2023年陕西省西安市雁塔区高新唐南中学中考数学五模试卷(含解析)

2023年陕西省西安市雁塔区高新唐南中学中考数学五模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我市某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的最高气温与最低气温的差为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在▱中，下列判断不正确的是(    )

A. 若，则▱是菱形
B. 若，则▱是矩形
C. 若平分，则▱是菱形
D. 若，则▱是矩形

5.  已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是(    )

A. 一、二、四 B. 一、二、三 C. 一、三、四 D. 二、三、四

6.  如图，在中，，于点且，于点，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，内接于，，，点在上，连接、，与交于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在同一平面直角坐标系中，若抛物线与抛物线，关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  在实数，，，中，最小的一个数是______ ．

10.  如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则______度．

11.  七巧板起于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”，世纪传到国外，被称为“唐图”如图是由边长为的正方形薄板分为块制作成的“七巧板”，点是正方形的中心，点为的中点，该“七巧板”中块图形之一的正方形阴影部分面积为______ ．

12.  已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图象经过点，则 ______ ．

13.  如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
已知：如图，是上一点，，，求证：．

19.  本小题分
为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球据了解，买个篮球和个足球需要元；买个篮球和个足球需要元求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？

20.  本小题分
如图是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字，，，；转盘中圆心角为的扇形上面标有数字，其余部分上面标有数字小丽和小华玩游戏，规则如下：小丽自由转动转盘，小华自由转动转盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，将转得的数字相加，如果和为偶数，则小丽获胜；如果和为奇数，则小华获胜若指针落在分隔线上，则无效，需重新转动转盘
小丽转动转盘，转盘停止后指针指向数字的概率是______ ；
请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

21.  本小题分
如图，“丝绸之路群雕”刻画和表达了一队来往于丝路中途的中外混合的骆驼商旅，已成为西安著名的城市标志之一为了测量群雕某处的高度，小明和晓璐带着平面镜和皮尺去进行测量测量过程如下：如图，首先，小明在处放置了一面平面镜，然后沿后退，当小明蹲在点处时恰好能在平面镜中看到雕塑顶端的像，此时小明的眼睛到地面的距离米，米；然后小明在处起立站直，晓璐眼睛贴地观察发现地面上点、小明头顶和顶端重合，测得小明的身高米，米，，，点、、、在同一条水平线上，点在上，请你求出该处雕塑的高平面镜的大小、厚度忽略不计，晓璐眼睛贴地观察时眼睛到地面的距离忽略不计
 

22.  本小题分
年全国两会是中共二十大闭幕后的又一重大活动，意义非凡，为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，受到老师们的广泛关注和同学们的积极响应，为了解全校学生关注两会的情况，该校学生会随机抽查了部分学生在某一周阅读关于两会文章的篇数，并将统计结果绘制成如下的统计图表不完整．
调查学生某一周阅读关于两会文章篇数统计表

请你根据图表中提供的信息解答下列问题：
填空：扇形统计图中的度数为______ ，所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的中位数是______ ，众数是______ ；
按照学校规定“学生这一周阅读关于两会文章篇数不少于篇”为达标，若该学校大约有名学生，请你估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数．

23.  本小题分
西安文旅行业强势复苏，大雁塔的“古诗词街”成网红打卡点小华上周末去游览大雁塔和大唐不夜城，他从起点出发匀速步行到某处观看表演停留分钟，然后匀速步行到终点开元庆典广场，在开元庆典广场停留了分钟后，沿原路匀速返回起点已知小华从起点出发到返回起点共用时分钟，小华离起点的距离与他从起点出发的时间分钟之间的函数图象如图所示．

求小华从终点返回起点的过程中与分钟之间的函数关系式；
小华从终点返回时经过多长时间再次到达他停留观看表演的地方？

24.  本小题分
如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线：经过原点和点，顶点为，抛物线与抛物线关于原点对称．
求抛物线的函数表达式及点的坐标；
已知点、在抛物线上的对应点分别为、，的对称轴交轴于点，则抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题背景
如图内接于，过作的切线，在上任取一个不同于点的点，连接、，比较与的大小，并说明理由．
问题解决
如图，，，在轴正半轴上是否存在一点，使得最小？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
拓展应用
如图，在四边形中，，于，是上一点，，是右侧四边形内一点，若，，，，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
则这一天的最高气温与最低气温的差为．
故选：．
根据题意列出算式，计算即可求出值．
此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该锥形瓶的主视图的底层是等腰梯形，上层是矩形，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中
本题考查简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用积的乘方的法则及单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
时，▱是菱形，故选项A不符合题意；
时，则▱是菱形，故选项B符合题意；
若平分，则▱是菱形，故选项C不符合题意；
若，则▱是矩形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据矩形和菱形的判定方法，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查矩形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的判定和菱形的判定方法解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
根据正比例函数的性质可得出，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，于点且，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由直角三角形的性质求出的度数，由圆周角定理得到的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线：与抛物线：关于直线对称，
，
，
抛物线上的点在抛物线上的对应点坐标是，
，
，
解得，
，
在抛物线上的对应点坐标是，
故选：．
根据对称性得出，求得，把代入，求得的值，从而求得点坐标．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出点在抛物线上的对应点坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据实数的大小关系，得．
最小的一个数为．
故答案为：．
根据实数的大小关系解决此题．
本题主要考查实数的大小关系，熟练掌握实数的大小关系是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
是的外角，
，
故答案为：．
根据正五边形的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：连接到，

设，
则，
在中，，
，
，
即，
块图形之一的正方形阴影部分面积为．
故答案为：．
设，在中可得，即得，即得答案．
本题考查了正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
，
将代入中，
得，
解得，
故答案为：．
根据两点关于轴对称的点的坐标特点，求点坐标，将点坐标代入中求的值即可．
本题考查反比例的性质，要熟练掌握代入法求解析式，关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数等基本知识点．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接，在上截取，使得，连接作交的延长线于．
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
在中，，
由∽，可得，
，
，，
，
在中，，
，
的最小值为．
故答案为：．
设点关于的对称点为，在上截取，连接，可证与全等，从而，那么，、都是固定点，过点作于点，结合相似三角形和勾股定理即可求得，
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定、平面直角坐标系里面求两点之间的距离．这里把的最小值转化为平面直角坐标系里两点之间的距离是关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】解：不等式组，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所作．
 

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由，得，由，结合三角形外角，可得，进而可证≌，即可证得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质．
 

19.【答案】解：设每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元，
由题意得：，
解得：，
答：每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元． 

【解析】设每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元，由题意：买个篮球和个足球需要元；买个篮球和个足球需要元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：“小丽转动转盘，转盘停止后指针指向数字”的概率为，
故答案为：；
这个游戏规则对双方公平，理由如下：
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中和为偶数的结果有种，和为奇数的结果有种，
小丽获胜的概率为，小华获胜的概率为，
小丽获胜的概率小华获胜的概率，
这个游戏规则对双方公平．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了游戏公平性以及树状图法求概率，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
 

21.【答案】解：由题意可得：，，，
∽，∽，
，，
，，
，
该处雕塑的高为米． 

【解析】根据已知条件证得∽，∽，根据相似三角形的性质即可求出．
本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件证得∽，∽是解决问题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：本次所调查学生人数为：名；
扇形统计图中的度数为；
调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的中位数是，众数是．
故答案为：；；；
名，
答：估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数大约为名．
先用阅读篇的人数除以可得样本容量，用乘样本中阅读关于两会文章篇数篇的人数所占比例即可求出的度数；再根据中位数和众数的定义解答即可；
用样本估计总体，即用乘样本中“学生这一周阅读关于两会文章篇数不少于篇”所占比例即可．
本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：已知小华从起点出发到返回起点共用时分钟，
小华返回到起点时的坐标为，
将图象补充完整如下：

由题意及函数图象可知：小华从终点开始返回起点时的坐标为，返回到起点时的坐标为，
设小华从终点返回起点的过程中与时间分钟之间的函数关系式为，
则，
解得，
小华从终点返回起点的过程中与时间分钟之间的函数关系式为；
中，
当时，，
解得：，
分钟，
即小华从终点返回时经过分钟再次到达他停留观看表演的地方． 

【解析】根据题意将图象补充完整即可；由题意及函数图象可知：小华从终点开始返回起点时的坐标为，返回到起点时的坐标为，运用待定系数法求出与时间分钟之间的函数关系式即可；
由题意及函数图象，求出中，当时对应的的值，从而得出结论．
本题考查一次函数的应用，关键是根据图中信息列出函数解析式．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
；
解：如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质可得，再由等弧所对的圆周角相等可得，从而证明，可得，即可证明．
连接，由题意可证四边形是菱形，可得是等边三角形，从而可得，根据直角三角形的性质可得，即可求出结果．
本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：把点代入，得：，
解得：，
，
顶点，
抛物线与抛物线关于原点对称，
抛物线的函数表达式为；
存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．
点、在抛物线上的对应点分别为、，
，，
，
，
，
，
抛物线与抛物线关于原点对称，
点、与点、分别关于原点对称，
，，，
点在点上方，则，
若，
则，即，
，
点的坐标为；
若，
则，即，
，
；
若在点的下方，则中没有的内角，
与不可能相似，
综上所述，满足条件的点的坐标为或 

【解析】运用待定系数法先求出抛物线的解析式，利用配方法化为顶点式，再根据中心对称性质求出抛物线的解析式；
根据中心对称性质和相似三角形性质，分两种情况：点在点上方或点在点的下方，分别进行讨论即可．
本题考查了二次函数的综合，运用待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，相似三角形的判定与性质，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式等知识，综合性较强，有一定难度，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识并灵活运用分类讨论思想及数形结合思想是解题关键．
 

26.【答案】解：问题背景：
如图，设直线交于点，连接，

则，
而，
；

问题解决：
如图，过点、作与轴相切于点，连接、、，

轴的坐标轴上的点除了点外都在圆外，
最大，即最小，
由点、的坐标，根据中点公式得，点的纵坐标为，
设点，则点，
点、都是圆上的点，
，
，解得：舍去负值，
故点的坐标为：；

拓展应用：
过点作于点，过点作于点，延长到点使，
过点作的平行线，过点作于点，交于点，以为直径作交直线于点，

在梯形中，，，则，
，解得：，
在等腰直角三角形中，，
，
，
直线，
，
从面积看，点符合点的条件，即点可以和点重合，
，而直线，
，
而，
故为等腰直角三角形，
，
，则，
，
与直线有两个交点，则点符合题设中点的条件，
是直径，
，
故的最大值为． 

【解析】问题背景：设直线交于点，连接，由外角的知识即可求解；
问题解决：过点、作与轴相切于点，连接、、，轴的坐标轴上的点除了点外都在圆外，即可求解；
拓展应用：求出，而，从面积看，点符合点的条件，即点可以和点重合；由，则与直线有两个交点，则点符合题设中点的条件，即可求解．
此题属于圆的综合题，涉及了梯形和等腰直角三角形的性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．