2023-2024学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象位于( )
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
3.若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是( )
A. 135°B. 60°C. 120°D. 45°
4.用反证法证明“若ab=0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设( )
A. a=0，b=0B. a≠0，b≠0C. a≠0，b=0D. a=0，b≠0
5.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=2，则CD的长为( )
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
6.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
7.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t=kv，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)，若行驶速度不得超过60(km/h)，则汽车通过该路段最少需要时间为( )
A. 23分
B. 40分
C. 60分
D. 2003分
8.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC.设∠AOD=α，∠AEO=β，则α与β间的关系正确的是( )
A. α=βB. α+β=180°C. 2α+β=180°D. α+2β=180°
9.已知点A(x1,y1)B(x2,y2)，C(x3,y3)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，x1A. 若x1x3<0，则y20
C. 若x1x3>0，则y2>y3D. 若x2x3>0，则y1y3>0
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连结DH，FH.记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若要求出S1−S2的值，只需已知哪条线段的长( )
A. ABB. ACC. BCD. EG
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若n边形的内角和等于外角和，则n= ______．
12.若菱形的两条对角线长分别是8和6，则菱形的面积是______．
13.如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP=3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为______．
14.如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC交AB于点E，交CB的延长线于点F，AD=5，CD=12，则BF的长为______．
15.如图，反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，则1a−1b的值为______．
16.如图，点A在反比例函数y=k1x(x<0,k1<0)的图象上，点B，C在反比例函数y=k2x(x>0,k2>0)的图象上，AB/​/x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E.当△ABC与△DBC的面积之差为6且CEDE=23时，k1的值为______四边形ADBC的面积为______.(用含k2的代数式表示)
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，在5×5方格纸中，点A，B都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形ABCD，使它的顶点都在方格的顶点上．
(1)在图1中所画的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图2中所画的四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
18.(本小题6分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11，求△OCD的周长．
19.(本小题6分)
我们知道，正比例函数y=2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
(1)补全证明过程
证明：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)在正比例函数y=2x的图象上，且x1∴y1=2x1，y2= ______，
∴y1−y2=2x1−2x2=2(x1−x2)，
∵x1∴x1−x2 ______0，
∴2(x1−x2) ______0，即y1∴y=2x随着x的增大而增大．
(2)仿照题(1)的证明过程，试从代数角度证明：当x>0时，反比例函数y=−2x随着x的增大而增大．
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
(1)选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
(2)在(1)的基础上，若EF=2AE，S△AED=4，求▱ABCD的面积．
21.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务．
22.(本小题10分)
已知正比例函数y1=k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
(1)求证：4k1=k2．
(2)求点B的横坐标．
(3)当k2>0时，对于实数m，当x=m时，y1y2，直接写出m的取值范围．
23.(本小题10分)
若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”.例如：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．
(1)请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD//BC，∠CAD=2∠DBC.求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
(3)在(2)的条件下，若BD=3，CD=1，求AB的长．
24.(本小题12分)
如图，已知矩形纸片ABCD，AB=a，BC=b(a>b)．
(1)如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边AB于点E.求证：四边形AEA′D是正方形．
(2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2．
①求证：AC′=B′E．
②若a=8，b=6，求折痕EF的长．
③当△EFC′为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】B
【解析】解：∵k2+1≥1>0，
∴反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象位于第一、三象限．
故选B．
先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解．
本题考查反比例函数y=kx(k≠0)的性质：
①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
②当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
3.【答案】D
【解析】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，
则x+3x=180，
解得：x=45°，
∴其中较小的内角是45°．
故选：D．
首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
4.【答案】B
【解析】解：“若ab=0，则a，b中至少有一个为0.”第一步应假设：a≠0，b≠0．
故选：B．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=AD，
∵OE=2，且点E为CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC=2OE=4．
∴CD=BC=4．
故选：B．
由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=AD，再根据中位线的性质可得BC=2OE=4，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，解题的关键是求出BC=4．
6.【答案】B
【解析】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，函数经过点(40,1)，
把(40,1)代入t=kv，得k=40，
则解析式为t=40v，再把(m,0.5)代入t=40v，得m=80；
把v=60代入t=40v，得t=23，
23小时=40分钟，
则汽车通过该路段最少需要40分钟；
故选：B．
把点A(40,1)代入t=kv，求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v=60代入t=40v，求出t的值即可．
此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠AOD=α，
∴∠OAD=12(180°−α)，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE=90°，
∵∠AEO=β，∠DAE=90°，
∴∠OAD=∠AEO，
∴12(180°−α)=β，
∴α+2β=180°．
故选：D．
根据矩形的性质可得OA=OD，根据等腰三角形底角相等和直角三角形两个锐角互余可得12(180°−α)=β，进而可得结果．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的对角线相等的性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)的图象在一、三象限，
∵x1A、若x1x3<0，则点A(x1,y1)在第三象限，C(x3,y3)在第一象限，
∴当点B在第三象限时，y2y3，故A不一定成立；
B、若x2x3<0，则x10，
∴点A(x1,y1)在第三象限，C(x3,y3)在第一象限，
∴y1y3<0，故B一定不成立；
C、若x1x3>0，则点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在同一象限，
∴y2>y3，故C一定成立；
D、若x2x3>0，则点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在同一象限或B(x2,y2)，C(x3,y3)在第一象限，点A(x1,y1)在第三象限，
∴y1y3>0或y1y3<0，故D不一定成立；
故选：C．
由x1本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接AD交EG于点O，连接BF交EG于点M．
∵四边形AEDC和四边形BCFG是正方形，
∴AD⊥EC，BF⊥CG．
设正方形AEDC的边长为a，正方形BCFG的边长为b，
∴CE= 2a，CG= 2b.
∴OD= 22a，FM= 22b，EG= 2(a+b)．
∵H为EG的中点，
∴EH=HG= 22(a+b)．
∴CH=EH−EC= 22(b−a)．
∵S1=12HG⋅FM=12× 22(a+b)× 22b=14(ab+b2)，
S2=12CH⋅OD=12× 22(b−a)× 22a=14(ab−a2).
∴S1−S2=14(b2+a2).
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2．
∴a2+b2=AB2．
∴S1−S2=14AB2．
∴需要知道线段AB的长．
故选：A．
设正方形AEDC的边长为a，正方形BCFG的边长为b，连接AD交EG于点O，连接BF交EG于点M.根据正方形的性质可得用a和b表示S1和S2的底边长和高，进而表示出S1和S2的面积，相减后整理，根据勾股定理可得需要知道哪条线段的长．
本题综合考查了正方形的性质及勾股定理的知识．分别设出两个正方形的边长，根据正方形的性质得到S1和S2的底边长和高，进而表示出相应的面积差，是解决本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：由n边形的内角和等于外角和，得
(n−2)180°=360°，
解得n=4，
故答案为；4．
根据多边形的内角和公式、外角和，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，由内角和公式、外角和得出方程式解题关键．
12.【答案】24
【解析】解：如图，AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，
在Rt△AOB中，AB= OB2+OA2= 32+42=5，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24．
故答案为：24．
如图，AC=8，BD=6，根据菱形的性质得AC⊥BD，AO=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，则利用勾股定理可计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13.【答案】3
【解析】解：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，
在△ABP与△CBP中，
AB=CB∠ABD=∠CBDBP=BP，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠BCD=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF=3，
故答案为：3．
连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，能证出AP=PC是解此题的关键．
14.【答案】7
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=5，
∴∠F=∠ADE，
∵∠ADC平分线为DF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴∠F=∠CDF，
∴CF=CD=12，
∴BF=CF−BC=12−5=7．
故答案为：7．
由平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出CF=CD=12，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出CF=CD是解决问题的关键．
15.【答案】−13
【解析】解：∵反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，
∴b=6a，b=a−2，
∴ab=6，a−b=2，
∴1a−1b=b−aab=−a−bab=−26=−13．
故答案为−13．
由点P(a,b)为反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的交点，可得出ab=6、a−b=2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab=6、a−b=2是解题的关键．
16.【答案】−18 5k2+906
【解析】解：∵CEDE=23，
∴设CE=2a，DE=3a，则CD=CE+DE=5a，
∵AB/​/x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E，
∴点C的纵坐标为5a，点B的纵坐标为3a，
∵点B，C在反比例函数y=k2x的图象上，
∴点C(k25a,5a)，点B(k23a,3a)，
又∵A的纵坐标为3a，点A在反比例函数y=k1x的图象上，
∴点A(k13a,3a)，
∴AB=k23a−k13a=k2−k13a，BE=k23a−k25a=2k215a，
∴S△ABC=12AC⋅CE=12×k2−k13a×2a=k2−k13，S△BCD=12CD⋅BE=12×5a×2k23=k23，
又∵△ABC与△DBC的面积之差为6，
∴k2−k13−k23=6，
解得：k1=−18；
连接AD，如下图所示：

∴AB=k2−k13a=k2+183a，
∴S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD
=12AB⋅CE+12AB⋅DE
=12AB(CE+DE)
=12AB⋅CD
=12×k2+183a×5a
=5k2+906．
故答案为：−18；5k2+906．
根据CEDE=23，设CE=2a，DE=3a，则CD=5a，进而得点C(k25a,5a)，点B(k23a,3a)，点A(k13a,3a)，则AB=k2−k13a，BE=2k215a，S△ABC=12AC⋅CE=k2−k13，S△BCD=12CD⋅BE=k23，再根据△ABC与△DBC的面积之差为6得k2−k13−k23=6，由此可解出k1；连接AD，则S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD=12AB⋅CD，将AB=k2+183a，CD=5a代入即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)图1中所画的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)图2中所画的四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，．
【解析】(1)利用平行四边形的性质画出符合题意的图形即可；
(2)利用正方形的性质画出符合题意的图形即可．
此题主要考查了利用轴对称以及利用旋转设计图案，正确把握特殊四边形的性质是解题关键．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=11，OA=OC，OB=OD，
∴OC+OD=12(AC+BD)=18，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29．
【解析】此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD=12(AC+BD)，再由平行四边形的对边相等可得AB=CD=11，继而代入可求出△OCD的周长．
19.【答案】2x2 < <
【解析】证明：(1)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)在正比例函数y=2x的图象上，且x1∴y1=2x1，y2=2x2，
∴y1−y2=2x1−2x2=2(x1−x2)，
∵x1∴x1−x2<0，
∴2(x1−x2)<0，即y1∴y=2x随着x的增大而增大；
故答案为：2x2，<，<；
(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=−2x的图象上，且0∴y1=−2x1，y2=−2x2，
∴y1−y2=−2x1+2x2=−2(x2−x1)x1x2，
∵0∴x2−x1>0，x1x2>0，
∴−2(x2−x1)x1x2<0，即y1∴当x>0时，反比例函数y=−2x随着x的增大而增大．
(1)根据题意写出证明过程即可得出答案；
(2)根据(1)中的证明方法进行证明即可．
本题考查了正比例函数和反比例的图象与性质，能够学习并运用题中的证明过程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO=CO，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴AE=12AO，CF=12CO，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∵∠BEF=180°−∠AEB，∠DFE=180°−∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE/​/DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故甲方案正确；
乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE/​/DF，∠AEB=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故乙方案正确；
(2)解：由(1)得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴OE=OF，
∴EF=2OE，
∵EF=2AE，
∴2OE=2AE，
∴OE=AE=CF=OF，
∴S△ABC=S△ADC=4S△AED=4×4=16，
∴S▱ABCD=2×16=32，
∴▱ABCD的面积是32．
【解析】(1)甲方案，由平行四边形的性质得AB/​/CD，AB=CD，则∠BAE=∠DCF，由AO=CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE=CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE=DF，∠AEB=∠CFD，所以∠BEF=∠DFE，则BE/​/DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE/​/DF，∠AEB=∠CFD=90°，由平行四边形的性质得AB/​/CD，AB=CD，则∠BAE=∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE=DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
(2)由AO=CO，AE=CF，推导出OE=OF，则EF=2AE=2OE，所以OE=AE=CF=OF，则S△ABC=S△ADC=4S△AED=24，所以S▱ABCD=48．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
21.【答案】解：任务1：∵左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y(g)物体，OP长x(cm)，砝码的质量是100g，OA=12cm，
∴100×12=xy．
∴y=1200x，
∵OC=12cm，BC=28cm，
∴OB=40cm．
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40．
即12≤x≤40．
∴30≤y≤100．
答：y关于x的函数表达式为：y=1200x(30≤y≤100)；
任务2：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得：
100×12=40(a+b)100×12=(12+12)(a+2b)，
解得a=10b=20，
答：这个空矿泉水瓶的重量为10g．
【解析】任务1：根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
任务2：设空瓶的质量为a g，两次加水的质量均为b g，根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量．
本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
22.【答案】(1)证明：正比例函数y1=k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴y1=2k1，y2=k22，
∵y1=y2，
∴2k1=k22，
∴4k1=k2．
(2)解：∵正比例函数y1=k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为−2；
(3)解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为−2，
∴当k2>0时，对于实数m，当x=m时，y1y2，m的取值范围是m<−2−22，
解得−3【解析】(1)把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到2k1=k22，变形得到4k1=k2．
(2)根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得；
(3)根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，数形结合是解题的关键．
23.【答案】(1)解：∵以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，
∴AB=AD或BC=CD，
以AB=AD例作图，则点A在BD的垂直平分线上，
设点A在BD上方第三个网格格点上，
则点C在点B下方第一个网格对角线上，
如图2所示，答案不唯一；
(2)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠ABC=2∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是“近似菱形”；
(3)解：过点D作DE/​/AB，交BC于E，连接AE，交BD于O，如图3所示：
∵AD/​/BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABED是菱形，
∴AE⊥BD，OB=12BD=32，OA=12AE，DE=AB，
∵AB=AC，
∴DE=AC，
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACE，
在△DEC和△ACE中，
DE=AC∠DEC=∠ACECE=CE，
∴△DEC≌△ACE(SAS)，
∴AE=CD=1，
∴OA=12，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= OB2+OA2= (32)2+(12)2= 102．
【解析】(1)以AB=AD作图，则点A在BD的垂直平分线上，设点A在BD上方第三个网格格点上，则点C在点B下方第一个网格对角线上，答案不唯一；
(2)由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，推出∠CAD=∠ABC=2∠DBC，得出∠ABD=∠DBC，则BD平分∠ABC，∠ABD=∠ADB，得出AB=AD，即可得出结论；
(3)过点D作DE/​/AB，交BC于E，连接AE，交BD于O，证平行四边形ABED是菱形，得出AE⊥BD，OB=12BD=32，OA=12AE，DE=AB，再由SAS证得△DEC≌△ACE，得出AE=CD=1，则OA=12，然后由勾股定理即可得出结果．
本题是四边形综合题，考查了“近似菱形”定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；(3)正确作出辅助线构建菱形是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，
∴AD=A′D，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE=45°，
∵AB/​/CD，
∴∠AED=∠A′DE=∠ADE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=A′E=A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
(2)①证明：如图2−1，连接C′E，由(1)知，AD=AE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠EAC′=∠B=90°，
由折叠知，B′C′=BC，∠B=∠B′，
∴AE=B′C′，∠EAC′=∠B′，
∵EC′=C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
EC′=C′EAE=B′C′，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′(HL)，
∴AC′=B′E；
②解：AB=a=8，BC=b=6，
如图2−2，过点E作EM⊥CD于点D，
∵∠B=∠C=∠CME=90°，
∴四边形EBCM是矩形，
∴BE=CM，BC=EM=6，
∵AC′=BE=B′E，AD=AE=6，AB=8，
∴BE=2=B′E=AC′=CM，CD=AB=8，
∴C′D=AD−AC′=6−2=4，
设CF=C′F=x，则DF=8−x，
在Rt△DC′F中，由勾股定理得：
C′F2=C′D2+DF2，
∴x2=42+(8−x)2，
解得x=5，
∴FM=CF−CM=5−2=3，
∴EF= EM2+FM2= 62+32=3 5；
∴折痕EF的长为3 5；
③解：当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况：
I、当EC′=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，如图2−2所示，

由折叠可知：EC′=EC=EF，CF=C′F，
∵AE=AD=AB−BE，
∴BE=AB−AD=a−b，
∴FM=CM=BE=a−b，
∴CF=2CM=2a−2b=C′F，
∵DF=CD−CF=a−(2a−2b)=2b−a，
∵AC′=BE=a−b，
∴DC′=AD−AC′=b−(a−b)=2b−a，
∴DF=DC′=2b−a，
∴△DC′F是等腰直角三角形，
∴C′F= 2DF，
∴2a−2b= 2(2b−a)，
解得a= 2b；
Ⅱ、当EC′=C′F时，
∴∠C′EF=∠C′FE，
由折叠的性质可知：∠C′FE=∠CFE=∠C′EF，
∴C′E//CF，
在矩形ABCD中，CF/​/AE，
∴点C′与点A重合，
由折叠的性质可知：点C与点C′重合，
∴四边形ABCD是正方形，
∴a=b，与a>b矛盾；
Ⅲ、当EF=C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2−3所示：

∴EF=C′F=CF，
∴∠FC′E=∠FCE=∠FEC，
∵AB/​/CD，
∴∠BEC=∠FCE=∠FEC，
由折叠的性质可知：EF垂直平分CC′，
∴CC′⊥EF，CO=C′O，
∵∠BEC=∠FEC，CB⊥BE，CO⊥EF，
∴BC=CO=b，
∴CC′=2CO=2BC=2b，
在Rt△CDC′中，DC′=2b−a，DC=a，
∴(2b−a)2+a2=4b2，
解得a=2b；
综上所述：当△EFC′为等腰三角形时，a= 2b或a=2b．
【解析】(1)由折叠性质得AD=AD′，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
(2)①连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA=∠EC′B′，便可得结论；
②如图2−2，过点E作EM⊥CD于点D，根据矩形的性质和勾股定理即可求出折痕EF的长；
③当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况讨论：I、当EC′=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，Ⅱ、当EC′=C′F时，Ⅲ、当EF=C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2−3所示：依次进行解答即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可在横梁BC段滑动.已知OA=OC=12cm，BC=28cm，一个100g的砝码．
素材2
由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P滑动至点B处，空瓶中加入适量的水使天平平衡；再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平再次平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP.(不计托盘与横梁重量)
问题解决
任务1
分析数量关系
设右侧托盘放置y(g)物体，OP长x(cm)，求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2
解决具体问题
求这个空矿泉水瓶的重量．