2024年陕西省西安市雁塔区高新一中中考五模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A. 86B. 83C. 87D. 80
2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 如图，，平分，则（ ）

A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位后，与直线的交点可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A 10B. 12C. 16D. 18
7. 不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线不经过第三象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点，若四边形是正方形，则a的值为（ ）
A. B. C. D. 或
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是__．
10. 如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为______．
11. 小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形，和如图3所示的边长为1的正方形，则图1中菱形的边长为 __．
12. 已知点，，都在同一个反比例函数的图象上．若，，请写出一个符合条件的反比例函数表达式__．
13. 如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，过点D作，交边于点E．若，则线段的最大值为__．
三、解答题（共13小题，计81分）
14 解不等式：．
15. 计算：．
16. 解方程：．
17. 如图，等腰的顶角．请用尺规作图法，在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，，连接，．
求证：．

19. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
（1）从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
（2）现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
20. 我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答）
21. 某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树高度．（结果精确到．参考数据：）
22. 国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式；
（2）请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
23. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩（满分100分）如下：
65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85．
按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
40名学生知识竞答测试成绩频数分布表
根据上述数据，解答下列问题：
（1）将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图．
（2）这40名学生测试成绩的中位数落在 组内；若绘制扇形统计图，则“分”这组对应扇形的圆心角的度数是 ．
（3）该校将知识竞答测试成绩为“分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数．
24. 如图，在中，，是外接圆的切线，D在圆上，延长交于点F，且，连接．

（1）求证：；
（2）若外接圆的半径为5，，求的长．
25. 某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）与飞行高度y（单位：）的部分对应数值如表．
03根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域，，，若飞机能落到回收区域内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
26. （1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据

说明：线段表示所要测量树的高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为．测量者的眼睛距湖面的高度，点B，F在同一水平直线上，，点A，B，C，D，F在同一平面内．
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计）
分组
划记
人数（频数）
正
8
正正正
18
飞行水平距离x/m
0
20
30
50
80
…
飞行高度y/m
0
40
54
70
64
…