人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题02化简含字母的二次根式的化简-原卷版+解析
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考法解读
对二次根式的化简而言,只含有数字的二次根式由于数字的直观性,相对比较好掌握些;而对于含有字母的二次根式的化简,则相对比较抽象,显得比较难掌握.。其实,对于二次根式的化简,我们首先要记住,使二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0(也可以说被开方数非负),这也是解题常用的条件之一,其次要用到的就是a²=lal,然后利用去绝对值符号的方法去掉绝对值符号就完成了二次根式的化简.
在本章中,化简含字母的二次根式的常见类型如下:
直接根据给出的字母的取值范围进行化简;
根据二次根式有意义的条件进行化简;
根据给出的取值范围和二次根式有意义的条件进行化简;
根据数轴上对应点的位置进行化简;
根据三角形的三边关系进行化简.
◎类型一:直接给出字母的取值范围进行化简
1.(2022秋·四川乐山·九年级统考期末)当时,化简的值为( )
A.2B.C.D.
2.(2023春·全国·八年级期中)若,化简的结果是( )
A.B.C.D.
3.(2023春·湖北武汉·八年级江夏一中校考阶段练习)已知,,化简二次根式的结果是( )
A.B.C.D.
4.(2023春·山东泰安·八年级东平县实验中学校考阶段练习)已知,化简二次根式的正确结果( )
A.B.C.D.
◎类型二:根据二次根式有意义的条件进行化简
5.(2023春·北京朝阳·八年级校考阶段练习)若,那么x的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.(2021秋·四川遂宁·九年级校考阶段练习)若,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.(2023春·浙江台州·八年级校考期中)若,则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.(2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中)式子成立的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
◎类型三:根据给出的取值范围和有意义的条件进行化简
9.(2023春·全国·八年级专题练习)若,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10.(2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习)把中根号前的(m-1)移到根号内得 ( )
A.B.C.D.
11.(2023春·八年级单元测试)若,则化简的结果是( )
A.B.C.D.1
12.(2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习)已知,化简的结果是( )
A.1B.C.0D.
◎类型四:根据数轴上对应点的位置进行化简
13.(2023春·全国·八年级专题练习)实数a,b在数轴上的位置如图,则化简的结果是( )
A.B.C.D.
14.(2021春·七年级课时练习)若a、b为实数,在数轴上的位置如图所示,则的值是( ).
A.B.C.D.
15.(2023春·全国·八年级专题练习)实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则的值为( )
A.B.
C.D.
16.(2022春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习)实数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简的结果是( )
A.B.
C.D.
◎类型五:根据三角形的三边关系进行化简
17.(2023春·全国·八年级专题练习)若为三角形的三边长,则化简的结果为( )
A.5B.C.D.
18.(2022春·江苏泰州·八年级统考阶段练习)2、6、m是某三角形三边的长,则等于( ).
A.B.C.12D.
19.(2022秋·全国·八年级专题练习)已知三角形的三条边长为3,5,k,化简:( )
A.8B.-8C.2k-10D.10-2k
20.(2023春·山东济南·八年级校联考阶段练习)如果一个三角形的三边长分别为1,k,4,那么化简|2k-5|-的结果是( )
A.3k-11B.k+1C.1D.11-3k
培优专题02 化简含字母的二次根式
【考法导图】
考法解读
对二次根式的化简而言,只含有数字的二次根式由于数字的直观性,相对比较好掌握些;而对于含有字母的二次根式的化简,则相对比较抽象,显得比较难掌握.。其实,对于二次根式的化简,我们首先要记住,使二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0(也可以说被开方数非负),这也是解题常用的条件之一,其次要用到的就是a²=lal,然后利用去绝对值符号的方法去掉绝对值符号就完成了二次根式的化简.
在本章中,化简含字母的二次根式的常见类型如下:
直接根据给出的字母的取值范围进行化简;
根据二次根式有意义的条件进行化简;
根据给出的取值范围和二次根式有意义的条件进行化简;
根据数轴上对应点的位置进行化简;
根据三角形的三边关系进行化简.
◎类型一:直接给出字母的取值范围进行化简
1.(2022秋·四川乐山·九年级统考期末)当时,化简的值为( )
A.2B.C.D.
【答案】D
【分析】先判断出,再根据二次根式的性质化简即可得.
【详解】解:,
,
,
故选:D.
【点睛】本题考查了二次根式的化简,熟练掌握二次根式的性质是解题关键.
2.(2023春·全国·八年级期中)若,化简的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质及幂的乘方运算的逆运算化简即可得到答案.
【详解】解:,
,
故选:D.
【点睛】本题考查二次根式化简,熟练掌握二次根式的性质及幂的乘方运算的逆运算化简是解决问题的关键.
3.(2023春·湖北武汉·八年级江夏一中校考阶段练习)已知,,化简二次根式的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】解:∵,
∴,
故选A.
【点睛】本题主要考查了化简二次根式,熟知二次根式的化简方法是解题的关键.
4.(2023春·山东泰安·八年级东平县实验中学校考阶段练习)已知,化简二次根式的正确结果( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件,结合已知得出,,进而化简得出答案.
【详解】解:由二次根式有意义的条件可得:
∵,
∴,,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件,能熟记二次根式的性质是解此题的关键,注意:.
◎类型二:根据二次根式有意义的条件进行化简
5.(2023春·北京朝阳·八年级校考阶段练习)若,那么x的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】由二次根式的性质可得,,再根据绝对值的意义即可得出答案.
【详解】∵
当,即时,,
∴x的取值范围是:,
故选:B.
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的意义,合理运用性质进行计算是解决本题的关键.
6.(2021秋·四川遂宁·九年级校考阶段练习)若,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质可得,再根据绝对值的性质进行计算即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质,关键是掌握.
7.(2023春·浙江台州·八年级校考期中)若,则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
【详解】解:,
,
故选:D.
【点睛】本题考查二次根式的性质,解题的关键是熟练运用二次根式的性质,本题属于基础题型.
8.(2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中)式子成立的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质得到不等式组,求解即可得到答案.
【详解】解:,
,
解得:,
故选A.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,解不等式组,熟练掌握二次根式的性质是解题关键.
◎类型三:根据给出的取值范围和有意义的条件进行化简
9.(2023春·全国·八年级专题练习)若,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式,解不等式即可解答.
【详解】∵,
∴,
∴-2.
故选A.
【点睛】本题考查二次根式的性质,根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键.
10.(2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习)把中根号前的(m-1)移到根号内得 ( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号,然后解答即可.
【详解】∵被开方数,分母.
∴,∴.
∴原式.
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简:|a|.也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法.
11.(2023春·八年级单元测试)若,则化简的结果是( )
A.B.C.D.1
【答案】D
【分析】利用去根号,再根据化简绝对值即可.
【详解】解:∵,
∴,,
∴
.
故选D.
【点睛】本题考查化简二次根式、化简绝对值,解题的关键是掌握.
12.(2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习)已知,化简的结果是( )
A.1B.C.0D.
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质化简即可.
【详解】解∶∵,
∴,
∴
.
故选B.
【点睛】本题考查的是二次根式的化简,掌握二次根式的性质∶是解题的关键.
◎类型四:根据数轴上对应点的位置进行化简
13.(2023春·全国·八年级专题练习)实数a,b在数轴上的位置如图,则化简的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】数轴可得,即可得,再根据二次根式的性质化简即可.
【详解】由数轴可得,即可得,
∴
.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号,再结合二次根式的性质性质化简的知识,由数轴得到,是解答本题的关键.
14.(2021春·七年级课时练习)若a、b为实数,在数轴上的位置如图所示,则的值是( ).
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据数轴可知a小于0,b大于0,从而得到a−b小于0,根据负数的绝对值等于它的相反数可把第一个加数化简,然后根据=|a|及a为负数,把第二个加数化简,合并即可求出值.
【详解】解:观察数轴可知:a<0,b>0,
∴a−b<0,
则|a−b|+=−(a−b)+|a|=b−a−a=b−2a.
故答案为:C.
【点睛】此题考查学生对绝对值代数意义的理解,以及掌握二次根式的性质与化简.我们常常利用数轴来确定数的正负及大小,体现了数形结合的数学思想.
15.(2023春·全国·八年级专题练习)实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则的值为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】直接利用数轴上点位置得出的取值范围,再利用二次根式以及绝对值的性质化简得出答案.
【详解】解:由数轴可得:,,
原式,
故选:A.
【点睛】此题考查了数轴以及二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.
16.(2022春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习)实数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简的结果是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】先根据数轴上两点的位置确定和的正负,由此计算即可.
【详解】解:观察数轴可得,,,
故,,
,
故选C.
【点睛】本题结合数轴上点的位置考查了的计算性质,熟练掌握该性质是解答的关键.
◎类型五:根据三角形的三边关系进行化简
17.(2023春·全国·八年级专题练习)若为三角形的三边长,则化简的结果为( )
A.5B.C.D.
【答案】A
【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围,然后对二次根式进行化简求值即可.
【详解】解:由三角形三边关系可知:,
∴,,
故选:A.
【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值,解题的关键是熟练运用二次根式的性质.
18.(2022春·江苏泰州·八年级统考阶段练习)2、6、m是某三角形三边的长,则等于( ).
A.B.C.12D.
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系和算术平方根的性质以及去绝对值化简即可求解.
【详解】解:,
∵2、6、m是某三角形三边的长,
∴4<m<8,
∴原式=m-4+m-8=2m-12.
故选:A.
【点睛】本题主要考查三角形的三边关系和算术平方根的性质以及去绝对值,三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.熟记相关性质是解题关键.
19.(2022秋·全国·八年级专题练习)已知三角形的三条边长为3,5,k,化简:( )
A.8B.-8C.2k-10D.10-2k
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系确定k的取值范围,再得到9-k>0,1-k<0,从而化简代数式.
【详解】解:∵三角形的三条边长为3,5,k,
∴5-3<k<5+3,即2<k<8,
∴9-k>0,1-k<0,
∴===8,
故选A.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系,二次根式的性质,去绝对值,解题的关键是确定k的取值范围.
20.(2023春·山东济南·八年级校联考阶段练习)如果一个三角形的三边长分别为1,k,4,那么化简|2k-5|-的结果是( )
A.3k-11B.k+1C.1D.11-3k
【答案】A
【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4,根据三角形的三边关系,1+4>k,即k<5,4-1
【详解】∴,
解得,3
∴|2k-5|-
=2k−5−
=2k−5−[−(k−6)]
=3k−11.
故选A.
【点睛】本题考查二次根式的应用, 三角形三边关系,解题的关键是根据三角形的三边关系确定k的取值范围.
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