2024年中考数学热点探究二 整体思想在求值中的运用练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究二 整体思想在求值中的运用练习附解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知x-y=4， xy=5，则 x2y−xy2的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
2．如果代数式2y2−y的值是7，那么代数式4y2−2y+1的值等于（ ）
A．2B．3C．−2D．15
3．若a是关于x的方程3x2−x+1=0的一个根，则2022−6a2+2a的值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
4． 已知a是方程x2−2020x+4=0的一个解，则a2−2019a+8080a2+4+7的值为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
5． 若n为正整数．且a2n=4，则(2a3n)2−4(a2)2n的值为（ ）
A．4B．16C．64D．192
6．若x、y二者满足等式x2−3y=3x+y2，且x、y互为倒数，则代数式x2−3(x+y)+5−y2−4xy的值为（ ）
A．1B．4C．5D．9
7．若3x2+4x+1=0，则代数式6x2+8x+2024的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
8．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则(m+n200)2022−(−pq)2023+t3的值是（ ）
A．−63B．65C．−63或65D．63或−65
9．已知m为方程x2+3x−2024=0的根，那么m3+2m2−2027m+2024的值为（ ）
A．-2024B．0C．2024D．4048
10．已知一列数的和x1+x2+⋯+x2023=12×(1+2+⋯+2023)，且x1−3x2+1=x2−3x3+2=⋯=x2022−3x2023+2022=x2023−3x1+2023，则x1−2x2−3x3的值是（ ）
A．2B．−2C．3D．−3
二、填空题（每题3分，共15分）
11． 若a2+a−5=0，代数式(a2−5)(a+1)的值为 ．
12． 已知a−b=2，a−c=2，则代数式(b−c)2+(b−c)+4= ．
13．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式(x+3)2=ax2+bx+c，当x=0时，可得32=c，计算得c=9；请你再给x赋不同的值，可计算得4a+2b= ．
14．图1，由两个相同的小长方形组成的图形周长为10，图2中在长方形ABCD内放置了若干个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为 .
15．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知x=2是方程a−bx=4的解，则−4b+2a+2027的值为 ．
三、解答题（共9题，共75分）
16．已知：数a与b互为相反数，c与d互为倒数，x=±2．求式子(a+b)2011−(a+b−cd)2020|x|的值．
17． 先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2(2x-3y)+(2x-3y)2；
（2）因式分解：(a+b)(a+b-4)+4.
18．整体代换是数学的一种思想方法，例如：已知x2+x=0，求x2+x+1186的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果a+b=6，求2(a+b)−4a−4b+2的值；
（2）若a2+2ab=20，b2+2ab=8，求2a2−4b2−4ab的值．
19． 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
（1）把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是 ；
（2）已知x2-2y=4，求3x2-6y-21的值；
（3）拓展探索：
已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.
20．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2(x+y)+3(x−y)=−2x+y−2(x−y)=3，按常规思路解方程组计算量较大．可设x+y=a，x−y=b，那么方程组可化为2a+3b=−2a−2b=3，从而将方程组简单化，解出a和b的值后，再利用x+y=a，x−y=b解出x和y的值即可．用上面的思想方法解方程：
（1）x2x+2+2x+4x2=3；
（2）x2+2x+4x2+2x−5=0
21．阅读材料：
解方程：(x2−1)2−5(x2−1)+4=0．我们可以将x2−1视为一个整体，然后设x2−1=y，则(x2−1)2=y2，原方程化为y2−5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2−1=1，∴x2=2，∴x=±2．
当y=4时，x2−1=4，∴x2=5，∴x=±5．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想；
（2）解方程；x4−x2−12=0．
22．阅读理解，并解决问题：
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．
例：当代数式 x2+3x+5 的值为7时，求代数式 3x2+9x－2 的值．
解：因为 x2+3x+5=7 ，所以 x2+3x=2 ．
所以． 3x2+9x－2=3（x2+3x）－2=3×2－2=4
以上方法是典型的整体代入法．
请根据阅读材料，解决下列问题：
（1）已知 a2+3a－2=0 ，求 5a3+15a2－10a+2020 的值．
（2）我们知道方程 x2+2x－3=0 的解是 x1=1，x2=－3 ，现给出另一个方程 （2x+3）2+2（2x+3）－3=0 ，则它的解是 ．
23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝28时，求出图3中的阴影部分的面积S3.
24．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：(x2-6)3-(x2-6)-2=0.
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以x2−6为基本结构搭建的，所以我们可以把x2−6视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设x2−6=m，则原方程换元为m2−m−2=0.
∴(m−2)(m+1)=0， ∴m−2=0或m+1=0.
解得m1=2，m2=−1，
∴x2−6=2或x2−6=−1
解得：x1=22，x2=−22，x3=5，x4=−5.
请参考例题解法，解下列方程：
（1）x4−5x2+6=0；
（2）x2+3x−x2+3x−2=0.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x-y=4， xy=5 ，
∴原式=xy（x-y）=4×5=20.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法将代数式转化为xy（x-y），然后代入求值.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵代数式2y2−y的值是7，
∴2y2−y=7，
∴4y2−2y=14，
∴4y2−2y+1=14+1=15.
故答案为：D.
【分析】由题意得出2y2−y=7，从而得出4y2−2y=14，再整体代入计算即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a是关于x的方程3x2-x+1=0的一个根，
∴3a2-a+1=0，
∴3a2-a=-1，
∴2022-6a2+2a=2022-2(3a2-a)=2022-2×(-1)=2024.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念可得3a2-a=-1，然后将待求式子中含字母的部分逆用乘法分配提取公因式-2进行变形，最后整体代入计算可得答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：a2−2020a+4=0，
∴a2=2020a−4，a2+4=2020a，
∴原式=2020a−2019a−4+80802020a+7=a−4+4a+7=a2+4a+3=2020aa+3=2023.
故答案为：A．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2−2020a+4=0，变形得到a2=2020a−4，a2+4=2020a，然后对所求式子变形，利用整体代入的方法进行计算．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵a2n=4，
∴(2a3n)2−4(a2)2n=4a6n−4a4n=4a2n3−4a2n2=4×43−4×42=192，
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方以及逆运算化简原式为4a2n3−4a2n2，进而把a2n=4代入计算即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】∵x、y互为倒数，
∴xy=1，
∵x2−3y=3x+y2，
∴x2−3(x+y)+5−y2−4xy
=x2−3x−3y+5−y2−4xy
=x2−3y−3x+y2−4xy+5
=0-4×1+5
=1，
故答案为：A.
【分析】先利用倒数的定义求出xy=1，再将代数式x2−3(x+y)+5−y2−4xy变形为x2−3y−3x+y2−4xy+5，再将x2−3y=3x+y2和xy=1代入计算即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】∵3x2+4x+1=0，
∴3x2+4x=−1，
∴6x2+8x+2024=2（3x2+4x）+2024=2×（−1）+2024=2022，
故答案为：B.
【分析】先求出3x2+4x=−1，再将其代入6x2+8x+2024=2（3x2+4x）+2024计算即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，
∴m+n=0，pq=1，t=4或t=-4，
当t=4时，原式=02022-（-1）2023+43
=0+1+64
=65；
当t=-4时，原式=02022-（-1）2023+（-4）3
=1-64
=-63；
综上，(m+n200)2022−(−pq)2023+t3的值是65或-63；
故答案为：C.
【分析】先根据互为相反数的两数之和等于0、互为倒数的两数之积等于1，、正数的绝对值是其本身，附属的绝对值是其相反数得出m+n=0，pq=1，t=4或t=-4，分别代入计算即可得出答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】解： 把x=m代入方程x2+3x−2024=0 ，
得m2+3m−2024=0，
∴m3+3m2−2024m=0，
m3+2m2−2027m+2024=m3+3m2−2024m−m2+3m−2024=0−0=0.
故答案为：0.
【分析】把x=m代入方程得m2+3m−2024=0，即可得m3+3m2−2024m=0，把代数式变形，整体代入即可得解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：设x1−3x2+1=x2−3x3+2=⋯=x2022−3x2023+2022=x2023−3x1+2023=k，
∴x1−3x2=k−1，x2−3x3=k−2，⋯，x2022−3x2023=k−2022，x2023−3x1=k−2023，
∴x1−3x2+x2−3x3+⋯+x2022−3x2023+x2023−3x1=k−1+k−2+⋯+k−2022+k−2023， 即−2x1+x2+⋯+x2022+x2023=2023k−1+2+3+⋯+2023，
∵x1+x2+⋯+x2022+x2023=121+2+3+⋯+2023，
∴−1+2+3+⋯+2023=2023k−1+2+3+⋯+2023，
解得：k=0.
∴x1−3x2=−1，x2−3x3=−2，
∴x1−2x2−3x3=x1−3x2+x2−3x3=-1-2=-3，
故答案为：D.
【分析】观察发现x1−2x2−3x3=x1−3x2+x2−3x3，所以只需要求出x1−3x2和x2−3x3的值即可.观察题干中第2个等式发现每个代数式的前两项格式一样，故可以设等式的值为k，把每个代数式的前两项用k表示出来，再把所得等式相加，得到关于k的方程，求出k即可解决问题.
11．【答案】−5
【解析】【解答】解：∵a2+a−5=0，
∴a2−5=−a，a2+a=5，
∴(a2−5)(a+1)=−a(a+1)=−(a2+a)=−5，
故答案为：−5．
【分析】根据题意得a2−5=−a，a2+a=5，代入代数式(a2−5)(a+1)，即可得出答案．
12．【答案】12−52
【解析】【解答】解：∵a-b=2①，a-c=2②，
由②-①可得：b-c=2-2，
∴(b−c)2+(b−c)+4= （2-2）2+（2-2）+4
=4-42+2+2-2+4
=12-52.
故答案为：12-52.
【分析】由已知的等式②-①可求得(b-c)的值，然后代入所求代数式计算即可求解.
13．【答案】16
【解析】【解答】解：当x=2时，（2+3）2=4a+2b+c=25
∵c=9，
∴4a+2b=25-9=16.
故答案为：16.
【分析】利用已知条件和代数式4a+2b，可知当x=2时，可得到4a+2b+c=25，将c代入可求出4a+2b的值.
14．【答案】30
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由图1可知，4x+2y=10，
∴2x+y=5，
由图2可知，长方形ABCD的长AB为4xcm，宽BC为(2x+3y)cm，
长方形ABCD的周长为2(4x+2x+3y)=12x+6y=6(2x+y)=30(cm)
故答案为：30.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图1得4x+2y=10 ，然后表示出长方形ABCD的长AB为4xcm，宽BC为(2x+3y)cm，进而根据长方形周长计算方法及整式加减法运算法则可得答案.
15．【答案】2035
【解析】【解答】将x=2代入a−bx=4可得：a-2b=4，
∴−4b+2a+2027=2（a−2b）+2027=2×4+2027=2035，
故答案为：2035.
【分析】先将x=2代入方程可得a-2b=4，再将其代入−4b+2a+2027=2（a−2b）+2027计算即可.
16．【答案】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b=0．
∵c与d互为倒数，
∴cd=1．
∵x=±2，
∴|x|=2．
∴原式=02021−(0−1)20202
=−12．
【解析】【分析】根据相反数的性质，倒数的性质可得a+b=0，cd=1，|x|=2，整体代入代数式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：令2x-3y=A，则1+2(2x-3y)+(2x-3y)2=1+2A+A2=(1+2x-3y)2.
（2）解：令A=a+b，则(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
所以(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.
【解析】【分析】（1）根据题意，利用整体思想可令2x-3y=A， 运用完全平方公式进行因式分解即可求解；
（2）根据题意，利用整体思想令A=a+b，运用完全平方公式进行因式分解即可求解.
18．【答案】（1）解：∵a+b=6，
∴2(a+b)−4a−4b+2
=2(a+b)−4(a+b)+2
=−2(a+b)+2
=−2×6+2
=−10；
（2）解：∵a2+2ab=20，b2+2ab=8，
∴2a2−4b2−4ab=2a2+4ab−4b2−8ab
=(2a2+4ab)−(4b2+8ab)
=2(a2+2ab)−4(b2+2ab)
=2×20−4×8
=40−32
=8．
【解析】【分析】（1）先去括号，再合并同类项可得2(a+b)−4a−4b+2=−2(a+b)+2，再将a+b=6代入计算即可；
（2）先将代数式2a2−4b2−4ab变形为2(a2+2ab)−4(b2+2ab)，再将a2+2ab=20，b2+2ab=8代入计算即可.
19．【答案】（1）-(a-b)2
（2）解：因为x2-2y=4，
所以3x2-6y-21=3(x2-2y)-21=12-21=-9.
（3）解：因为a-2b=3，① 2b-c=-5，② c-d=10，③
由①+②，得a-c=-2.
由②+③，得2b-d=5.
所以(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=-2+5-(-5)=8.
【解析】【解答】解：（1） 3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2 =-3(a-b)2+2(a-b)2=-(a-b)2 .
故答案为： -(a-b)2 .
【分析】（1）根据整式的加减计算即可；
（2）先 3x2-6y-21转化为3(x2-2y)-21，再把x2-2y=4 整体代入计算即可；
（3）令 a-2b=3，① 2b-c=-5，② c-d=10，③ ， 由①+②，得a-c=-2，②+③得2b-d=5.再整体代入计算即可.
20．【答案】（1）解：设x2x+2=t(t≠0)，
∴原方程化为t+2t=3，
∴t2−3t+2=0，
解得t=2或t=1，
当t=1时，x2x+2=1，
解得x=2或x=−1，
经检验，x=−1或x=2是方程的解；
当t=2时，x2x+2=2，
解得x=1+5或x=1−5，
经检验，x=1+5或x=1−5是方程的解．
∴原方程的解为：x1=−1；x2=2；x3=1+5；x4=1−5．
（2）解：设x2+2x=t(t≥0)，则有x2+2x=t2，
∴原方程可化为：t2+4t−5=0，
解得t=−5（舍）或t=1，
∴x2+2x=1，
∴x2+2x−1=0，
解得x1=2−1或x2=−2−1；
经检验：x1=2−1，x2=−2−1是原方程的解．
【解析】【分析】本题考查“换元法”的应用解方程，找出合适的量来设元，简化方程求解是关键。
（1）设 x2x+2=t(t≠0) 得t+2t=3，即t2−3t+2=0，得t=2或t=1，当t=1时，x2x+2=1，求解x，当t=2时，x2x+2=2求解x，可得原方程的解，注意分式方程要检验；
（2）设x2+2x=t(t≥0)，原方程化为：t2+4t−5=0，解得t=−5（舍）或t=1，求解即可。
21．【答案】（1）换元；转化
（2）解：令x2=a，则原方程化为a2−a−12=0，解得a1=−3，a2=4．
当a=−3时，x2=−3，∴该方程无解；
当a=4时，x2=4，∴x1=2，x2=−2．
综上，该方程的解为x1=2，x2=−2．
【解析】【解答】（1）根据题意可得：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元，换元.
【分析】（1）利用换元法的方法及作用分析求解即可；
（2）令x2=a，则原方程化为a2−a−12=0，再求解即可.
22．【答案】（1）解： 5a3+15a2−10a+2020
=5a(a2+3a−2)+2020
∵a2+3a−2=0
∴原式 =0+2020=2020
∴5a3+15a2−10a+2020 的值为 2020
（2）x1=−1 ， x2=−3
【解析】【解答】解：（2）∵方程 x2+2x－3=0 的解是 x1=1，x2=－3
∴方程 (2x+3)2+2(2x+3)−3=0 则有： 2x+3=1 或 2x+3=−3
∴x1=−1 ， x2=−3
∴(2x+3)2+2(2x+3)−3=0 的解为： x1=−1 ， x2=−3 ．
【分析】（1）先将所求代数式进行整理变形，再将已知式子的值代入求值即可得解；（2）所解方程与已知方程形式一样，故可得 2x−3=1 或 2x−3=−3 ，再解一元一次方程即可得解．
23．【答案】（1）解：由图可得，S1＝a2-b2，S2＝2b2-ab.
（2）解：∵a+b＝10，ab＝23，
∴S2+S2＝a2-b2+2b2-ab
＝a2+b2-ab
＝（a+b）2-3ab
＝100-3×23
＝31，
∴S1+S2的值为31.
（3）解：由图可得：S3=a2+b2−12a+b−12a2，
＝12（ a2+b2﹣ab）
=12a2+b2−ab，
∵S1+S2＝a2+b2-ab＝28 ，
∴S3=12×28=14，
∴图3中阴影部分的面积S3为14.
【解析】【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据（1）中的结论，结合完全平方公式，将a+b=10，ab=23代入进行计算即可；
（3）表示出S3，再变形整体代入求值即可.
24．【答案】（1）解：设x2=t，则原方程可变形为t2一5t+6=0.
(t-2)(t-3)=0.
t=2或t=3.
当x2=2时，x1=2，x2=−2
当x2=3时，x3=3x4=−3
原方程的解为：x1=2，x2=−2，x3=3x4=−3；
（2）解：设x2+3x=y(y≥0)，则x2+3x=y2.所以原方程可化为：y2-y-2=0.
∴(y-2)(y+1)=0.
∴y=2或y=-1(舍去)。
当y=2时，
√x2+3x=2.
两边平方，得x2十3x=4.
x2+3x-4=0.
∴(x+4)(x-1)=0.
∴x1=-4，x2=1.
经检验x1=-4，x2=1是原方程的解，
【解析】【分析】（1）设x2=t，把原方程可变形为t2一5t+6=0，解方程求出t的值，从而得出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）设x2+3x=y(y≥0)，把原方程可化为y2-y-2=0，解方程求出y的值，从而得出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案.