2023-2024学年北京161中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京161中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1, 2, 3D. 1，2，3
2.下列各式中是最简二次根式的是( )
A. 15B. 15C. 0.1D. 8
3.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A. y=x2B. y=x2C. y=2xD. y=x+12
4.如图，在▱ABCD中，AB=AC，∠CAB=40°，则∠D的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
5.如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A(0,3)，B(4,0)，则点D的坐标为( )
A. (0,−1)
B. (0,−2)
C. (0,−3)
D. (0,−4)
6.如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是( )
A. − 37cm
B. 2 5cm
C. 17cm
D. 15cm
7.已知P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是( )
A. m>nB. m−x+a的解集为 ．
14.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为______．
15.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为______．
16.△ABC中，AB=2a+1，BC=2a−3，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是AC的中点，连接DB，则DE= ______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：(1) 32+ 45− 8+ 20；
(2) 5× 15+ 27÷ 3−6 13．
18.(本小题4分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF与BD交于点O.求证：OE=OF．
19.(本小题4分)
已知a，b分别是 5的整数部分和小数部分．
(1)直接写出a和b的值；
(2)求b2+2ab的值．
20.(本小题4分)
已知：在△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如下，
①分别以点A，C为圆心，大于12AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线MN，交边AC于点O；
③作射线BO，以点O为圆心，以BO长为半径作弧，与射线BO的另一个交点为D，连接CD，AD；
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是AC的垂直平分线，
∴AO=OC．
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(______)(填推理的依据)．
21.(本小题4分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=1，CD=3．
(1)求∠DAB的度数．
(2)求四边形ABCD的面积．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，AE/​/BC，CE/​/AD．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)连接BE，若∠ABC=30°，AC=2，求BE的长．
23.(本小题6分)
为了探究函数y=|x+2|−1的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数y=|x+2|−1的图象与性质进行了探究.下面是甲同学的探究过程：
第一步：y=|x+2|−1的自变量x的取值范围是全体实数；
第二步：x与y的几组对应值：
第三步：建立平面直角坐标系xOy，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)观察y=|x+2|−1的函数图象，可得以下结论：
①当x= ______时，函数有最小值为______；
②当x ______时，y随x的增大而增大；
③若直线y=kx+1与y=|x+2|−1的图象有且只有一个交点，则k的取值范围是______．
24.(本小题7分)
甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：
甲采摘园：游客进园需购买100元的门票，采摘的草莓按照六折计费；
乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算.设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为x千克，所花的费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)优惠前草莓的销售价格为______元/千克；
(2)当x≥10时，求y与x的函数解析式；
(3)当游客采摘草莓的重量为15千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由．
25.(本小题6分)
在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．
(1)依题意补全图1，并证明AF=FQ；
(2)过点Q作NQ/​/BC，交AC于点N，连接FN.若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．
26.(本小题6分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P(点P在M内部或M上)，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A(−4,3)，B(−4,−3)，C(4,−3)，D(4,3)．
(1)在点P₁(−2,1)，P2(−1,0)，P3(3,3)中，矩形ABCD的和谐点是______；
(2)如果直线y=12x+32上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；
(3)如果直线y=12x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点(含端点)都是矩形ABCD的和谐点，且EF>2 5，直接写出b的取值范围．
27.(本小题3分)
学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求 3+ 5+ 3− 5的值．
甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：
设x= 3+ 5+ 3− 5，两边平方得：
x2=( 3+ 5)2+( 3− 5)2+2 (3− 5)(3+ 5)，即x2=3+ 5+3− 5+4，
∴x2=10，
∴x=± 10
∵ 3+ 5+ 3− 5>0，
∴ 3+ 5+ 3− 5= 10，
请你参考上述方法，求 6+ 11+ 6− 11的值．
28.(本小题7分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作d(M,N)．
在▱ABCD中，点A(4,8)，B(−4,0)，C(−4,−8)，D(4,0)，如图1．
(1)直接写出d(点O，▱ABCD)= ______；
(2)若点P在y轴正半轴上，d(点P，▱ABCD)=4，求点P坐标；
(3)已知点E(a,−a)，F(a+2,−a)，G(a+1,−a−1)，H(a+3,−a−1)，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W(包括边界)．
①当a=−1时，在图2中画出图形W，直接写出d(W，▱ABCD)的值；
②若0≤d(W，▱ABCD)−x+a的解集为x>1．
故答案是：x>1．
写出直线y1=2x在直线y2=−x+a上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】x2=102+(x−4)2
【解析】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+(x−4)2，
故答案为：x2=102+(x−4)2．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=(x−4)尺，利用勾股定理可得x2=102+(x−4)2．
此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
15.【答案】13
【解析】解：设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为(17−x)，
根据题意得：12x(17−x)=30，
整理得：x2−17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12(不符合题意，舍去)，
∴该直角三角形的斜边长为 x2+(17−x)2= 52+(17−5)2=13．
故答案为：13．
设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为(17−x)，根据该直角三角形的面积是30，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入 x2+(17−x)2中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD交AB于F，
∵BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，
∴BD是△BFC的中线，BF=BC=2a−3．
∴点D是CF的中点．
∵E是AC的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=12AF．
∵AF=AB−BF=2a+1−(2a−3)=4．
∴DE=2．
故答案为：2．
如图，延长CD交AB于F，构造等腰三角形BFC和△AFC的中位线，利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理作答．
本题主要考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质，解题的巧妙之处在于作辅助线．
17.【答案】解：(1) 32+ 45− 8+ 20
=4 2+3 5−2 2+2 5
=2 2+5 5；
(2) 5× 15+ 27÷ 3−6 13
= 5×15+ 27÷3−2 3
=5 3+3−2 3
=3 3+3．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘除，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠OBF=∠ODE，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵∠EOD=∠FOB，
在△BOF和△DOE中，
∠FOB=∠EOD∠OBF=∠ODEBF=DE，
∴△BOF≌△DOE(AAS)，
∴OE=OF．
【解析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，由对顶角相等可得∠EOD=∠FOB，再根据平行线的性质可得∠OBF=∠ODE，从而可证△BOF≌△DOE(AAS)，即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证得△BOF≌△DOE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵2< 51
【解析】解：(1)补全表格：
画出函数图象：
(2)观察y=|x+2|−1的函数图象，可得以下结论：
①当x=−2时，函数有最小值为−1；
②当x≥−2时，y随x的增大而增大；
③若直线y=kx+1与y=|x+2|−1的图象有且只有一个交点，则k的取值范围是k≤−1或k>1．
故答案为：①−2，−1；②≥−2；③k≤−1或k>1．
(1)根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
(2)①根据图象即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图象，可知x的取值范围；③函数图象即可求得点的坐标；④根据函数图象的特征即可求解．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】30
【解析】解：(1)根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10=30(元/千克)．
∴y甲=30×0.6x+100=1.8x+100；
故答案为：30；
(2)当x≥10时，设y乙=kx+b，
由题意的：10k+b=30025k+b=480，
解得k=12b=180，
∴y乙=12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：yz=12x+180(x≥10)；
(3)当x=15时，y甲=18×15+100=370，y乙=12×15+180=360，
∴y甲>y乙，
∴他在乙家草莓园采摘更划算．
(1)根据题意得出草莓销售价格；
(2)根据函数图象待定系数法求得乙的解析式；
(3)将x=15千克代入(1)中解析式，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意，作图如下：
证明：在AB上截取BM=BF，如下图，
∵∠CFQ+∠AFB=90°，∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠CFQ，
∵BF=BM，则BC−BF=AB−BM，
∴CF=AM，
又∵∠AMF=180°−45°=135°，∠FCQ=90°+45°=135°，
∴∠AMF=∠FCQ，
在△AMF和△FCQ中，
∠MAF=∠CFQAM=FC∠AMF=∠FCQ，
∴△AMF≌△FCQ(ASA)，
∴AF=FQ；
(2)当BF=13时，四边形FCQN为平行四边形，
证明：如图，在AB上截取BM=BF，连接MF，
∵BF=13，BC=1，
∴FC=23，
由(1)可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，
∴CQ=MF= 23，
∵NQ/​/BC，
∴∠FCQ+∠NQC=180°，
∵∠FCQ=135°，
∴∠NQC=45°，
∵∠NCQ=90°，
∴∠NQC=45°=∠QNC，
∴QC=NC= 23，NQ=23，
∴NQ=FC且NQ//FC，
∴四边形FCQN为平行四边形．
【解析】(1)先根据题意画出图象，再作辅助线，使AF所在的三角形和QF所在的三角形全等即可得出AF=QF；
(2)取BF为13，算出FC的长，然后根据AC⊥CQ推导NQ=FC，用平行四边形的判定即可证明四边形FCQN是平行四边形．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出适当的辅助线FM来证明△AMF≌△FCQ，再利用全等三角形的性质得出对应边相等．当题目中出现正方形时，要想到正方形的四边相等，四个内角相等．
26.【答案】解：(1)P1，P3；
(2)−4≤t≤−2或−1≤t≤3；
(3)2≤b