人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题16(特殊)平行四边形的动点和最值等问题-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题16(特殊)平行四边形的动点和最值等问题-原卷版+解析，共26页。

方法总结：
1.和全等三角形的动点一样，掌握住动点问题的做法，把动点走过的线段长用时间表示出来，剩下的线段长也用时间表示出来，再假设题目所成的四边形成立，利用各个四边形的性质求时间即可。平行四边形一般利用对边相等；矩形一般利用对角线相等；菱形一般利用邻边相等。
2.在求最值问题时，一般利用的知识点包括将军饮马、垂线段最短等，注意特殊图形的存在，比如等边三角形、直角三角形，熟练掌握这些图形的性质是关键，把所求的最短线段转化即可。
◎类型一 （特殊）平行四边形的动点问题
1．（2023春·山西吕梁·八年级校考期中）如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当 时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当 时，四边形是矩形，请说明理由．
2．（2023春·八年级单元测试）如图在四边形中，，，M是的中点P是边上的一动点P与B，C不重合），连接并延长交的延长线于Q．
(1)试说明不管点P在何位置，四边形始终是平行四边形；
(2)当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)当恰好垂直平分时，求的值．
4．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
(1)若为中点，求证：．
(2)若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
(3)在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
◎类型二 （特殊）平行四边形的线段最值问题
5．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点D、E分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．2
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
7．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为( )
A．1B．C．D．
8．（2023春·八年级课时练习）如图，已知在矩形中，，M为对角线上的一动点，于点E，于点接F，连接．若，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
9．（2021秋·河南新乡·九年级校考期中）如图，四边形中，，点分别为线段上的动点(含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为( )
A．B．5C．D．4
10．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，，，分别是，的中点，连接，点在由到运动过程中，线段的长度（ ）
A．保持不变B．逐渐变小
C．先变大，再变小D．逐渐变大
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
12．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，菱形的边长为，，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023春·湖南长沙·八年级期中）如图，在菱形中，，，E是的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．5
14．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（ ）
A．2B．C．1D．0.5
15．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·山东淄博·校考一模）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是( )
A．2B．4C．D．
培优专题16（特殊）平行四边形的动点、最值问题
【考法导图】
方法总结：
1.和全等三角形的动点一样，掌握住动点问题的做法，把动点走过的线段长用时间表示出来，剩下的线段长也用时间表示出来，再假设题目所成的四边形成立，利用各个四边形的性质求时间即可。平行四边形一般利用对边相等；矩形一般利用对角线相等；菱形一般利用邻边相等。
2.在求最值问题时，一般利用的知识点包括将军饮马、垂线段最短等，注意特殊图形的存在，比如等边三角形、直角三角形，熟练掌握这些图形的性质是关键，把所求的最短线段转化即可。
◎类型一 （特殊）平行四边形的动点问题
1．（2023春·山西吕梁·八年级校考期中）如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当 时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当 时，四边形是矩形，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：4；
②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下：
如图，过A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）如图在四边形中，，，M是的中点P是边上的一动点P与B，C不重合），连接并延长交的延长线于Q．
(1)试说明不管点P在何位置，四边形始终是平行四边形；
(2)当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)当时，四边形是平行四边形，理由见解析．
【分析】（1）由可证，可得，即可得结论；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
【详解】（1）∵，
∴
∵M是的中点，
∴，
∵
∴．
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形始终是平行四边形；
（2）当四边形是平行四边形时，，
∵，
∴，
∴．
∴当时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)当恰好垂直平分时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，分别求解即可．
（3）利用线段垂直平分线的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴
（2）①当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴
②当四边形是等腰梯形时，，
此时，
∵，
∴，
∴，
∴
综上，或
（3）∵，
∴．
当垂直平分时，则，
∴，
解得
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．
4．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
(1)若为中点，求证：．
(2)若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
(3)在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
【答案】(1)见解析
(2)F的长度不变，
(3)或
【分析】（1）证明即可解决问题．
（2）结论：的长度不变．．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题．
（3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，作于．当点在的延长线上时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
．
（2）解：结论：的长度不变．．
理由：如图中，取的中点，连接，．
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴
∴．
（3）解：如图中，当点在线段上时，作于．
在中，，，
，
，
当点在DA的延长线上时，同法可得
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
◎类型二 （特殊）平行四边形的线段最值问题
5．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点D、E分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出，再根据点D、E分别为，的中点，得出为的中位线，则，最后用等面积法，求出当时的的长度，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点D、E分别为，的中点，
∴，
∴当最小时，取最小值，
当时，取最小值，如图：
∴，
即，解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】连接，由翻折可得，，，则，要求的值最小，即求的最小值，以此得出当点G与点B重合时，最小，设，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：连接，
以翻折后，点与点重合，
，，，
四边形为矩形，，
，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，最小，这是解答本题的突破口．
7．（2022春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为( )
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据中位线的性质得出,当时，最小，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
、分别为、的中点，
，
的最小值，就是的最小值，
当时，最小，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了中位线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握中位线的性质是解题的关键．
8．（2023春·八年级课时练习）如图，已知在矩形中，，M为对角线上的一动点，于点E，于点接F，连接．若，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接．设，则，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出，即得出，．又易证四边形为矩形，得出，即当最小时，最小．再根据垂线段最短可知：当时，最小，即此时为边上的高，最后由等积法求出即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴设，则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，即，
解得：（舍去负值），
∴，．
∵于点E，于点接F，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知：当时，最小，即此时为边上的高，
∵，
∴，即，
解得：．
∴最小值为．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键．
9．（2021秋·河南新乡·九年级校考期中）如图，四边形中，，点分别为线段上的动点(含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为( )
A．B．5C．D．4
【答案】A
【分析】连接，，根据三角形中位线的性质可得，当与点重合时，取得最大值，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴
∴当取得最大值时，最大，
即当与点重合时，取得最大值，
∵，
∴，
∴．
故选A
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，求得的最大值是解题的关键．
10．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，，，分别是，的中点，连接，点在由到运动过程中，线段的长度（ ）
A．保持不变B．逐渐变小
C．先变大，再变小D．逐渐变大
【答案】A
【分析】连接，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：连接，
点是边上的定点，
的大小不变，
，分别是，的中点，
，
线段的长度保持不变，
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时
∴EF长度的最大值为：，
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，菱形的边长为，，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，由图象可知当为两平行线和间的垂线段时，即菱形的边上的高时，为最小值，再求出菱形的边上的高，即为的最小值．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，
∴，
∵点为边上的动点，即点也为边上的动点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，
∵点、、均为动点，
∴由图象可知当为两平行线和间的垂线段时，即菱形的边上的高时，为最小值，
如图，过点作，垂足为，
∵在菱形中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，学会利用轴对称解决最短距离问题是解答本题的关键．
13．（2023春·湖南长沙·八年级期中）如图，在菱形中，，，E是的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．5
【答案】A
【分析】连接，，则的长即为的最小值，再根据菱形中，得出的度数，进而判断出是等边三角形，故是直角三角形，根据勾股定理即可得出的长．
【详解】解：连接，，
四边形是菱形，
∴，
、关于直线对称，
的长即为的最小值，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．
14．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（ ）
A．2B．C．1D．0.5
【答案】D
【分析】找出点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，进而可求出的值即可求出的最小值．
【详解】解：连接交于P，连接，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则，
∴，，
即就是的最小值，
∵，
∴是等边三角形，
∵E是边的中点
∴，
∴（等腰三角形三线合一的性质）
在中，，
∴，
∴．
∴
当时最小
∵
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键，此题是道比较不错的习题．
15．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，作的垂直平分线与交于，再由是线段的中点得到当运动时长的最小，用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∴，即，
∴，
连接，如图所示：
∵是线段的中点，，
∴，
∴在的垂直平分线上运动，
根据点与直线上动点距离的最小值为垂线段，如图所示，作的垂直平分线与交于，当运动时长的最小，连接，此时，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置．
16．（2023·山东淄博·校考一模）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是( )
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】当点与点重合时，点在处，，当点与点重合时，点在处，，当点在上除点、的位置处时，有，由中位线定理可知：且，则当时，取得最小值，得出的最小值为的长，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：
当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且，
当点在上除点、的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值，
矩形中，，，为的中点，
、、为等腰直角三角形，，
，则，
，
，
，即，
的最小值为的长，
在等腰直角中，，
，
的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出时，取得最小值是解题的关键．