2024年陕西省西安市雁塔区西安高新第三中学中考四模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，解题关键是掌握三视图的确定方法，根据从正面看到的图形确定即可．
【详解】解：这个常见的一种秤砣的主视图是
故选A．
3. 如图，直线，若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角相等，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据三角形外角的性质，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是的外角，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则，积的乘法法则，合并同类项法则，逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是同类项，不能相加，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
5. 如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理求得AD的长，进而通过特殊三角函数值求得角B的大小，进而求得AB长，进而可得到EF的长．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵E、F分别为AC、BC的中点
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6. 点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点．若，则的值为（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，将，代入得，是解题的关键．
详解】解：将，代入得，
，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由对称轴为直线，从而可得，，即可得出，把的坐标代入即可求得的值，表示出的值是解题的关键．
【详解】解：∵点和点均二次函数图象上，
∴对称轴是直线．
∴．
∵二次函数的顶点在轴上，
∴．
∴．
∴．
∴．
把的坐标代入得，．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 下列实数：，，，，，其中无理数有______ 个
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，是无理数，
，，是有理数，
∴无理数共计个，
故答案为：2．
10. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长．
【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，，
故答案为：
11. 雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键．
【详解】解：如图，取中点，连接，由对称性可知，所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为，连接，
∵六边形是正六边形，点是中心，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且，点D为的三等分点，若的面积为5，则k的值为 ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：设A点坐标为，则，利用得，整理可得，即可得到k的值．
【详解】解：设A点坐标为，则，，
∵点D为的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入双曲线，
∴．
故答案为：．
13. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，

由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值是为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算乘方、零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【详解】解：
．
15. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，把分式方程去分母，改为整式方程求解，再检验即可，掌握解分式方程的步骤是解题关键．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把 代入得：，
∴是原分式方程的解．
17. 如图，已知四边形是菱形，且，请用尺规作图法，在上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质，结合菱形的性质，连接，作的平分线，交于点，则点即为所求，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
【详解】解：如图，连接，作的平分线，交于点，则点即为所求，
，
则．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在四边形中，点E、F分别为对角线上的两点，且，连接、，若，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，先证明，再根据证明，可得，然后证明，可得答案．
【详解】∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
19. 自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
【答案】一共有21人，羊价为150元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x人，根据每人出5元，还差45元可知羊价为元，根据每人出7元，则还差3元可知羊价为元，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设一共有x人，
由题意得，，
解得，
∴，
答：一共有21人，羊价为150元．
20. 2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人，女生2人．
（1）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是 ；
（2）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）；
（2），图见解析．
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：

∵共有12种等可能结果，其中一男一女有8种，
∴P（恰好选到一男一女）
21. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，)
【答案】6.2米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题；
过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：在中，米，，
，
米，
过点作于点，于点，
则四边形为矩形，
，，
设米，
米，
斜坡坡比是：，
米，
米，
在中，
解得：，经检验是原方程的解，
答：点离地面的距离约为米．
22. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲．神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）求本次调查一共随机抽取了多少名学生的成绩；
（2）补全学生成绩条形统计图（写出计算过程）；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数；
（4）该校要对成绩为的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数．
【答案】（1）300名
（2）图见详解 （3）
（4）150名
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）直接将C组的人数除对应的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其他组的人即为D组人数，进而补全学生成绩条形统计图；
（3）用样本中优秀人数所占百分比乘得出优秀学生所在扇形对应圆心角的度数；
（4）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：（名）
答：本次调查一共随机抽取了300名学生的成绩．
【小问2详解】
D组人数为：（名）
补全学生成绩条形统计图如下：
【小问3详解】
竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，则D组和E组的学生为优秀学生，
则：
答：优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为.
【小问4详解】
（名）
答：估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数约为150名.
23. 临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜等特点而著称．现有甲、乙两家供货商销售临潼石榴，单价均为50元/箱，且两家各自推出了不同的优惠活动，具体如下：
甲供货商：按原价九折出售；
乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时，超出部分按原价的七折出售．
设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为y1，在乙供货商家购买的费用为y2．
（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？
【答案】（1），
（2）乙供货商
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用:
（1）根据“购买的费用=折扣×原价×购买箱数”写出关于x的函数表达式；分别根据“当时，购买的费用=原价×购买箱数”和“当时，购买的费用箱的费用+超出15箱那部分的费用”写出关于x的函数表达式即可；
（2）将分别代入关于x的函数表达式，计算对应的值并比较大小即可得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意，得；
当时，；
当时，；
综上，，
∴关于x的函数表达式为；关于x的函数表达式为．
【小问2详解】
解：当时，，，
∵，
∴在乙供货商购买费用更少．
24. 中，，O为上一点，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D．

（1）求证：平分；
（2）连接，若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；
（2）设交于F，连接，根据圆周角定理推论得到，由（1）得，根据相似三角形的性质得到，得到，由圆内接四边形性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【小问1详解】
连接，

∵切⊙O于D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
设交于F，连接，
∵为的直径，
∴，
由（1）得，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴．

25. 学校一处草坪上安装了一个固定位膋可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还可以上下移动，喷水时的出水速度及喷水口的装置不变，喷出的水呈抛物线形（如图1），其形状大小始终保持一致，只是喷水口距地面的高度可调，为了简化问题，我们固定喷水装置，不让其左右摆动．如图2，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，喷出的水达到最高点，此时距水平地面2．5米．

（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径．
（2）经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？
【答案】（1）浇水半径为8米
（2）若要浇水半径保持在6至10米，在保持出水速度不变的情况下，只需将喷水口的高度控制在0至4米的范围内
【解析】
【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，设抛物线顶点式即可求出，然后令即可求出浇水半径；
（2）由题意可知改变的长度，不改变抛物线的形状和大小，只是将抛物线向上或向下平移，设平移后的解析式为，当平移后浇水半径为6米时，相当于在抛物线上，当浇水半径为10米时，此时点在抛物线上，代入求解．
【小问1详解】
解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴把代入得：，
解得．
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，．
∴点的坐标为．
∴浇水半径为8米．
【小问2详解】
解：由题意，可知改变的长度，不改变抛物线的形状和大小，只是将抛物线向上或向下平移，
设平移后的解析式为，
当平移后浇水半径为6米时，相当于在抛物线上，即，解得，
此时相当于抛物线向下平移米，即喷水口在坐标原点，
当浇水半径为10米时，此时点在抛物线上，
即，解得，即将喷水口调整为距地面4米高，
综上所述，若要浇水半径保持在6至10米，在保持出水速度不变的情况下，只需将喷水口的高度控制在0至4米的范围内．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选对抛物线解析式得形式、掌握平移特点是关键．
26. 问题提出：
（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为 ．
问题探究：
（2）如图2，在等腰ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求的值．
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，ADBC，∠ABC＝60°，∠BCD＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛AMN和草坪BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，草坪的造价是每平米200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？
【答案】（1）8；（2）；（3）240000
【解析】
【分析】（1）圆上动点到直线距离的最值问题，直接过圆心向直线作垂线，即可求解；
（2）根据角平分线性质，得到FG＝FD，则S△ABF＝×AB×FG，S△BDF＝×BD×FD，因为FG＝FD，面积比等于，又因为三角形ABD为等腰直角三角形，所以＝，所以；
（3）因为，所以 ，总费用为400S△AMN＋200S△BNC，即总费用可转化为200S△BMN＋200S△BNC，所以当S△BMN＋S△BNC最小时，费用最小，又因为S△BMN＋S△BNC，且S△BMC为定值，所以当S△CMN最小时，费用最小，即MC边上的高最小时，S△CMN最小．
【详解】解：（1）点P到直线l距离的最大值，即过圆心O向直线l作垂交圆O于点P，
连接OA，
∵AB＝8，OC⊥AB，
∴AC＝4，
由勾股定理得：OC＝3，
∴PC＝8，
故答案为：8；
（2）过点F作FG⊥AB，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
又∵△ABC为等腰三角形，且AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
又∵FD⊥BC，FG⊥AB，
∴FG＝FD，
∴S△ABF＝×AB×FG，S△BDF＝×BD×FD，
∴；
（3）连接MC，过点A作AP⊥BC，
∵∠ABC＝60°，AB＝60，
∴BP＝30，AP＝30，
∴CD＝30，
设总费用为W，
∴W＝400S△AMN＋200S△BNC，
∴W＝200（2S△AMN＋S△BNC），
∴当2S△AMN＋S△BNC最小时，总费用最小，
又∵AM＝20米，BM＝40米，
∴2S△AMN＝S△BMN，
∴当2S△AMN＋S△BNC最小时，费用最小，
即S四边形BMNC最小时，费用最小，
又∵S四边形BMNC＝S△BMC＋S△CMN，
过点M作MH⊥BC，垂足为H，
∵∠ABC＝60°，BM＝40米，
∴BH＝20米，MH＝20米，MC＝40米，
∴∠BCM＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∴S△BMC＝×BC×MH＝×80×20＝800（平方米）
∴当S△CMN最小时，费用最小，
∴S△CMN＝×MC×NQ＝×40×NQ＝20NQ，
∴当NQ最小时，费用最小，
∵ND＝25米，
∴N点在以D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D向MC作垂线交⊙D于N点，交MC于Q，即此时NQ最小，
∵CQ＝15米，DQ＝45米，
∴NQ＝45−25＝20（米），
∴S△MNC最小值＝×40×20＝400（平方米），
∴S四边形BMNC最小值＝1200（平方米）
∴W最小值＝200×1200＝240000（元）．
【点睛】本题主要考查圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，属于压轴题，难度较大，综合性强，借助辅助圆是解决问题的关键．