F.求证：
证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，
∴∠FEA=∠FDB=90º,∠AFE=∠BFD.
∴△FEA∽△FDB，
∴△ADC∽△BEC；
13.如图,在△ABC中,∠ABC＝90º,∠C＝30º,D为BC上一点,DE⊥AC于点E. (1)求证：△ADC∽△BEC；(2)若点D为BC的中点,AB=4,求BE的长.
(1)证明：∵在四边形ABDE中,∠ABD+∠AED=180º.
∴∠BAE+∠BDE=180º.
∴点A、B、D、E四点共圆.
∴∠DAE=∠DBE.
(2)解：∵AB=4,∠C=30º,∠ABC=90º.
在Rt△CDE中，∠C=30º,CD=2.
∵△ADC∽△BEC.