人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题05二次根式中的规律和探究题型-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题05二次根式中的规律和探究题型-原卷版+解析，共31页。

【考法导图】
◎类型1 运用一般性质进行化简的规律
1．（2023春·全国·八年级期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，……
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)请写出第4个等式：___________；
(2)请写出第个等式（是正整数，用含的式子表示），并证明
2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）发现
①计算：___________，___________；
②计算：___________，___________；
总结 通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算的值．
3．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
4．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式：
；；
，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想：＝ ＝ ；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
(3)应用：计算．
◎类型2 复合二次根式的化简
5．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中、、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________；
(2)若，且、均为正整数，试化简：；
(3)化简：．
8．（2023春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
◎类型3 分母有理数化的综合类型
9．（2023春·八年级单元测试），，，……
从计算结果中找出规律，并用这一规律计算：
10．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）观察下列等式，回答有关问题．
第1个等式：；
第2个等式：；第3个等式；…
(1)第4个等式为______；
(2)第n个等式为______；
(3)化简．
11．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；①
；②
；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；
；④
(1)请参照方法④化简：；
(2)化简：；
(3)化简：.（为正整数）
12．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
①；
②．
(1)直接写出结果 ；
(2)化简：；
(3)比较大小：与．
◎类型4 二次根式的应用求最值
13．（2023春·安徽·八年级期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号．
∴的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当______时，有最小值为______．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
14．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解 ∵，∴又∵，∴，即时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当 时，有最小值 ．
(2)当时，求的最小值．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2），
(1)原小正方形的边长为 cm；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2:1，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
(3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
16．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）阅读下面材料：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当时：
∵ ∴
∴，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)请直接写出答案：当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)若，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值．
17．（2023·全国·九年级专题练习）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题
(1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
培优专题05 二次根式中的规律和探究题型
【考法导图】
◎类型1 运用一般性质进行化简的规律
1．（2023春·全国·八年级期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，……
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)请写出第4个等式：___________；
(2)请写出第个等式（是正整数，用含的式子表示），并证明
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意写出第4个等式即可；
（2）根据前面几个等式猜想规律，再利用二次根式的运算法则进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意得到第4个等式为：，
故答案为：
（2）由题意：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，
……
∴第个等式为：，
证明如下：，
故结论成立．
【点睛】此题考查了二次根式规律题，熟练掌握二次根式的运算法则和找到规律是解题的关键．
2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）发现
①计算：___________，___________；
②计算：___________，___________；
总结 通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算的值．
【答案】①，；②，；总结：一个数的算术平方根的平方等于这个数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；应用：8．
【分析】①②根据二次根式的性质计算即可；
总结：根据二次根式的性质得出规律；
应用：根据数轴可知，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：①，，
故答案为：，；
②，，
故答案为：，；
总结：一个数的算术平方根的平方等于这个数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；
应用：由数轴得：，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，熟练掌握，是解题的关键．
3．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)；
(2)
(3)．
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
4．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式：
；；
，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想：＝ ＝ ；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
(3)应用：计算．
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【分析】（1）根据所给例子解答即可；
（2）根据所给例子用含n（n为正整数）的代数式表示即可；
（3）先将改写成，然后根据规律解答即可．
【详解】（1）猜想：；
故答案为：，；
（2）由所给例子可得，．
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝1．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的性质与化简，观察出规律是解答本题的关键．
◎类型2 复合二次根式的化简
5．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a的值为或
【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中、、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________；
(2)若，且、均为正整数，试化简：；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将变为即可求解；
（3）将化为进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴；
（3）
．
【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．
8．（2023春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【详解】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
◎类型3 分母有理数化的综合类型
9．（2023春·八年级单元测试），，，……
从计算结果中找出规律，并用这一规律计算：
【答案】2006
【分析】根据题意发现规律：（为自然数），进而求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算等知识，发现规律：（为自然数）是解题的关键．
10．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）观察下列等式，回答有关问题．
第1个等式：；
第2个等式：；第3个等式；…
(1)第4个等式为______；
(2)第n个等式为______；
(3)化简．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由前3个等式的特征归纳可得第4个等式，从而可得答案；
（2）由总结归纳的规律，利用含的代数式表示即可；
（3）利用规律先把原式化为：，再利用分配律计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式；
∴第4个等式为：；
（2）归纳可得：第n个等式为：；
（3）原式
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究，分母有理化，掌握“分母有理化的方法”是解本题的关键．
11．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；①
；②
；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；
；④
(1)请参照方法④化简：；
(2)化简：；
(3)化简：.（为正整数）
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）分子、分母都乘以，进行化简即可；
（1）先化为最简二次根二次根式，再相加即可；
（3）先将各式分母有理化，再进一步计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
（3）原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、分母有理化是解决问题的关键．
12．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
①；
②．
(1)直接写出结果 ；
(2)化简：；
(3)比较大小：与．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值；
（2）根据（1）中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可；
（3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
；
（3）
∵
【点睛】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用．
◎类型4 二次根式的应用求最值
13．（2023春·安徽·八年级期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号．
∴的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当______时，有最小值为______．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)3，6
(2)
(3)60米
【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；
（2）先化简，再运用公式计算即可；
（3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号．
∴的最小值为6．
故答案为：3，6．
（2），
∵，
∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为；
（3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
∵∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解 ∵，∴又∵，∴，即时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当 时，有最小值 ．
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)1，2
(2)
【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
，即时，的最小值为2．
故答案为：1，2；
（2），
，
，
又，
，即，
的最小值为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2），
(1)原小正方形的边长为 cm；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2:1，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
(3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)能，图见解析，
【分析】（1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题；
（2）设剪出来的长方形长为cm，宽为xcm，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论；
（3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可．
【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半，
小正方形的面积为（cm2），
设小正方形的边长为a，
则，
∴（舍去负值），
∴小正方形的边长为cm，
（2）解：不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设剪出来的长方形长为cm，宽为xcm，
依题意得，
∴或（舍去），
∴长为，
∴不能剪出符合要求的长方形纸片；
（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，
画出示意图如图：
【点睛】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、二次根式的实际应用等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
16．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）阅读下面材料：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当时：
∵ ∴
∴，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)请直接写出答案：当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)若，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)2；
(2)4
(3)25
【分析】（1）根据公式计算即可；
（2）先配方，化简，再运用公式计算即可；
（3）设的面积为，与，与为等高的三角形，且与，与为同底的三角形，得到，求出，利用公式求面积的最小值即可．
(1)
当时，，
，
的最小值是2；
当时，，，
，
，
，
的最大值为；
故答案为：2；；
(2)
∵，∴．
∴ ，即．
∴的最小值为4；
(3)
设的面积为，
∵与，与为等高的三角形，且与，与为同底的三角形，
∴，
∴，
∴ ，
四边形的面积，当且仅当时，即时，取等号．
∴四边形面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了乘法公式与二次根式，分式化简和等高三角形的性质，根据题意运用公式求最值是解题的关键．
17．（2023·全国·九年级专题练习）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题
(1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，2，2，8
(2)每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为米
【分析】（1）根据（均为正实数），分别对和进行化简，求最小值即可；
（2）设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，根据题意得出，然后根据题干提供的方法求的最大值即可．
【详解】（1）解：∵，
又∵
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为；
∵，
又∵，
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为8．
故答案为：1，2，2，8．
（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，
依题意得：，
即，
∴，
即，
∴，
即，
当时， ，
此时，，
即每间隔离房长为 米，宽为米时，S的最大值为米 ．
【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的运用，解题的关键是能灵活运用题中的结论，求出最小值．