2020-2021学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）若y＝是反比例函数，则m必须满足（　　）
A．m≠0 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m≠﹣2
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（3分）用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（　　）
A．四个角都小于90°
B．最多有一个角大于或等于90°
C．有两个角小于90°
D．四个角都大于或等于90°
5．（3分）对于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A．其图象经过第一、三象限
B．过点（1，3）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．当x＜0时，y随x增大而增大
6．（3分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）

A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
7．（3分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（　　）

A．6 B．3 C．3 D．3
8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（a、y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜a＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
9．（3分）如图，在直角坐标系中，正△ABC的顶点在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，BC与x轴平行，点A，B的横坐标分别为1，4，则k的值是（　　）

A． B． C． D．6
10．（3分）如图，一个长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（　　）

A．EF B．FG C．GH D．FH
二、填空题
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC＝6．则菱形ABCD的面积为　 　．

13．（3分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为　 　．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为BC上一动点（不与点C重合），以AD，CD为一组邻边作平行四边形ADCE，当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为　 　．

15．（3分）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　 　．
16．（3分）如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中：①EB平分∠AED'；②FB平分∠A'FC；③△DEF的周长是一个定值；④S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD，判断正确的是 　 　．

三、解答题
17．图分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上．
（1）请在图中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形；
（2）请在图中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形且不是轴对称图形．
18．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b相交于点M，N．且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为（t，﹣1）．
（1）求反比例函数与一次函数解析式．
（2）根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为　 　．

19．将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A落在点F处，DF交CB于点E．已知
∠ADB＝30°．
（1）求∠CBF的度数．
（2）求证：EF＝EC．

20．已知常数a（a是整数）满足下面两个要求：
①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根；
②反比例函数的图象在二，四象限．
（1）求a的值；
（2）在所给直角坐标系中用描点法画出的图象，并根据图象写出：
当x＞4时，y的取值范围是　 　；
当y＜1时，x的取值范围是　 　．

21．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．

22．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．

23．定义；有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 　 　；
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n•BG，求n的值．
24．【实践发现】
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°；
【拓展延伸】
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形；
【解决问题】
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26．折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段BA'的长度有1，4，7，11．请写出以上4个数值中你认为正确的数值为 　 　．

2020-2021学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）若y＝是反比例函数，则m必须满足（　　）
A．m≠0 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m≠﹣2
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m+2≠0即可．
【解答】解：依题意有m+2≠0，
所以m≠﹣2．
故选：D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝5×360°，
解得n＝12．
故选：D．
4．（3分）用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（　　）
A．四个角都小于90°
B．最多有一个角大于或等于90°
C．有两个角小于90°
D．四个角都大于或等于90°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．
【解答】解：用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时第一步应假设：四个角都小于90度．
故选：A．
5．（3分）对于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A．其图象经过第一、三象限
B．过点（1，3）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．当x＜0时，y随x增大而增大
【分析】首先确定当k＞0，然后根据反比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴图像经过第一、第三象限，A正确；
当x＝1时，y＝3，因此函数过点（1，3），B正确；
当x＞0时，y随x增大而减小，C正确；
当x＜0时，y随x增大而减小，D错误．
故选：D．
6．（3分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）

A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．

7．（3分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（　　）

A．6 B．3 C．3 D．3
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，
∵E为AB的中点，∠DAB＝60°，
∴DE⊥AB，
∴ED＝＝＝3，
∴EF+BF的最小值为3．
故选：B．

8．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（a、y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜a＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】利用k＜0，在图象的每一支上，y随x的增大而增大，双曲线在第二四象限，分别分析即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中的k＝﹣4＜0，
∴在图象的每一支上，随x的增大而增大，双曲线在第二四象限，
∵﹣2＜a＜0，
∴y2＞y1＞0，
∵C（3，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，正△ABC的顶点在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，BC与x轴平行，点A，B的横坐标分别为1，4，则k的值是（　　）

A． B． C． D．6
【分析】作AH⊥BC于H．则BH＝3．解直角三角形求得AH＝3，设B（4，n），则A（1，n+3），即可得出k＝4n＝n+3，解得n＝，即可求得k＝4．
【解答】解：作AH⊥BC于H．则BH＝3．
∴
设B（4，n），则A（1，n+3），
∴k＝4n＝n+3，
∴．
∴，
故选：B．

10．（3分）如图，一个长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（　　）

A．EF B．FG C．GH D．FH
【分析】根据题意和图形，可以写出①和④两块长方形的周长之差，然后整理化简即可．
【解答】解：∵②和③两块长方形的形状大小完全相同，
∴FH＝BE＝CH，AE＝DH＝GH，
∴①和④两块长方形的周长之差是：
2（EG+EB）﹣2（AE+EF）
＝2（EG+EB﹣AE﹣EF）
＝2[（EG﹣EF）+（EB﹣AE）]
＝2[FG+（FH﹣GH）]
＝2（FG+FG）
＝4FG，
∴要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道线段FG的长即可，
故选：B．
二、填空题
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是　（﹣3，5）　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），
故答案为：（﹣3，5）．
12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC＝6．则菱形ABCD的面积为　24　．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线AC的长度，进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD中AO＝AC＝3，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8，
故可得菱形ABCD的面积为×8×6＝24．
故答案为：24．

13．（3分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为　　．

【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，然后根据反比例函数中k的几何意义，知△AOB的面积＝|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为．
∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，△AOB的面积＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝4．
∴这个反比例函数的解析式为．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为BC上一动点（不与点C重合），以AD，CD为一组邻边作平行四边形ADCE，当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为　4+2　．

【分析】根据题意，可知当DE⊥AE时，DE取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到AD、CD的长，从而可以得到当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长．
【解答】解：当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD＝x，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CD＝AE，AD＝CE，BC∥AE，
∵∠B＝90°，DE⊥AE，
∴四边形BAED是矩形，
∴BD＝AE，
∴BD＝CD＝x，
∵BC＝BD+CD，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，
∵AB＝3，∠B＝90°，
∴AD＝＝＝，
∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2++2+＝4+2，
故答案为：4+2，
15．（3分）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　或　．
【分析】由勾股定理可求BC＝2，分点E在CD上或在AB上两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
16．（3分）如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中：①EB平分∠AED'；②FB平分∠A'FC；③△DEF的周长是一个定值；④S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD，判断正确的是 　①②③　．

【分析】如图，过点B作BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N．利用角平分线的判定定理证明选项①②正确，再利用全等三角形的性质证明△DEF的周长＝2DM＝定值，即可判断③正确，利用全等三角形的性质可得S△BEM＝S△BEH，S△BMA＝S△BNC，S△BFN＝S△BFH，可得S△DEF+2S△BEF＝S四边形DMBN，由∠A不一定等于60°，则S△DEF+2S△BEF≠S菱形ABCD，故④错误，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N．

∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD旋转得到，菱形的每条边上的高相等，
∴BM＝BH＝BN，
∵BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N，
∴BE平分∠AED′，BF平分∠A′FC，故选项①②正确，
∵∠BME＝∠NHE＝90°，BE＝BE，BM＝BH，
∴Rt△BEM≌Rt△BEH（HL），
∴EH＝EM，
同法可证，FH＝FN，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DE+EM+DF+FN＝DM+DN，
∵∠BMA＝∠BNC＝90°，BM＝BN，BA＝BC，
∴Rt△BMA≌Rt△BNC（HL），
∴AM＝CN，
∵DA＝DC，
∴DM＝DN，
∴△DEF的周长＝2DM＝定值，故③正确，
∵Rt△BEM≌Rt△BEH，Rt△BMA≌Rt△BNC，Rt△BFN≌Rt△BFH，
∴S△BEM＝S△BEH，S△BMA＝S△BNC，S△BFN＝S△BFH，
∴S△DEF+2S△BEF＝S四边形DMBN，
∵∠A不一定为60°，
∴AM不一定等于AB，
∴S△DEF+2S△BEF≠S菱形ABCD，故④错误；
故选①②③．
三、解答题
17．图分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上．
（1）请在图中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形；
（2）请在图中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形且不是轴对称图形．
【分析】（1）作点A、B关于某直线的对称点得到等腰梯形ABCD；
（2）把AB平移得到平行四边形ABEF．
【解答】解：（1）如图①，如图，四边形ABCD为所作；
（2）如图②，四边形ABEF为所作．

18．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b相交于点M，N．且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为（t，﹣1）．
（1）求反比例函数与一次函数解析式．
（2）根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为　﹣3＜x＜0或x＞1　．

【分析】（1）先把M点坐标代入y＝求出m的值，从而得到反比例函数解析式，再把B（1，n）代入反比例函数解析式求出n的值，然后把A和B点坐标分别代入y＝kx+b得到a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，于是可得到一次函数解析式；
（2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把点M（1，3）代入y＝得m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y＝；
把N（t，﹣1）代入y＝得t＝﹣3，
把M（1，3）、N（﹣3，﹣1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2；
（2）∵当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值，
∴关于x的不等式＜kx+b的解为﹣3＜x＜0或x＞1．
故答案为﹣3＜x＜0或x＞1．
19．将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A落在点F处，DF交CB于点E．已知
∠ADB＝30°．
（1）求∠CBF的度数．
（2）求证：EF＝EC．

【分析】（1）由矩形纸片ABCD沿对角线BD对折可得：∠ADB＝∠BDF＝30°，从而∠DEC＝60°即可求出答案；
（2）由矩形纸片ABCD沿对角线BD对折可得：AB＝BF，从而得CD＝BF，然后根据AAS可证Rt△BFE和Rt△DCE全等，即可证EF＝EC．
【解答】（1）解；由矩形纸片ABCD沿对角线BD对折可得：∠ADB＝∠BDF＝30°，
∴∠ADF＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ADF＝∠DEC＝60°，
∴∠BEF＝DEC＝60°，
∴∠CBF＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
（2）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，
由矩形纸片ABCD沿对角线BD对折可得：AB＝BF，∠F＝∠A＝90°，
∴CD＝BF，
在△BFE和△DCE中，
，
∴△BFE≌△DCE（AAS），
∴EF＝EC．
20．已知常数a（a是整数）满足下面两个要求：
①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根；
②反比例函数的图象在二，四象限．
（1）求a的值；
（2）在所给直角坐标系中用描点法画出的图象，并根据图象写出：
当x＞4时，y的取值范围是　﹣＜y＜0　；
当y＜1时，x的取值范围是　x＜﹣2或x＞0　．

【分析】（1）先根据关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根求出a的取值范围，再由反比例函数的图象在二，四象限得出a的取值范围，由a为整数即可得出a的值；
（2）根据a的值得出反比例函数解析式，画出函数图象，由函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝9+4a＞0，得a＞﹣且a≠0；
∵反比例函数图象在二，四象限，
∴2a+2＜0，得a＜﹣1，
∴﹣＜a＜﹣1．
∵a是整数，
∴a＝﹣2；

（2）∵a＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
其函数图象如图所示；
当x＞4时，y的取值范围﹣＜y＜0；
当y＜1时，x的取值范围是 x＜﹣2或x＞0．
故答案为：﹣＜y＜0，x＜﹣2或x＞0．

21．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．

【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再由DE⊥AB，可得结论；
（2）根据矩形的性质求出∠BFC＝90°，根据勾股定理求出BC，求出AD＝DF，推出∠DAF＝∠DFA，求出∠DAF＝∠BAF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC＝90°，
∵CF＝6，BF＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴AD＝BC＝10，
∴AD＝DF＝10，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
22．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．

【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；
（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；
②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平距离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴，即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴，
∴．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝nx+5，将AB两点代入得：
则．
解得，
当m＝2时，OE＝2，，，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
23．定义；有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 　矩形　；
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n•BG，求n的值．
【分析】（1）矩形的邻边垂直且对角线相等，则矩形是垂等四边形；
（2）根据垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形即可；
（3）①由SAS证得△ADF≌△CDG（SAS），得出DF＝DG，再由垂等四边形定义得出EG＝DF，即可得出结论；
②过点G作GH⊥AD于H，则四边形CDHG为矩形，得出CG＝DH，由①得EG＝DG，由等腰三角形的性质得DH＝EH，推出CG＝DH＝EH，证明△BFG为等腰直角三角形，得出∠GFB＝45°，再证明△AEF为等腰直角三角形，得出AE＝AF＝CG，则AE＝EH＝DH，推出BC＝3AE，BG＝2AE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形；
（2）解：由垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，如图1所示：
∵∠ABC＝90°，BD＝AC＝＝，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG，
∵四边形DEFG是垂等四边形，
∴EG＝DF，
∴EG＝DG；
②解：过点G作GH⊥AD于H，如图2所示：
则四边形CDHG为矩形，
∴CG＝DH，
由①得：EG＝DG，
∵GH⊥DE，
∴DH＝EH，
∴CG＝DH＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝CG，
∴AB﹣AF＝BC﹣CG，
即BF＝BG，
∴△BFG为等腰直角三角形，
∴∠GFB＝45°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝CG，
∴AE＝EH＝DH，
∴BC＝3AE，BG＝2AE，
∵BC＝nBG，
∴n＝＝＝．


24．【实践发现】
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　是　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　等边三角形　；进一步计算出∠MNE＝　60　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　15　°；
【拓展延伸】
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形；
【解决问题】
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26．折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段BA'的长度有1，4，7，11．请写出以上4个数值中你认为正确的数值为 　7，9　．
【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；
（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；
（4）先求出AT的范围，即可求解．
【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
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日期：2021/8/17 11:22:18；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298