2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷附解析

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷附解析，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠2＝70°，则∠A等于（ ）
A．46°B．45°C．40°D．30°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+4a3＝7a5B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a3D．2a2•3a＝6a3
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，tanB＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（ ）
A．B．2C．D．
6．（3分）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点．若y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
7．（3分）如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝55°．若D为弧AB上一点，∠AOD＝75°，OD∥CB，则∠OAC的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（m﹣2，n）和点B（m+6，n），其顶点在x轴上，则n的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）下列实数：① ②，③ ④0，⑤﹣1.010010001，其中无理数有 个．
10．（3分）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB＝2，则AC的长是 ．
11．（3分）雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形ABCDEF（如图所示），连结CF，若G是AB边上的中点，连结GE，则的值为 ．
12．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为 ．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 ．
三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图9，已知四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝56°，请用尺规作图法，在BC上找一点E，使∠BAE＝31°．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE、CF，若∠BFC+∠AEB＝180°，AE＝CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
19．（5分）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
20．（5分）2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人，女生2人．
（Ⅰ）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是 ；
（Ⅱ）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率．
21．（6分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，
22．（7分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图.
（1）学生成绩众数落在 组，中位数落在 组，并补全学生成绩条形统计图；
（2）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为 ；
（3）该校要对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数．
23．（7分）临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜等特点而著称．现有甲、乙两家供货商销售临潼石榴，单价均为50元/箱，且两家各自推出了不同的优惠活动，具体如下：
甲供货商：按原价九折出售；
乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时，超出部分按原价的七折出售．
设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为y1，在乙供货商家购买的费用为y2．
（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？
24．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为⊙心，OA为半径的⊙与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接DE，若AB＝2BD，求cs∠CDE的值．
25．（8分）学校一处草坪上安装了一个固定位置可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还可以上下移动，喷水时的出水速度及喷水口的装置不变，喷出的水呈抛物线形（如图1），其形状大小始终保持一致，只是喷水口距地面的高度可调，为了简化问题，我们固定喷水装置，不让其左右摆动．如图2，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，喷出的水达到最高点，此时距水平地面2.5米．
（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径（OD）．
（2）经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？
26．（10分）（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为 ．
问题探究：
（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，草坪的造价是每平米200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？
2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【答案】C
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵，
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2．（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得它的主视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠2＝70°，则∠A等于（ ）
A．46°B．45°C．40°D．30°
【答案】A
【分析】先根据对顶角相等得出∠ADB的度数，再由平行线的性质求出∠DBC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝24°，
∴∠ADB＝∠1＝24°．
∵直线a∥b，∠2＝70°，
∴∠DBC＝∠2＝70°．
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠A＝∠DBC﹣∠ADB＝70°﹣24°＝46°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+4a3＝7a5B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a3D．2a2•3a＝6a3
【答案】D
【分析】根据同底数幂的运算法则，积的乘法法则，合并同类项法则，逐个判断即可．
【解答】解：A、3a2+4a3，不是同类项，不能相加，故A不正确，不符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不正确，不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不正确，不符合题意；
D、2a2⋅3a＝6a3，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，tanB＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据已知可得∠B＝60°，先在RtACD中求出AD的长，再在Rt△ABD中求出AB的长，最后利用三角形的中位线定理即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝2，∠C＝45°，
∴AD＝ACsin45°＝2×＝2，
∵tanB＝，
∴∠B＝60°，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝4，
∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点．若y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
【答案】A
【分析】将（a，y1），（a+2，y2）分别代入函数y＝kx+b，可得y1＝ak+b，y2＝k（a+2）+b，再根据 y1﹣y2＝﹣6，即可得到k的值．
【解答】解：∵A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点，
∴y1＝ak+b，y2＝k（a+2）+b，
∵y1﹣y2＝﹣6，
∴（ak+b）﹣[k（a+2）+b]＝﹣6，
∴k＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．
7．（3分）如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝55°．若D为弧AB上一点，∠AOD＝75°，OD∥CB，则∠OAC的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
【答案】B
【分析】延长DO交AC于点E，根据平行线的性质得出∠CED＝180°﹣∠ACB＝125°，根据邻补角得出∠EOA＝105°，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【解答】解：如图所示，延长DO交AC于点E，
∵∠ACB＝55°，OD∥CB
∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝125°，
∵∠AOD＝75°，
∵∠EOA＝105°，
∴∠CAO＝∠CED﹣∠AEO＝125°﹣105°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质和圆周角是关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（m﹣2，n）和点B（m+6，n），其顶点在x轴上，则n的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】依据题意，由对称轴为直线x＝﹣＝，从而可得b＝﹣2（m+2），c＝（m+2）2，即可得出y＝x2﹣2（m+2）x+（m+2）2，把A的坐标代入即可求得n的值．
【解答】解：∵点A（m﹣2，n）和点B（m+6，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
∴对称轴是直线x＝﹣＝．
∴b＝﹣2（m+2）．
∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，
∴b2﹣4c＝0．
∴[﹣2（m+2）]2﹣4c＝0．
∴c＝（m+2）2．
∴y＝x2﹣2（m+2）x+（m+2）2．
把A的坐标代入得，n＝（m﹣2）2﹣2（m+2）（m﹣2）+（m+2）2＝16．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出b、c的值是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）下列实数：① ②，③ ④0，⑤﹣1.010010001，其中无理数有 2 个．
【答案】2．
【分析】根据无理数的定义即可判断．
【解答】解：下列实数：① ②，③ ④0，⑤﹣1.010010001，其中是无理数的为：②③，共计2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的无限不循环小数．
10．（3分）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB＝2，则AC的长是 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11．（3分）雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形ABCDEF（如图所示），连结CF，若G是AB边上的中点，连结GE，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，取DE的中点H，连接GH，由对称性可知，GH所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为O，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是中心，
∴∠BOC＝＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是正三角形，
∴OB＝OC＝BC，
在Rt△BOG中，设BG＝x，则OB＝2x，
∴OG＝＝x，
∴GH＝2OG＝2x，
在Rt△EGH中，设HE＝x，GH＝2x，
∴GE＝＝x，
∵CF＝2OB＝4x，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键．
12．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为 ．
【答案】．
【分析】设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b＝a×b+5+×2a×b，整理可得ab＝，即可得到k的值．
【解答】解：设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
点D为OB的三等分点（DB＜OD），
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+5+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 ．
【答案】．
【分析】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出的值即可．
【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【答案】﹣．
【分析】首先计算乘方、零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣|﹣2|+1+
＝﹣1﹣（2﹣）+1+
＝﹣1﹣2++1+
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
15．（5分）解不等式组．
【答案】x＞．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由②得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x＞．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（5分）解方程：．
【答案】无解．
【分析】把分式方程去分母，改为整式方程求解，再检验即可．
【解答】解：，
去分母得：2x﹣3+2x﹣1＝﹣2，
解得：，
检验：把x＝ 代入得：2x﹣1＝0，
∴ 是增根，分式方程无解．
【点评】本题考查分解因式，解分式方程．掌握综合提公因式和公式法分解因式，解分式方程的步骤是解题关键．
17．（5分）如图9，已知四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝56°，请用尺规作图法，在BC上找一点E，使∠BAE＝31°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解答．
【分析】结合菱形的性质，连接AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，则点E即为所求．
【解答】解：如图，连接AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，
则∠BAE＝∠CAE．
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝124°，
∴∠BAC＝∠DAC＝62°，
∴∠BAE＝31°，
则点E即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE、CF，若∠BFC+∠AEB＝180°，AE＝CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】连接AF，CE，AC，设AC与BD交于点O，先证AE∥CF，再证四边形AFCE是平行四边形，则OA＝OC，OF＝OE，然后证OD＝OB，即可得出结论．
【解答】证明：连接AF，CE，AC，设AC与BD交于点O，
∠BFC+∠AEB＝180°，∠BFC+∠EFC＝180°，
∴∠AEB＝∠EFC，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴OA＝OC，OF＝OE，
∵DF＝BE，
∴DF﹣OF＝BE﹣OE，
即OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．（5分）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
【答案】21人共同出资买羊，羊价是150元．
【分析】设x人共同出资买羊，根据“每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出共同出资买羊的人数，再将其代入5x+45中，即可求出羊的价格．
【解答】解：设x人共同出资买羊，
根据题意得：5x+45＝7x+3，
解得：x＝21，
∴5x+45＝5×21+45＝150（元）．
答：21人共同出资买羊，羊价是150元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．（5分）2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人，女生2人．
（Ⅰ）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是 ；
（Ⅱ）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）．
（2）表示所有可能的结果见解答；．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果，以及恰好选中一男一女的结果，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，恰好选中男生的概率是．
故答案为：．
（Ⅱ）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果．
其中恰好选中一男一女的结果有8种，
∴恰好选中一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（6分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，
【答案】点D离地面的距离约为6.2米．
【分析】根据正切的定义求出AB；过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°，
∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米），
过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，
则四边形HBGD为矩形，
∴BH＝DG，DH＝BG，
设DG＝x米，
∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米，
∵斜坡CD的坡比是i＝1：6，
∴CG＝6x米，
∴BG＝（20+6x）米，
在Rt△AHD中，tan∠ADH＝，
∴≈0.75，
解得：x≈6.2，
经检验，x是原方程的解，
答：点D离地面的距离约为6.2米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（7分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图.
（1）学生成绩众数落在 C 组，中位数落在 C 组，并补全学生成绩条形统计图；
（2）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为 108° ；
（3）该校要对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数．
【答案】（1）C；C；统计图见解答过程；
（2）108°；
（3）估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数大约为150名．
【分析】（1）求出众数与中位数，用总人数乘25%可得D组人数，进而补全学生成绩条形统计图；
（2）用样本中优秀人数所占百分比乘360°得出优秀学生所在扇形对应圆心角的度数；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）90÷30%＝300（名），
D组人数为：300×25%＝75（名），
∴众数90落在C组，中位数落在C组，
补全学生成绩条形统计图如下：
故答案为：C；C；
（2）360°×＝108°，
∴优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为108°，
故答案为：108°；
（3）3000×＝150（名），
答：估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数大约为150名．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（7分）临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜等特点而著称．现有甲、乙两家供货商销售临潼石榴，单价均为50元/箱，且两家各自推出了不同的优惠活动，具体如下：
甲供货商：按原价九折出售；
乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时，超出部分按原价的七折出售．
设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为y1，在乙供货商家购买的费用为y2．
（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？
【答案】（1）y1＝45x（x≥0），y2＝；
（2）乙供货商．
【分析】（1）根据“购买的费用＝折扣×原价×购买箱数”写出y1关于x的函数表达式；分别根据“当0≤x≤15时，购买的费用＝原价×购买箱数”和“当x＞15时，购买的费用＝15箱的费用+超出15箱那部分的费用”写出y2关于x的函数表达式即可；
（2）将x＝40分别代入y1，y2关于x的函数表达式，计算对应y1，y2的值并比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得y1＝0.9×50x＝45x；
当0≤x≤15时，y2＝50x；
当x＞15时，y2＝50×15+0.7×50（x﹣15）＝35x+225；
综上，y2＝，
∴y1关于x的函数表达式为y1＝45x（x≥0）；y2关于x的函数表达式为y2＝．
（2）当x＝40时，y1＝45×40＝1800，y2＝35×40+225＝1625，
∵1800＞1625，
∴在乙供货商购买费用更少．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据“购买的费用＝折扣×原价×购买箱数”写出y1关于x的函数表达式；分别根据“当0≤x≤15时，购买的费用＝原价×购买箱数”和“当x＞15时，购买的费用＝15箱的费用+超出15箱那部分的费用”写出y2关于x的函数表达式是解题的关键．
24．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为⊙心，OA为半径的⊙与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接DE，若AB＝2BD，求cs∠CDE的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；
（2）设AB交⊙O于F，连接DF，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，由（1）得∠ODB＝90°，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）设AB交⊙O于F，
连接DF，
∵AF为⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°，
由（1）得∠ODB＝90°，
∴∠ODA＝∠BDF＝∠OAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BAD，
∴，
∴tan∠AFD＝2，
∵四边形AEDF内接于⊙O，
∴∠CED+∠AED＝∠AED+∠AFD＝180°，
∴∠CED＝∠AFD，
∴tan∠CED＝tan∠AFD＝2，
∵∠ACD＝90°，
∴，
设CE＝a，则CD＝2a，
∴DE＝＝，
∴cs∠CDE＝．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）学校一处草坪上安装了一个固定位置可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还可以上下移动，喷水时的出水速度及喷水口的装置不变，喷出的水呈抛物线形（如图1），其形状大小始终保持一致，只是喷水口距地面的高度可调，为了简化问题，我们固定喷水装置，不让其左右摆动．如图2，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，喷出的水达到最高点，此时距水平地面2.5米．
（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径（OD）．
（2）经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？
【答案】（1）y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5；浇水半径为8米；
（2）喷水口的高度应控制在0米至4米范围内．
【分析】（1）由题意设此时对应抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5（a＜0），把点（0，1.6）代入，求出a，即可得出抛物线的解析式，再求出当y＝0时，对应的x的值即可；
（2）由题意可设此抛物线形的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+k，分别求出：抛物线经过点（6，0）和抛物线经过点（10，0）时的喷水口的高度可得出结论．
【解答】解：（1）∵喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，喷出的水达到最高点，此时距水平地面2.5米，即对应的抛物线顶点坐标为（3，2.5），且经过（0，1.6），
∴设此时对应抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5（a＜0），把点 （0，1.6）代入，得：
1.6＝a•（0﹣3）2+2.5，
解得：a＝﹣0.1，
∴当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，
当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴浇水半径为8米；
（2）∵喷水口上下移动，喷水时的出水速度及喷水口的装置不变，喷出的水呈抛物线形，其形状大小始终保持一致，只是喷水口距地面的高度可调，
∴设此抛物线形的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+k，
若抛物线经过点（6，0），则0＝﹣0.1×（6﹣3）2+k，
解得：k＝0.9，
此时抛物线为y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9，
当x＝0时，y＝﹣0.1×（0﹣3）2+0.9＝0，即此时喷水口的高度为0米；
若抛物线经过点（10，0），则 0＝﹣0.1×（10﹣3）2+k，
解得：k＝4.9，此时抛物线为y＝﹣0.1（x﹣3）2+4.9，
当x＝0时，y＝﹣0.1×（0﹣3）2+4.9＝4，即此时喷水口的高度为4米，
综上所述，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在0米至4米范围内．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
26．（10分）（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为 8 ．
问题探究：
（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，草坪的造价是每平米200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）考察摩天轮模型，圆上动点到直线距离的最值问题，直接过圆心向直线作垂线；
（2）根据角平分线性质，得到FG＝FD，则S△ABF＝×AB×FG，S△BDF＝×BD×DF，因为FG＝FD，面积比等于，又因为三角形ABD为等腰直角三角形，所以，则可得出答案；
（3）连接MC，过点A作AP⊥BC于点P，总费用为400S△AMN+200S△BNC，即总费用可转化为200S△BMN+200S△BNC，所以当S△BMN+S△BNC最小时，费用最小，又因为S△BMN+S△BNC，且S△BMC为定值，所以当S△CMN最小时，费用最小，即MC边上的高最小时，S△CMN最小．
【解答】解：（1）点P到直线l距离的最大值，即过圆心O向直线l作垂线交圆O于点P，
连接OA，
∵AB＝8，OC⊥AB，
∴AC＝4，
由勾股定理得：OC＝3，
∴PC＝8，
故答案为：8；
（2）过点F作FG⊥AB，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
又∵△ABC为等腰三角形，且AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
又∵FD⊥BC，FG⊥AB，
∴FG＝FD，
∴S△ABF＝×AB×FG，S△BDF＝×BD×DF，
∴；
（3）连接MC，过点A作AP⊥BC于点P，
∵∠ABC＝60°，AB＝60，
∴BP＝30，AP＝30，
∴CD＝30，
设总费用为W元，
∴W＝400S△AMN+200S△BNC，
∴W＝200（2S△AMN+S△BNC），
∴当2S△AMN+S△BNC最小时，总费用最小，
又∵AM＝20米，BM＝40米，
∴2S△AMN＝S△BMN，
∴当S△BMN+S△BNC最小时，费用最小，
即S四边形BMNC最小时，费用最小，
又∵S四边形BMNC＝S△BMC+S△CMN，
过点M作MH⊥BC，垂足为H，
∵∠ABC＝60°，BM＝40米，
∴BH＝20米，MH＝20米，MC＝40米，
∴∠BCM＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∴S△BMC＝＝800（平方米），
∴当S△CMN最小时，费用最小，
∴S△CMN＝×NQ＝20NQ，
∴当NQ最小时，费用最小，
∵ND＝25米，
∴N点在以D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D向MC作垂线交⊙D于N点，交MC于Q，即此时NQ最小，
∵CQ＝15米，DQ＝45米，
∴NQ＝45﹣25＝20（米），
∴S△MNC最小值＝×20＝400（平方米），
∴S四边形BMNC最小值＝1200（平方米）
∴W最小值＝200×1200＝240000（元），
【点评】本题是圆的综合题，主要考查圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，借助辅助圆是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/11 9:41:09；用户：因材教育；邮箱：307053203@qq.cm；学号
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