2023-2024学年北京八十中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京八十中八年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，12，13B．C．D．4，5，6
2．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．与可以合并B．与可以合并
C．与可以合并D．与可以合并
5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0
B．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
C．如果两个数相等，那么它们的平方相等
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3C．×＝D．÷＝2
7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
8．（3分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．给出以下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②④
C．②③④D．以上选项均不对
二、填空题（本题共24分，每题3分）
9．（3分）若|x﹣3|+＝0，则x﹣y＝ ．
10．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是： ．
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝，∠A＝45°，则c边长为 ．
12．（3分）比较大小： （填“＞”“＜“或“＝”）．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
14．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
15．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
16．（3分）如图：点A在线段BC上，AB＝4，AC＝6，△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点P是BE上一个动点，连接PA，PC则PA+PC的最小值为 ．
三、解答题（本题共52分，第17、21、22、24题，每小题6分，第18题，3分，第19题，4分，第20题，5分，第23、25题，每题8分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（3分）若，求x+y的值．
19．（4分）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c
（1）已知a＝12，b＝5，求c；
（2）已知c＝10，b＝9，求a．
20．（5分）如图是一张直角三角形纸片，直角边AC＝6，斜边AB＝10，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求线段AD的长．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，DE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）连接AE，当∠ACB＝30°，AB＝2时，求AE的长．
22．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得EF＝DE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形AFBO为平行四边形；
（2）若∠BDA＝∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．
23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2，善于思考的小明进行了以下的探索：
设a+b（其中a，b，m，n均为正整数），
则有a+b，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+b化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
+ ＝（ + ）2；
（3）若a+4，且a，m，n均为正整数，求a的值．
24．（6分）阅读下列材料：
小明遇到了一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按照图2所示的方法分割后，将三角形纸片ADO绕AB的中点O旋转至三角形纸片BEO处，依此法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）．
（2）如图4，在面积为的平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，分别连接AF，BG，CH，DE得到一个新的平行四边形IJKL．请在图4中探究平行四边形IJKL面积的大小（画图并直接写出结果）．
25．（8分）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM＝60°，且直线PM与直线CD相交于点G，G点到直线BC的距离为GH．
（1）证明：∠BAP＝∠GPC；
（2）若P在线段BC上运动，求证：CP＝DG；
（3）若P在线段BC上运动，探求线段AC，CP，CH的一个数量关系，并证明你的结论．
2023-2024学年北京八十中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，12，13B．C．D．4，5，6
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+22＝5，（）2＝5，
∴12+22＝（）2，
∴能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+42＝41，62＝36，
∴52+42≠62，
∴不能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式；
B、＝，不是最简二次根式；
C、不能开方，是最简二次根式；
D、＝|a|，不是最简二次根式．
故选：C．
3．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
【分析】根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．与可以合并B．与可以合并
C．与可以合并D．与可以合并
【分析】根据二次根式的性质逐项判断即可解答．
【解答】解：A． 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；
B． 与可以合并，故该选项正确，符合题意；
C． 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；
D． 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0
B．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
C．如果两个数相等，那么它们的平方相等
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
【分析】写出逆命题，再判断真假即可．
【解答】解：如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0的逆命题是如果两个数的和等于0，那么它们互为相反数，逆命题成立，不符合题意；
如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等的逆命题是如果两个角的补角相等，那么这两个角的也相等，逆命题成立，不符合题意；
如果两个数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，逆命题不成立，符合题意；
如果|a|＝|b|，那么a＝b的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，逆命题成立，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3C．×＝D．÷＝2
【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式＝2，故B不符合题意．
C、原式＝，故C符合题意．
D、原式＝，故D不符合题意．
故选：C．
7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，
故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：B．
8．（3分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．给出以下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②④
C．②③④D．以上选项均不对
【分析】根据矩形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
，
∵，
∴S2+S4＝S1+S3，
不能得出S1+S2＝S3+S4，
故①错误，②正确；
根据S3＝2S1，能得出h3＝2h1，不能推出h4＝2h2，即不能推出S4＝2S2，故③错误；
∵S1＝S2，S2+S4＝S1+S3，
∴S4＝S3，
∴，
∴P点一定在对角线上，故④正确．
故选：B．
二、填空题（本题共24分，每题3分）
9．（3分）若|x﹣3|+＝0，则x﹣y＝ 4 ．
【分析】根据题意可得x＝3，y＝﹣1，代入代数式，即可求解．
【解答】解：∵，
∴x﹣3＝0，y+1＝0，
解得：x＝3，y＝﹣1，
∴x﹣y＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4．
10．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是： 144 ．
【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：
a2+b2＝c2
a2＝25，c2＝169
b2＝169﹣25＝144
因此B的面积是144．
故答案为：144．
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝，∠A＝45°，则c边长为 2 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质：斜边是直角边的倍求解即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝，∠A＝45°，
∴a＝b＝，c＝a＝2，
故答案为2．
12．（3分）比较大小： ＜ （填“＞”“＜“或“＝”）．
【分析】先分别计算两个数的平方，然后再进行比较即可解答．
【解答】解：∵（3）2＝63，（4）2＝96，
∴63＜96，
∴3＜4，
故答案为：＜．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （5，4） ．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
14．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 1.5 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．
【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝4，
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：1.5
15．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 2.2 米．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），
∵AB＞0，
∴AB＝2.5（米），
在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，
∴BD2+A′D2＝A′B2，
即BD2+22＝2.52（米2），
∵BD＞0，
∴BD＝1.5（米），
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），
故答案为：2.2．
16．（3分）如图：点A在线段BC上，AB＝4，AC＝6，△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点P是BE上一个动点，连接PA，PC则PA+PC的最小值为 ．
【分析】作A点关于BE的对称点A′，连接A′B与BE交点为P，则PA+PC＝BC′求得∠EBD＝15°，进而得出∠EBC＝45°，在Rt△A′BC中，勾股定理即可求解．
【解答】解：作A点关于BE的对称点A′，连接A′B与BE交点为P，
∴PA＝PA′
∴PA+PC＝PA′+PC≥CA′，
∵△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，
∴BD＝AD＝DE，∠BDE＝∠BDC+∠ADE＝150°，∠DBC＝60°，
∴∠EBD＝15°，
∴∠EBC＝45°，
由轴对称的性质可得∠A′BE＝∠EBC＝45°，
∴∠A′BC＝90°，
∴AB＝A′B＝4，
在Rt△A′BC中，BC＝AB+AC＝4+6＝10，A′B＝4，
∴，
∴PA+PC的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题共52分，第17、21、22、24题，每小题6分，第18题，3分，第19题，4分，第20题，5分，第23、25题，每题8分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
18．（3分）若，求x+y的值．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定x的值，进而求出y的值，再将x、y的值代入要求的式子即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，1﹣x≥0，
∴1﹣x＝0，x＝1，
∴y＝2024，
∴x+y＝1+2024＝2025．
19．（4分）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c
（1）已知a＝12，b＝5，求c；
（2）已知c＝10，b＝9，求a．
【分析】直接利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，c＝＝13；
（2）由勾股定理得，a＝＝．
20．（5分）如图是一张直角三角形纸片，直角边AC＝6，斜边AB＝10，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求线段AD的长．
【分析】在Rt△ABC中勾股定理求得BC＝8，进而由翻折得DB＝AD，利用直角三角形ACD，勾股定理即可求得CD长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，
∴，
由题意得DB＝AD；
设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），
在Rt△ACD中，
AD2﹣CD2＝AC2，即（8﹣x）2﹣x2＝36，
解得x＝；
即CD＝．
∴．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，DE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）连接AE，当∠ACB＝30°，AB＝2时，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD＝CD，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝4，证明△CDE是等边三角形，再利用勾股定理即可得结果．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，CE＝DB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形；
（2）解：如图，连接AE，
∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE，
∵AD＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝30°，
∴∠CEA＝90°，
∵CE＝CD＝2，
∴AE＝＝＝2．
22．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得EF＝DE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形AFBO为平行四边形；
（2）若∠BDA＝∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．
【分析】（1）由三角形中位线定理得OE∥BF，BF＝2OE，再证BF＝OA，即可得出结论；
（2）证∠DBC＝∠BDC，得CD＝CB，再证平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝DE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥BF，BF＝2OE，
∵E为OA的中点，
∴OA＝2OE，
∴BF＝OA，
∴四边形AFBO为平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC，
∵∠BDA＝∠BDC，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴CD＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由（1）可知，四边形AFBO为平行四边形，
∴平行四边形AFBO为矩形．
23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2，善于思考的小明进行了以下的探索：
设a+b（其中a，b，m，n均为正整数），
则有a+b，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+b化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
13 + 4 ＝（ 1 + 2 ）2；
（3）若a+4，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式展开，可得结论；
（2）取m＝1，n＝2，可得结论；
（3）利用（1）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）当m＝1，n＝2时，a＝13，b＝4，
故答案为：13，4，1，2（答案不唯一）；
（3）由题意，得 a＝m2+3n2，b＝2mn．
∵4＝2m，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1 或 m＝1，n＝2，
∴a＝22+3×12＝7或a＝12+3×22＝13．
24．（6分）阅读下列材料：
小明遇到了一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按照图2所示的方法分割后，将三角形纸片ADO绕AB的中点O旋转至三角形纸片BEO处，依此法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）．
（2）如图4，在面积为的平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，分别连接AF，BG，CH，DE得到一个新的平行四边形IJKL．请在图4中探究平行四边形IJKL面积的大小（画图并直接写出结果）．
【分析】（1）同小明的做法分割和拼接即可．
（2）将平行四边形ABCD分割和拼接成5个与平行四边形IJKL同样的平行四边形，故平行四边形IJKL的面积是平行四边形ABCD面积的．
【解答】解：（1）如图，拼接成的平行四边形为平行四边形ABCD．
（2）如图，平行四边形IJKL面积为．
25．（8分）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM＝60°，且直线PM与直线CD相交于点G，G点到直线BC的距离为GH．
（1）证明：∠BAP＝∠GPC；
（2）若P在线段BC上运动，求证：CP＝DG；
（3）若P在线段BC上运动，探求线段AC，CP，CH的一个数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据菱形的性质得到∠ABC＝60°，进而根据三角形的外角的性质，即可得到结论；
（2）过点P作PE∥CD交AC于点E，连接AG先证明△AEP≌△GCP，再证明△APG是等边三角形．从而得到△APC≌△AGD，进而即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质可知AC＝CD，结合PC＝DG，以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠APM＝60°，
∴∠APC＝∠APM+∠GPC＝∠ABP+∠BAP，
∴∠BAP＝∠GPC；
（2）证明：过点P作PE∥CD交AC于点E，连接AG，则△CPE是等边三角形，∠EPQ＝∠CQP．
又∵∠APE+∠EPQ＝60°，∠CQP+∠CPQ＝60°，
∴∠APE＝∠CPQ；
∵ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°．
∵PE∥CD，
∴∠EPC＝∠ACD＝60°．
∴△CPE是等边三角形．
∴EP＝PC，∠PEC＝60°．
∴∠AEP＝∠PCG＝120°，
∴△AEP≌△GCP（ASA）．
∴AP＝PG．
∵∠APM＝60°，
∴△APG是等边三角形．
∴AP＝AG．
∵∠PAC+∠CAG＝60°，∠CAG+∠GAD＝60°，
∴∠PAC＝∠GAD．
∵AC＝AD，
∴△APC≌△AGD（SAS），
∴PC＝DG．
（3）解：AC＝CP+2CH，理由如下：
∵AC＝CD，CD＝CG+DG，
∴AC＝CG+DG．
∵PC＝DG，
∴AC＝CG+CP．
∵∠GHC＝90°，∠GCH＝60°，
∴∠CGH＝30°，
∴CG＝2CH，
∴AC＝2CH+CP．