精品解析：2021年陕西省西安市雁塔区高新第一中学中考数学二模试题（解析版+原卷版）

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2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学二模试卷
一、选择题（共10题）
1. 的值是（　　）
A. 3 B. ﹣5 C. 3 D. ±3
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了求算术平方根，解题关键是明确算术平方根的定义，准确进行计算．
2. 2020年，面对严峻复杂的国内外环境特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，我国统筹推进疫情防控和经济社会发展工作，经济运行稳定恢复，就业民生保障有力，经济社会发展主要目标任务完成，情况均好于预期．国内生产总值达到了1016000亿元人民币，将数字1016000用科学记数法表示为（　　）
A. 1.016×106 B. 1.016×105 C. 10.16×106 D. 10.16×105
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1016000＝1.016×106．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 正比例函数y＝2x的图象经过点A(3，m)，B(﹣2，n)，则m与n的大小关系是（　　）
A. m＞n B. m＜n C. m＝n D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数的增减性即可得．
【详解】正比例函数中的一次项系数大于0，
随的增大而增大，
又点在正比例函数的图象上，且，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的增减性是解题关键．
4. 如图，直线m∥n，直线AB分别与直线m，n交于A，B两点，∠BAD的平分线交直线n于点C，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）

A. 108° B. 112° C. 118° D. 124°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠1＋∠3的度数，从而可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【详解】解：∵m∥n，
∴∠1＋∠3＝∠2，
∵∠1＝56°，
∴∠BAD＝124°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠3＝62°，
∴∠1＋∠3＝56°＋62°＝118°，
∴∠2＝118°，
故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握基础知识是关键．
5. 下列运算正确的是（　　）
A. a2+a3＝a5 B. （﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
C. ﹣3a2b÷（ab）＝﹣3ab D. （﹣b2）3＝b6
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则、乘法公式以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
B、（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2，故此选项正确；
C、﹣3a2b÷（ab）＝﹣3a，故此选项错误；
D、（﹣b2）3＝﹣b6，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项、乘法公式以及积的乘方运算、整式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．
详解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=，
故选C．
点睛：此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=5．
7. 将一次函数y＝2x+4图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案
【详解】设平移的距离为k（k＞0），
则将一次函数y=2x+4向右平移后所得直线解析式为：y=2（x-k）+4=2x-2k+4．
易求得新直线与坐标轴的交点为（k-2，0）、（0，-2k+4）
所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
变形得
解得k=5或k=-1（舍去）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接AE，根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到CE=AE=4，用勾股定理逆定理证明∠CED＝90°，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】如图，连接CE，
∵在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AB＝2，
∴OA=OC，CD=AB=2
∵OE⊥AC，AE＝4，
∴CE=AE=4，
∵DE＝2，，
∴，
∴△CDE是直角三角形，且∠CED=90°，
∴∠AEC=90°，
∴=．

故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行求解．
9. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
10. 抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解；
【详解】∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
二、填空题（共4小题）
11. 比较大小：_____4．
【答案】＞．
【解析】
【分析】将两个数进行变形，用根号表示，然后即可得出答案．
【详解】3＝＝，4＝，
∵＞，
∴3＞4．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握知识点是解题关键．
12. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，AF，则∠CAF的度数是__．

【答案】90°
【解析】
【分析】
先求出∠B和∠BAF的度数，再求出∠BAC，最后相减即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，
所以， ，
∴，
∴；
故答案为：90°．
【点睛】本题考查多求正多边形的内角的问题，同时涉及到了等腰三角形的性质等，解题的关键是熟记正多边形的性质，即每条边都相等，每个角都相等，牢记多边形的内角和公式等，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与运用．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为_____．

【答案】12
【解析】
【分析】设E点的坐标是（a，b），根据已知得出ab＝4，AE＝a，BE＝2a，求出OA＝b，AB＝3a，再根据矩形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
设E点的坐标是（a，b），
∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，
∴OA＝b，AB＝3a，
∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出ab=4是解此题的关键．
14. 如图，正方形ABCD中，AD＝4+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当PA＝PB时，则线段AE＝__．

【答案】2
【解析】
【分析】过点P作MN⊥AB于N，交CD于M，可证四边形ADMN是矩形，可得MN= AD＝4+2，由折叠的性质可得AD=DP=4+2，AE=PE，由勾股定理可求MP，AE的长．
【详解】如图，过点P作MN⊥AB于N，交CD于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD=4+2，CD∥AB，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∴四边形ADMN是矩形，
∴MN=AD=4+2，
由折叠可知：AD=DP=4+2，AE=PE，
∵PA=PB，
∴MN是AB的垂直平分线，
∴DM=CM=2+，AN=NB=2+，
∴MP=，
∴PN=1，
∵PE2=PN2+EN2，
∴AE2=1+（2+-AE）2，
∴AE=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（共11小题）
15. 解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．
【详解】解：，
解不等式①得；，
解不等式②得：，
则不等式组的解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
16. 先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝3．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=（x﹣1﹣）÷
＝
＝
＝
当x＝3时，原式＝．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的减法和除法法则，是解题的关键．
17. 如图，已知，为上一点，请用尺规作图的方法在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接PC，作PC的垂直平分线，与AC交于点Q即可.
【详解】解：如图，点Q即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是根据题意得到PQ=QC，从而确定作法.
18. 如图，在平行四边形中，为边上一点，且．求证：．

【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：由平行四边形的性质得：AB=DC，，证得，从而可证≌，故可得结论.
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，．
∵，
∴．
又，
∴≌，
∴．
19. 为了进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，为“创建文明城市”工作的开展营造浓厚的宣传氛围，某区创新宣传方式，组织学生利用“参观体验+知识竞赛”新模式开展安全宜传活动，并取得了良好的效果．赛后区团委随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理后按分数分组如下：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100，并绘制出如下不完整的统计图请你根据以上提供的信息，解决下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）这次竞赛成绩的中位数落在　 　组（填写字母）；
（3）某区共有2万名中学生，若竞赛成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该区竞赛成绩为“优”的学生有多少人？
【答案】（1）作图见解析；（2）C；（3）12000
【解析】
【分析】（1）用90-100分的人数除以所占的百分比得出总人数，然后用总人数乘以A组所占的百分比求出60-70分的人数，B组所占的百分比等于1减去其它三组所占的百分比之和，再补全频数分布直方图和扇形统计图即可；
（2）根据总人数和中位数的定义找出排名得出结论即可；
（3）计算样本的优秀率，用样本优秀率估计总体即可求解．
【详解】解：（1）由统计图可知本次抽取的总人数为（名），∴竞赛成绩在“A”组的人数为（名）；在扇形统计图中，“B”组所占的百分比为．
补全频数分布直方图和扇形统计图如解图：

（2）∵ 本次抽取的学生人数有900名，∴中位数应为将这组数据按照从小到大的顺序排列后，第450名和第451名学生成绩的平均数，由频数分布直方图可知中位数落在C组．
（3）∵成绩达到80分以上（含80分）的百分比为20%+40%=60%，
∴ 估计该区竞赛成绩为“优”的学生有20000×60%=12000（人）．
【点睛】本题考查扇形统计图与频率分布直方图，中位数以及用样本估计总体，结合扇形统计图与频率分布直方图求解出样本的总量是解题的关键．
20. 如图1，是一把躺椅的实物图，图2是躺椅支架的侧面放大示意图，∠BAC是一个可调节的角，小何通过调节∠BAC的角度使人躺着更舒适，经测量：当∠ABC＝58°，∠ACB＝32°时，∠BAC达到最佳角度，为了固定此时∠BAC的度数，需要在∠BAC内部加一支架DE，且AD＝BD，AE＝CE，已知AD＝20cm，求支架DE的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85；cos58°≈0.53；tan58°≈1.06；sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62）


【答案】
【解析】
【分析】由已知条件得到，DE＝BC，根据已知可判断∠BAC=90°，根据相似和解直角三角形，求出BC长，即可求出DE长．
【详解】解:，
，
∵AD＝BD，AE＝CE，
∴,
∵∠A=∠A，
∴，
∴
，
，
在中，，
，
，
∴支架DE的长约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，发现相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．
21. 为了更新学校教学设备，某校计划购买A、B两种型号的电脑共21台．已知A型电脑年台4500元，B型电脑每台3500元．设购买B型电脑x台，购买两种型号的电脑共需要费用y元．
（1）求y与x之间的函数关系式
（2）若购买B型电脑数量少于A型电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）；（2）费用最省的方案是购买B型电脑10台，A型电脑11台，所需费用为84500元．
【解析】
分析】（1）根据题意函数解析式即可；
（2）根据购买B型电脑的数量少于A型电脑的数量得到x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得解；
【详解】解：（1）；
（2）∵购买B型电脑的数量少于A型电脑的数量，
，
解得，
∵x为整数，∴x最大为10．
，
∴y随x的增大而减小．
∴当时，y有最小值，最小值为，
（台）．
∴费用最省的方案是购买B型电脑10台，A型电脑11台，所需费用为84500元．
【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的应用，准确计算是解题的关键．
22. 大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，始建于唐太宗贞观八年（634年）．小东周末乘坐公交车到遗址公园游玩，他从地图上查找路线时发现必须要换乘一次．在出发站点可供选择的有一辆空调车和两辆普通车，空调车用A表示，普通车分别用a、b表示，换乘站点可供选择的也有一辆空调车和两辆普通车，空调车用B表示，普通车分别用c、d表示．并且每辆车被选择的可能性相同．空调车投币2元，普通车投币1元（假设小东坐公交车时都选择投币）．
（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为　 　．
（2）请你用列表或画树状图的方法，求小东到达遗址公园恰好投币3元的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式得出答案；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，小东到达遗址公园恰好投币3元的结果有5个，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小东到达遗址公园恰好投币3元的结果有4个，
∴小东到达遗址公园恰好投币3元的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23. 如图，ABD内接于⊙O，过点A的切线交BD的延长线于点C，E是⊙O上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于点F
（1）求证：AD平分∠EAC；
（2）若AE＝8，tanE＝，求BD的长．

【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】
【分析】（1）根据AC是切线，AB是直径，可得∠BDA＝∠BAC＝90°．利用同弧所对圆周角相等，直角三角形锐角互余可得∠EAD＝∠DAC．即可求证．
（2）根据DE＝DA，作DH⊥AE于点H，结合tanE＝，即可求HD，AD．在Rt△ABD中即可求出BD的值．
【详解】（1）证明：∵AC是切线，AB是直径．
∴∠BDA＝∠BAC＝90°．
∴∠BAD+∠B＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°．
∴∠B＝∠DAC．
∵∠B＝∠E．
∴∠DAC＝∠E．
∵DE＝DA．
∴∠E＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠DAC．
∴AD平分∠EAC．
（2）作DH⊥AE于点H，如图：

∵DE＝DA，AE＝8．
∴AH＝HE＝4．
∵HD＝tanE•HE＝3，
∴AD＝5．
在Rt△ABD中．tanB＝tanE．
∴BD＝＝．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形等知识，比较综合，本题关键在于熟悉和掌握各个知识点，准确应用．
24. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1；y＝ax2+bx﹣6经过点A(﹣3，0)和点B(﹣1，0)，顶点为D．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点AD的对应点分别为、，是否存在以AD为边，且以A、D、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣6，(2)y＝2x2﹣4x或y＝2x2﹣8x+．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）分两种情形：如图1中，当点P在x轴上时，设P（m，0）．如图2中，当点P在y轴上时，设P（0，n）．分别构建方程求出点P的坐标解决问题即可．
【详解】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），
∴，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣6，化成顶点式为：y＝-2（x+2）2+2，则顶点D（﹣2，2）．
（2）如图1中，当点P在x轴上时，设P（m，0）．

当AP＝PD时，四边形AD′A′D是矩形，
∵A（﹣3，0），D（﹣2，2），
∴m+3＝，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，0），
∵PD＝PD′，
∴D′（1，﹣2），
∴旋转后抛物线C2的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2，即y＝2x2﹣4x．
如图2中，当点P在y轴上时，设P（0，n）．

当PA＝PD时，四边形AD′A′D是矩形，
则有＝，
解得n＝﹣，
∴P（0，﹣），
∵PD＝PD′，
∴D′（2，﹣），
∴旋转的抛物线C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣，即y＝2x2﹣8x+，
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：y＝2x2﹣4x或y＝2x2﹣8x+．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，旋转变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25. 问题探究
（1）如图①．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，则∠BCD的面积为　 　．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，点P在矩形内部，若PBC的面积是矩形ABCD面积的，求PB+PC的最小值．
（3）如图③，四边形ABCD为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接AP、CP，使得AP、CP将四边形ABCD分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着AP、CP修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望AP+CP最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：A(2，4)，C(6，0)，D(5，3)，请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．


【答案】(1)8，(2),(3) 存在满足要求的点P，作图见解析，坐标为：（3，1）．
【解析】
【分析】（1）根据两个三角形同底等高求出△ABC的面积即可；
（2）根据面积的关系可以求出△BCP边BC的高等于10，确定了点P在线段EH上运动，找出点B关于EH的对称点F，连接CF与EH交与点P，再利用勾股定理求出最小值；
（3）连接AC，BD，取BD的中点J，连接AJ，CJ，作JE∥AC，作点C关于直线JE的对称点C′，连接AC′交直线JE于点P，连接CP，则此时PA+PC的值最小，且折线AP，PC把四边形ABCD的面积分成相等的两部分，再利用一次函数的知识求解即可．
【详解】解：（1）∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°．
∴S△ABC＝4×4÷2＝8，
∵AD∥BC，
∴点A和点D到BC的距离相等，
∴S△BCD＝S△BCA＝8．
故答案为：8．
（2）过点P作EH∥BC，分别交AB、CD于点E和H，
∵ABCD为矩形，AB＝30，BC＝40，
∴当时，，即
∴EB＝10，
取点B关于EH的对称点F，BF=20，
由对称可得：FP＝BP，
∴BP+CP＝FP+PC，
当点F、P、C三点在同一条直线上时值最小．连接CF交EH于点P，
此时BP+CP最小，最小值为FC＝．

（3）如图，连接AC、BD，取BD的中点J，连接AJ、CJ，作JE∥AC，作点C关于直线JE的对称点C′，连接AC′交直线JE于点P，连接CP，则此时PA+PC的值最小，且折线AP，PC把四边形ACD的面积分成相等的两部分，

∵点J是BD的中点，
∴，
由A（2，4）、C（6，0）得到：直线AC的解析式：y＝﹣x+6，
设直线JE：y＝﹣x+m，将点J代入得：
，
解得：m＝4，
∴直线JE：y＝﹣x+4，
∵点C和C′关于直线JE对称，
∴点C′坐标为：（4，﹣2），
由A、C′两点可得：直线AC′的解析式为：y＝﹣3x+10，
将直线AC′和JE联立成方程组得：，
解得：，
∴存在满足要求的点P，坐标为：（3，1）．
【点睛】考查了轴对称最短问题，平行线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．