人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题21一次函数的规律问题-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题21一次函数的规律问题-原卷版+解析，共18页。

◎考法类型1 一次函数中与坐标有关的规律
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出点的变化规律
1．（2023春·全国·八年级专题练习）正方形，…，按如图的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上，则点的坐标是( )
A．B．C．D．
2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，……，在直线l上，点，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·八年级课时练习）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
◎考法类型2 一次函数中与面积有关的规律
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出面积的变化规律
5．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川达州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·山东日照·统考一模）如图，∠POQ=45°，点A1，A2，A3，A4，…A依次在射线OQ上，点B1，B2，B3，…B依次在射线OP上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…△A+1都是以A1，A2，A3，A4，…A为直角顶点的等腰直角三角形，已知OA1=1，则△A2022B2022A2023的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021春·湖北武汉·八年级统考期末）已知直线与直线，（为正整数），记直线和与轴围成的三角形面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
◎考法类型3 一次函数中与长度有关的规律
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出线段的变化规律
9．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
10．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（ ）
A．B．C．D．
11．（2018秋·浙江·九年级统考阶段练习）如图，直线，点A1（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线于点B1，以原点O圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，OA2017的长为（ ）
A．B．C．D．
专题21 一次函数的规律问题
【考法导图】
◎考法类型1 一次函数中与坐标有关的规律
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出点的变化规律
1．（2023春·全国·八年级专题练习）正方形，…，按如图的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上，则点的坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，进而根据题意分别求得,,的坐标，进而得出规律，求得点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，
∵直线，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵……是正方形，
∴的纵坐标是，的横坐标是，
∴，
∴，
∴，即的纵坐标是，的横坐标是，
同理得：，即的纵坐标是，的横坐标是，……，
∴的纵坐标是的横坐标是，
∴点的坐标是，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数规律题，正方形的性质，坐标与图形，找到规律是解题的关键．
2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，……，在直线l上，点，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
点的坐标为．
同理，，，，，
，，，，，
（n为正整数），
点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…
如图，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
设，，，…， ，
则有 ，
，
…
又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，，，的坐标，探究规律后即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，同理可得，…
所以，
所以的坐标为；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，解题关键在于根据题意找到规律．
◎考法类型2 一次函数中与面积有关的规律
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出面积的变化规律
5．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当时，，
根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第个等腰直角三角形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．
6．（2023·四川达州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解．
【详解】∵、…都是等边三角形，
∴,
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
7．（2022·山东日照·统考一模）如图，∠POQ=45°，点A1，A2，A3，A4，…A依次在射线OQ上，点B1，B2，B3，…B依次在射线OP上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…△A+1都是以A1，A2，A3，A4，…A为直角顶点的等腰直角三角形，已知OA1=1，则△A2022B2022A2023的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据OA1=1，可得点A的坐标为（1，0)，然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2022的坐标，结合等腰直角三角形的面积公式解答．
【详解】解：∵OA1=1，
∴点A1的坐标为(1，0)，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，
∴B1(1，1)，
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3=2，
∴B2(2，2)，
同理可得，B3(22，22)，B4(23，23)，，B(2n-1，2 n-1)，
∴点B2022的坐标是(22021，22021) ，
∴△B2022A2022A2023的面积=×22021×22021=24041．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
8．（2021春·湖北武汉·八年级统考期末）已知直线与直线，（为正整数），记直线和与轴围成的三角形面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论取何值，直线与的交点均为定点；先求出与轴的交点和与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后得到．
【详解】解：直线，
直线经过点；
直线，
直线经过点．
无论取何值，直线与的交点均为定点．
直线与轴的交点为，，
直线与轴的交点为，，
，
；
，
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与轴的交点的纵坐标为0，与轴的交点的横坐标为0．
◎考法类型3 一次函数中与长度有关的规律
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出线段的变化规律
9．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【答案】D
【分析】将代入解析式，可得，，由直线直线：可知，，则纵坐标为1，代入直线：中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、…、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：将代入解析式，可得，，
由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，，，，
，，，，
，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律．
10．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可．
【详解】解：∵，
∴将代入得：，
∴，
∴
∴将代入得：，
∴，
∴,
∴将代入得：，
，
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键．
11．（2018秋·浙江·九年级统考阶段练习）如图，直线，点A1（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线于点B1，以原点O圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，OA2017的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用过点A1作y轴的垂线交直线于点B1，可得点A1的纵坐标和点B1的纵坐标相等，再利用B1所在的直线求出B1的横坐标，根据勾股定理即可求出OB1，再根据以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2即可求出OA2，即A2的纵坐标，同理找到OAn的规律即可.
【详解】解：∵过点A1作y轴的垂线交直线于点B1，点A1（0，1）
∴B1的纵坐标=点A1的纵坐标=1
将B1的纵坐标代入直线中
解得：B1的坐标为：（2，1）
∴A1 B1=2，OA1=1
根据勾股定理：OB1=
以原点O圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2
∴OA2= OB1==
同理可求OA3=5=
OA4=
∴OAn=
∴OA2017=
故选A.
【点睛】此题考查的是利用一次函数解析式求点的坐标、勾股定理和探索规律，掌握根据一次函数求点的坐标并用勾股定理求出线段的长度从而探索线段的变化规律是解决此题的关键.