2024年中考数学精选压轴之探究项目式学习（二）练习附解析

这是一份2024年中考数学精选压轴之探究项目式学习（二）练习附解析，共48页。试卷主要包含了实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
（2）【任务二：观察分析】数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
（3）【任务三：问题解决】当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为 ．
2．根据以下素材，探索完成任务.如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是某抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高.
素材2
为迎佳节，拟在图1桥沿前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
（1）任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
（2）任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
（3）任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
3．阅读素材，完成任务．
4．【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
（1）任务1 确定桥拱形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3 拟定设计方案：请你设计一种符合所有悬挂条件的方案．
5．根据素材回答问题：
6．完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
7．根据以下素材，探索完成任务．
问题解决
（1）任务1：确定桥拱形状：
在图2建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究悬挂范围：
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3：拟定设计方案：
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
8．根据以下素材，探索完成任务．
问题解决
（1）任务1：确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
（2）任务2：设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．
9．根据以下素材，探索完成任务．
10．综合与实践
11．根据以下材料，探索完成任务：
12．根据以下素材，探索完成任务
13．根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的跳台高度？
素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方1712米处，最右端在水平线上，且最高点在距O点水平距离8米处．
素材2 小雪从点O正上方158米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝a（x−7）2+8运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
（1）任务1 确定滑行路径 求a的值；
（2）任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离A处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C1的函数表达式；
（3）任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了178米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．
14．根据以下素材，探索完成任务
问题解决
（1）任务1 确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3 探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
15．根据以下素材，探究完成任务
16．根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
问题解决
（1）任务1：确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇浓到整个绿化带吗？请说明理由．
（3）任务3：拟定设计方案
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落。那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围。
17．根据以下素材，探索完成任务．
18．根据以下素材，探索完成任务．
19．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m(m>0)个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．
20．乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：设v=kx+c，代入(0,10),(2,9)得
c=102k+c=9，
解得：k=−12c=10
∴v=−12x+10；
二次函数经过原点（0，0），可设y=ax2+bx，代入(2,19),(4,36)得
4a+2b=1916a+4b=36，
解得：a=−14b=10
∴y=−14x2+10x
（3）解：当v=−12x+10=0时，
解得：x=20，
将x=20代入y=−14x2+10x
得：y=100，
∴当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离为100cm．
（4）n>64
【解析】【解答】解：（4）黑球到达A点的速度为10cm/s.
若黑球x秒撞上电动小车，则−14x2+10x=n+2x.
整理得：14x2−8x+n=0
由于黑球不能撞上小车，即方程无解，故∆=64−4×14n64.
故答案为：n>64.
【分析】（1）直接在坐标系中描点，连线即可；
（2）利用待定系数法求解即可.
（3）令v=0，可得停下时滑行的时间x，把x值代入y=−14x2+10x，即可求出此时的滑行距离.
（4）设x秒能追上，得到关于x的一元二次方程，令∆6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×36，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4-1)6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×36，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4−1)2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时， 要使y≥0.5，
则x≤2+23，
∵当0≤x≤2时， y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+23，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+23−3=23−1，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2，
∴OD的取值范围是2≤OD≤23−1.
【解析】【分析】（1）根据题意可得，A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程OC；
（2）根据y2对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y2是由y1向左平移4m得到的，即可求出点B的坐标；
（3）根据EF=0.5m，求出点F的坐标，利用增减性可得OD的最大值和最小值，从而得出答案.
11．【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时O(0，0)，M(2，0)，顶点坐标为(1，0.1)，
设抛物线的函数表达为y=ax(x−2)，
将(1，0.1)代入y=ax(x−2)得，a=−110，
∴抛物线的函数表达式为y=−110x2+15x．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当OP=2.4m时，即将抛物线y=−110x2+15x向上平移2.4个单位，
得y=−110x2+15x+2.4．
令y=0，则0=−110x2+15x+2.4，解得：x1=6，x2=−4（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为36πm2．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，AC=62+82=10m，
∴OA=5m，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设OP=ℎ，此时抛物线函数表达式为y=−110x2+15x+ℎ，
将(5，0)代入，得0=−110×52+15×5+ℎ，
解得ℎ=1.5，
∴OP至少调节到1.5m．
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
12．【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为(15,92)，
设抛物线解析式为y=a(x−15)2+92，
∵抛物线经过点A(0,0)，
∴225a+92=0，
解得a=−150，
∴y=−150(x−15)2+92,
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y=−150(x−15)2+92
任务二：当AC=24时，即x=24时，
y=−8150+92=2.88>2.5，
∴足球不能进入球门，
小梅带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y=−150(x−15+m)2+92
把点(24,2.5)代入得：2.5=−150(24−15+m)2+92，
解得m=−19(舍去)或m=1
∴向正后方移动1米射门
任务三：
如图构造三角形，
由题意可知：AF=25,CQ=6,AQ=18
∵△ACF~△AQP
∴APAF=AQAC
∴AP=754
当x=754时，y=13532>4，
∴能过拦网.
当x=25时，y=2.5
∴能在E处入网
【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标(15,92)，设抛物线的顶点式，再把A(0,0)代入，即可求出抛物线解析式.
任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点(24,2.5)代入，求出平移距离即可.
任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门.
13．【答案】（1）解：把（0，158）代入抛物线C2：y＝a（x−7）2+8得，
158=a（0﹣7）2+8，
解得a=−18；
（2）解：由（1）知，抛物线C2：y=−18（x−7）2+8，
当x＝11时，y=−18（11﹣7）2+8=−18×16+8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2+k，
把（0，1712），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2+k得，
64m+k=17129m+k=6，
解得m=−112k=274，
∴抛物线C1的解析式为y=−112（x﹣8）2+274；
（3）解：小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了178米，相当于把抛物线C2向上平移了178个单位长度，
∴平移后的解析式为y=−18（x﹣7）2+8+178，
令y＝0，则−18（x﹣7）2+8+178=0，
解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则−112（x﹣8）2+274=0，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16，
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
【解析】【分析】( 1 )根据题意，将（0，158）代入抛物线C2：y＝a（x−7）2+8求出a的值即可；
（2）首先设抛物线C1的解析式为：y=m(x-8)2 +k，再根据抛物线C2求出小雪在小山坡的落地点的坐标为(11，6)，然后再把(0，1712)，(11，6)两点代入y= m(x-8)2+k中，可得关于字母m、k的方程组，从而得到C1的解析式即可；
（3）先求出跳台增高后的抛物线解析式，然后当y=0时，求出x的值；再令抛物线C1中 y=0，求出x的值，最后即可得出结论.
14．【答案】（1）解：如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为y=ax2+k(a≠0)，抛物线经过(10，0)，(0，5)，得
100a+k=0k=5，解得a=−120k=5
∴y=−120x2+5．
（2）解：抛物线y=−120x2+5，令y=0，−120x2+5=0，解得x=−10，或10
∴点F(−10，0)
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵(10−2)÷4=2
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点G上方1m处，即点(10，1)．
（3）解：
如图，当水位达到最高时，水位线为y=−(10−5−1)=−4，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当x=−10时，E(−10，1)，EN=5，MN=20，
Rt△EMN中，EM=EN2+MN2=52+202=517≈21（m），故至少需21m．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，将已知两个点的坐标代入解析式，列二元一次方程组，解方程即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的性质，与x轴相交时，令y=0，解一元二次方程即可求出点F的坐标；根据关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出点G的坐标；
（3）根据实际水位达到最高时，列代数式即可求出此时的水位线即y的值；根据勾股定理，即可求出EM的值.
15．【答案】解：（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点E（0，-6），C（6，0），
设所求的函数解析式为y=ax2-6，
将点（6，0）代入，
得36a-6=0，
解得a=16
∴抛物线解析式为y=16x2−6；
（2） 把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，y=-2，
把y=-2代入y=16x2−6，
得16x2−6=−2，
解得x=±26，
∴ 此时碗中液面宽度为：46cm；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
此时A点离MN的距离为1.8cm，而AB=3cm，
∴sin∠ABM=1.83=35，
∴tan∠ABM=34，
∵CH∥MN，
∴此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，
设直线CH为y=34x+a，
将点C（6，0）代入，
得34×6+a=0，
解得a=−92，
∴直线CH的解析式为y=34x−92，
联立直线CH与抛物线的解析式得y=34x−92y=16x2−6，
解得x1=6y1=0，x2=−32y2=−458，
∴H（−32，−458）
∴CH=6+322+−4582=758.
【解析】【分析】（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点E（0，-6），C（6，0），从而利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）将y=-2代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量的值为x=±26，从而即可求出答案；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，由题意易得sin∠ABM=1.83=35，则tan∠ABM=34，由CH∥MN，可得此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，设直线CH为y=34x+a，将点C（6，0）代入，可算出a的值，从而求出直线CH的解析式，解联立直线CH与抛物线的解析式组成的方程组可得点H（−32，−458），从而根据坐标平面内两点间的距离公式可算出CH的长.
16．【答案】（1）解：设y=a(x+3)2+52
把点（0，1.6）代入，得a=−110
∴y=−110(x+3)2+52
（2）解：能
上边缘y=−110(x+3)2+52
令y=0，即−110(x+3)2+52=0
解得x1=2(舍去)，x2=-8
下边缘：由题意得y=−110x2+1.6
令y=0，解得x1=4(舍去)，x2=-4
∵(-4)-(-8)=4（m）
喷出来的水能浇灌整个绿化带
（3）解：有影响
∵要满足最大灌溉面积
∴在任务2的前提下
在y=−110(x+3)2+52
令x=-6，得y=1.6>1.5
∴有影响
设打针高度为h(cm)
由素材3知
范围为1.61.5，求出的值与1.5比较，即可求解．
17．【答案】解：任务1：根据表格可设二次函数的解析式为：
y=a(x−2)2+2，
将(0，1)代入y=a(x−2)2+2，
解得a=−14，
∴抛物线的解析式为：y=−14(x−2)2+2；
任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：
y=−14(x−2)2+2+n，
由题意可知，当横坐标为2+1.5=3.5时，纵坐标的值不小于2+0.5=2.5，
∴−14×(3.5−2)2+2+n⩾2.5，
解得n⩾1716，
∴水管高度至少向上调节1716米，
∴1+1716=3316(米)，
∴喷头距离湖面高度的最小值为3316.
【解析】【分析】任务1：结合表格中的数据，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
任务2：根据题意和函数解析式，列出不等式，求解，即可求解.
18．【答案】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得， (0，1) ， (6，1) 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 2.5 ，
设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c ，
∴c=136a+6b+c=14ac−b24a=52 ，
解得 a=−16b=1c=1 ，
∴抛物线的函数解析式为 y=−16x2+x+1 ；
任务二：
∵y=−16x2+x+1=−16(x−3)2+52 ，
∴抛物线的对称轴为直线 x=3 ，
10 名同学，以直线 x=3 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 3 位男同学所在位置横坐标分布是 3−0.5×12=114 ， 114−0.5=94 和 94−0.5=74 ，
当 x=74 时， y=−16×(74−3)2+52=21596≈2.24>1.8 ，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当 x=34 时， y=−16×(34−3)2+52=5332≈1.656