人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题09风吹树折模型-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题09风吹树折模型-原卷版+解析，共14页。
“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”（1丈=10尺）

【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.
【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.
【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.
由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55.
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺
方法技巧：
此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案.
1．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺B．尺C．尺D．4尺
2．（2019秋·陕西·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在一块平地上，停在一辆大客车前9m处有一棵大树．在一次强风中，这棵树从离地面6m处正对大客车方向折断倒下，若倒下部分的长是10m，则大树倒下时会碰到客车吗？（ ）
A．不会B．可能会C．一定会D．无法确定
3．（2018春·湖北武汉·八年级统考期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是（ ）尺
A．3B．4C．5D．4.5
4．（2019春·八年级单元测试）小亮想了解旗杆的高度，于是升旗的绳子拉倒旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6 m处，发现此时绳子末端距离地面1 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．17 m
B．17.5 m
C．18 m
D．18.5 m
5．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m
6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
7．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．
8．（2023春·广西南宁·八年级统考阶段练习）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（）；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
9．（2019春·辽宁大连·八年级阶段练习）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）
10．（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
培优专题09 风吹树折模型
【模型讲解】
“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”（1丈=10尺）

【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.
【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.
【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.
由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55.
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺
方法技巧：
此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案.
1．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺B．尺C．尺D．4尺
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴折断处离地面的高度为尺，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
2．（2019秋·陕西·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在一块平地上，停在一辆大客车前9m处有一棵大树．在一次强风中，这棵树从离地面6m处正对大客车方向折断倒下，若倒下部分的长是10m，则大树倒下时会碰到客车吗？（ ）
A．不会B．可能会C．一定会D．无法确定
【答案】A
【分析】由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可解答．
【详解】解：如图所示，AB＝10米，AC＝6米，根据勾股定理得，BC＝米＜9米．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.
3．（2018春·湖北武汉·八年级统考期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是（ ）尺
A．3B．4C．5D．4.5
【答案】B
【分析】首先根据题意，可知竹子折断后构成直角三角形，斜边长和折断处离地面的高度和为9尺，
设折断处离地面的高度是x尺，则斜边长是9-x，根据勾股定理，列出二元一次方程，即可得解.
【详解】解：根据题意，竹子折断后构成直角三角形，斜边长和折断处离地面的高度和为9尺，
设折断处离地面的高度是x尺，则斜边长是9-x，根据勾股定理，
解得，x=4
故折断处离地面的高度是4尺，答案为B.
【点睛】此题主要考查根据直角三角形的勾股定理列出二元一次方程求解.
4．（2019春·八年级单元测试）小亮想了解旗杆的高度，于是升旗的绳子拉倒旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6 m处，发现此时绳子末端距离地面1 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．17 m
B．17.5 m
C．18 m
D．18.5 m
【答案】D
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．
【详解】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=6m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-1）2+62=x2，
解得：x=18.5，
即旗杆的高度为18.5米，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
5．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m
【答案】D
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】(1)米
(2)2米
【分析】（1）作，，可证，可得，，则，且可求，，即可求的长．
（2）根据勾股定理可求，即可求的长．
【详解】（1）如图：
作，，
在和中，，
，
，
即
，
，
则，
所以，，
所以
（2）由勾股定理得，
．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．
【答案】12.5米
【分析】过点E作，垂足为F，在和中，根据勾股定理得出，，根据，得出，求出的长即可．
【详解】解：过点E作，垂足为F，如图所示：
由题意可知：四边形是长方形，和是直角三角形，
∴，，，
在和中，根据勾股定理可得：
，，
即，，
又∵，
∴，
解得：．
答：学校旗杆的高度为12.5米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于方程．
8．（2023春·广西南宁·八年级统考阶段练习）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（）；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】(1)旗杆距地面3m处折断
(2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险
【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可；
（2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：由题意，知．
因为，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）如图．
因为点D距地面，
所以，
所以，
所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．
9．（2019春·辽宁大连·八年级阶段练习）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）
【答案】这棵树原来的高度为（1+）米
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=5，CD=3，根据勾股定理可得BD=4，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，进而可得到树原来的高度．
【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=5，CD=3，
根据勾股定理得：BD==4，
∵AB=1，
∴AD=5，
∴AC= ，
∴这棵数原来的高度=1+ ，
答：这棵树原来的高度为（1+）米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，添加辅助线，正确的计算AC的长是解题的关键．
10．（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【答案】机器人行走的路程BC为m．
【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=x m，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC， 设BC=AC=x m， 则OC=（8-x）m，
在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（8-x）2=x2， 解得．
∴机器人行走的路程BC为m．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．