2024年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考六模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了0指数幂．利用0指数幂的定义“任何非零数的零次幂等于1”即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
2. 如图，在水中平行的光线（），经过折射，在空气中也是平行的（）若杯底与水面平行（），，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质先求出的度数，进而求出的度数即可得到答案．
【详解】解；∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力．运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、不能合并，故错误，不合题意；
故选：B．
4. 正比例函数图象上一点P到x轴的距离与y轴距离之比为2，且y的值随x值的增大而减小，则k的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，点到坐标轴的距离，设，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值可得，则，再由y的值随x值的增大而减小，得到，则．
【详解】解；设，
∵点P到x轴的距离与y轴距离之比为2，
∴，
∴，
∵y的值随x值的增大而减小，
∴，
∴，
故选：A．
5. 如图，在中，，分别为的高线和中线，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，直角三角形的性质，先由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，接着利用等面积法求出，则由余弦的定义可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵是的高线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形对角线的长为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，
连接，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵四边形是菱形
∴
∵四边形是正方形
∴
∴和共线
∴是等腰直角三角形
∵正方形的边长为4，
∴
∴
∵菱形的边长为3，
∴
∴
∴．
故选：C．
7. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径圆周角是直角，如图所示，连接，则，求出，则由圆内接四边形对角互补可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故选：A．
8. 已知点在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据顶点处的函数值大于其他位置的函数值可得抛物线开口向下，则，再由对称轴计算公式得到，即，据此可判断C、D；根据现有条件，无法得到，的大小关系，据此可判断A、B．
【详解】解：∵是抛物线的顶点，且，
∴在顶点处有最大值，
∴抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，故C结论错误，不符合题意；
∴，故D结论正确，符合题意；
根据现有条件，无法得到，的大小关系，故A、B结论错误，不符合题意；
故选；D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 下列各数0，，，中，无理数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：下列各数0，，，中，无理数是，
故答案为：．
10. 如图，一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成，则n的值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了平面镶嵌和正多边形内角和定理，根据平面镶嵌原则可得正n边形的一个内角的度数为，据此根据多边形内角和计算公式建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，正n边形的一个内角的度数为，
∴，
解得，
故答案为：8．
11. 南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中称：“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦．弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同．”这就是“勾中容横，股中容直”原理．用数学语言描述为：如图，在矩形中，点是边上一点，过点作，交于点，交对角线于点，过点作，交于，交于，则四边形与四边形面积相等．若，连接，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，根据题意四边形与四边形面积相等，，则，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，，,
∴
∵四边形与四边形面积相等，
∴，
故答案为：．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，点为线段的中点，过作轴，交该反比例函数图象于点，交轴于点，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，根据题意画出图形，进而设，则，根据得出的坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，
设，则，
∵轴，
∴
∴
∴，
∴
故答案为：．
13. 如图，在四边形ABCD中，，点E为边上一点，，P为边上动点，以为直角边在右侧作，使得，，连接、，则与差的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点Q作，过点D作，证明出，得到，求出，点Q作交于点，得到点Q的轨迹为直线上的线段，当点C，Q，D三点共线时，与差有最大值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可．
详解】如图所示，过点Q作，过点D作，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
∵
∴过点Q作交于点
∴点Q的轨迹为直线上的线段
∴
∴当点C，Q，D三点共线时，与差有最大值，即的长度
∵
∴
∵
∴四边形是矩形
∴，
∵
∴
∴
∴与差的最大值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是得到点Q的轨迹．
三、解答题（共13小题，计81分．解答题应写出过程）
14. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
15. 求不等式的正整数解．
【答案】不等式组的正整数解为1、2、3
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的正整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为1、2、3．
16 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．
【详解】解：
17. 如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行线的尺规作图，过点P作交于Q，则点Q即为所求．
【详解】解：如图所示，过点P作交于Q，则点Q即为所求．
由平行线间间距相等可得P、Q到的距离相等．
18. 如图，在中，，点在边上，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
19. 某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？
【答案】宣传组原有38人．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设宣传组原有x人，
由题意，得：，
解得：．
答：宣传组原有38人．
20. 经典润长安，诗意颂中华，某校在七年级开展诗词大会活动．大会将学生分为5个小组，5个小组派代表依次从“春”“雨”“云”“月”“花”五张主题卡片中随机摸出一张（不放回），根据所抽到主题字进行比赛，
（1）第一组抽到“月”的概率为__________；
（2）第一组和第二组都擅长“雨”和“花”为主题字的诗句，用画树状图或列表的方法，求第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长的主题字的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是概率公式求概率，用树状图法求概率．
（1）根据概率的定义即可解决．
（2）通过表格列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：∵有“春”“雨”“云”“月”“花”五张卡片，
∴第一组抽到“月”的概率为；
【小问2详解】
列表格得：
由表格可知，一共有25种等可能的结果，其中她们至少有一人抽到自己擅长的主题字的有16种可能，所以她们至少有一人抽到自己擅长的主题字的概率为．
21. “刻漏”是我国古代一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置，先在甲容器里加满水，此时甲容器水面高度经测量为．小组实验操作得到了如下的测量数据，通过研究发现可以用一次函数近似地刻画甲容器水面高度h与流水时间t的关系．

（1）求甲容器水面高度h与流水时间t的函数表达式
（2）经过一段时间后，综合实践小组测量甲容器水面高度为，求流水时间多少？
【答案】（1）
（2）流水时间是
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中求出t的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设甲容器水面高度h与流水时间t的函数表达式为，
把代入中得：，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
解得，
∴流水时间是．
22. 2024年4月25日神州十八号载人飞船与长征火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功．为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，学校组织学生观看了相关报道，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级若干名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表：
学生成绩频数分布表
学生成绩频数分布直方图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中__________，__________，并补全频数直方图；
（2）已知频数分布表中五个分组的平均成绩分别为55分、65分、75分、85分、95分，求所抽取的所有学生成绩的平均数；
（3）若该校八年级有200名学生，成绩在80分及以上的学生可获奖，估计此次知识竞赛八年级获奖学生有多少人？
【答案】（1）50，0.28，见解析
（2）78.2 （3）估计此次知识竞赛八年级获奖学生有96人．
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．
（1）首先由组的人数和频率求出总人数m，然后用的人数除以总人数即可求出n，然后用总人数乘以组的频率即可求出a，然后补全频数直方图即可；
（2）根据平均数的计算方法求解即可；
（3）用200乘以成绩在80分及以上的频率求解即可．
【小问1详解】
（人）
，
（人）
补全频数直方图如下：
【小问2详解】
∴所抽取的所有学生成绩的平均数为；
【小问3详解】
（人）
∴估计此次知识竞赛八年级获奖学生有96人．
23. 西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计）
【答案】鼓楼的高度为
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，先证明得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：设，
由题意得，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由光的反射定律可知，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴鼓楼的高度为．
24. 如图，是的直径，是弦，点是弧的中点，弦与交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，取的中点，连接．若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）如图1，连接，．由，根据为的切线得出，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明，可得；
（2）过作，垂足为．设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，．
∵，
∴．
∵为的切线．
∴，即
∵是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵
∴．
∴
【小问2详解】
解：如图，过作，垂足为．
设的半径为，则．
在中，，
解得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵为中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
25. 已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．
（2）将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．
若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，两点中点坐标公式，求二次函数解析式等等：
（1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出点P的坐标；
（2）先求出点A的坐标，设，，再分当为对角线时，当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点P的坐标为；
【小问2详解】
解：在中，当，
解得或，
∴，
设，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上所述，存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形．
26. （1）如图1，在边长为6的等边中，点D为边上一点，且．若边上存在一点E，使得线段将分成面积相等的两部分，求的长度．
（2）如图2，某城市开发区有一块空地，为一条长的道路，为一条长的道路，且．现在为了优化居住环境，开发区政府计划进一步开发利用这块空地，根据美观性、实用性等设计要求，，同时计划过中点M设置一个入口，修建一条笔直的观景大道（点N在线段上）．请问是否存在符合设计要求的线段，使得观景大道将四边形的面积分成相等的两部分且四边形的面积最大．若存在，请计算的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在，的长为
【解析】
【分析】（1）过作交于，由等边三角形的性质得，，从而求出，由三角形的面积可求出，即可求解；
（2）过作交于，连接，过作交于，由等腰三角形的性质，结合勾股定理可求出和的值，由三角形面积求出和，从而可求出，当取得最大值时，取得最大值，可判断点在圆心角为的上运动，当垂直平分时，最大，由可求出，的最大值为：，从而可求，由正切的三角函数可求 ，可求，过作交于，过作交于，与交于，由平行线可得 ，由相似三角形的性质得，由此可求出和， 由可求梯形的面积， 由可求，从而可求，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过作交于，

是等边三角形，
，
∴，
∴，
，
，
，
解得：，
，
故的长度；
（2）存在；
如图，过作交于，连接，过作交于，

，
，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，

如图，点在圆心角为的上运动，
当垂直平分时，最大，
，，
，，
，
的最大值为：
∴，
，
如下图，

，
在中，
，
，
，
如下图，过作交于，过作交于，与交于，

四边形，四边形均是矩形，
，，，
在中，，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
故存在符合设计要求的线段，使得观景大道将四边形的面积分成相等的两部分且四边形的面积最大，此时的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角形函数，垂径定理，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，“割补法”求面积，能根据题意作出恰当的辅助线，能确定点的运动轨迹，找出面积取得最大值的条件是解题的关键．
春
雨
云
月
花
春
春春
春雨
春云
春月
春花
雨
雨春
雨雨
雨云
雨月
雨花
云
云春
云雨
云云
云月
云花
月
月春
月雨
月云
月月
月花
花
花春
花雨
花云
花月
花花
流水时间t/
0
20
30
水面高度h/（观察值）
27
分组分
频数
频率
4
0.08
a
0.20
12
0.24
14
n
10
0.20
合计
m
1.00