2023-2024学年广东省广州市越秀区铁一中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市越秀区铁一中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中的最简二次根式是( )
A. 13B. 98C. 11D. 0.12
2.下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=x−1B. y=3xC. y=2x2D. y=3x
3.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 5，7，8B. 1，2，3C. 2， 3，2D. 7， 3，2
4.下列说法正确的是( )
A. 四条边相等的四边形是矩形
B. 有一个角是90°的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5.下列计算正确的是( )
A. 2 5+3 2=5 7B. 3 2×3 5=3 10
C. 5 2÷ 2=5D. 12− 2= 10
6.在平面直角坐标系中，将直线y=kx+3沿y轴向下平移2个单位长度后与x轴交于(−2,0)，则k的值为( )
A. 52B. −52C. −12D. 12
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB为边向外侧作正方形，面积分别记作S1，S2，S3，若AC= 2且满足S3=3S1，则BC=( )
A. 3
B. 2
C. 6
D. 3
8.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，y随x的增大而减小，且kb>0，则它的图象经过的象限正确的是( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
9.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE与CD交于点F.若AD=2 2，AB=4，则重叠部分△ACF的面积为( )
A. 4 2
B. 3 2
C. 2 2
D. 2
10.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持AB=6，以AB为边向右上方作正方形ABCD，AC、BD交于点P，连接OP，(1)直线OP的函数表达式为y=x；(2)OP的取值范围是3 2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.使代数式 2x−6有意义的x的取值范围是______．
12.已知点(4,y1)、(−2,y2)在直线y=−12x+3上，则y1与y2大小关系是______．
13.如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线，AB=6，AD=4，则CE= ______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=1，以斜边CB为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为______．
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，若AC=6，菱形ABCD的面积是24，则OE的长为______．
16.如图，矩形ABCD边BC上有一动点E，连接AE，以AE为边作矩形AEFG，使边FG过点D.若AB= 3，BC=4，当△AED为等腰三角形时，BE的长是______．
三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)( 12− 12)+( 2− 3)；
(2)( 2+ 5)( 2− 5)+( 3−1)2．
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.AD=1，BD=4，CD=2．
求证：∠ACB=90°．
19.(本小题10分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形．
20.(本小题10分)
滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC=1.5m，且BE=0.5m，求滑道AC的长度．
21.(本小题12分)
已知y−1与x+3成正比例，当x=−1时，y=3．
(1)求出y与x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(2)设点(a,−2)在这个函数的图象上，求a的值．
(3)试判断点(−2,5)是否在此函数图象上，并说明理由．
22.(本小题12分)
如图1、图2是由边长为1的小正方形构成的网格，图3是由边长为2的小正方形构成的网格，点A、B均在格点上．
(1)在图1中画出以AB为边的菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上(画出一个即可)．
(2)在图3中画出平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的格点上，且此四边形的面积最大；以AD为腰画等腰三角形ADE，点E在小正方形的格点上(不与B、C重合)，且三角形ADE的面积为16．
23.(本小题12分)
如图.直线y=34x+6与x轴、y轴分别交于点E、F，x轴上有一点A的坐标为(−6,0)．
(1)求EF的长；
(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出△OPA的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)若点P是该直线上的一个动点，则当点P运动到什么位置时，S△OPA=12S△OEF，请说明理由．
24.(本小题14分)
【理解概念】
定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
(1)下列四边形是三等角四边形的是______.(填序号)
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【巩固新知】
(2)如图1，折叠平行四边形DEBF，使得顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕为DG、DH．
求证：四边形ABCD为三等角四边形．

【拓展提高】
(3)如图2，在三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若AB=5，AD= 26，DC=7，则BC的长度为______．
25.(本小题14分)
如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′中点，连接DF．
(1)求∠FDP的度数；
(2)连接BP，请用等式表示AP，BP，DP三条线段之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长为 2，请直接写出△ACC′的面积最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 13= 33，不是最简二次根式，不合题意；
B、 98=7 2，不是最简二次根式，不合题意；
C、 11是最简二次根式，符合题意；
D、 0.12= 35，不是最简二次根式，不合题意．
故选：C．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案即可．
本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、y=x−1是一次函数，不符合题意；
B、y=3x是反比例函数．不符合题意；
C、y=2x2是二次函数，不符合题意；
D、y=3x是正比例函数，符合题意．
故选：D．
根据正比例函数的定义进行解答即可．
本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵52+72≠82，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+22≠32，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵( 2)2+( 3)2≠22，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵( 3)2+22=( 7)2，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故本选项正确；
故选D．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】C
【解析】解：A.四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
B.有一个角是90°的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法进行判断即可．
此题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.2 5和3 2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.3 2×3 5=9 10，故本选项不符合题意；
C.5 2÷ 2=5，故本选项符合题意；
D. 12− 2=2 3− 2，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法和减法法则，二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：将直线y=kx+3沿y轴向下平移2个单位长度后得到y=kx+3−2，即y=kx+1，
∴平移后的直线与x轴交于(−2,0)，
∴0=−2k+1，
解得k=12，
故选：D．
根据向下平移纵坐标减求出平移后的直线解析式，然后代入(−2,0)，即可求出k的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7.【答案】B
【解析】解：根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∵S1=AC2=( 2)2=2，S2=BC2，S3=AB2，
∴S1+S2=S3，
∵S3=3S1，
∴S2=2S1，
∴BC2=2×2=4，
∴BC=2．
故选：B．
根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，根据正方形得出S1=AC2=( 2)2=2，S2=BC2，S3=AB2，求出S1+S2=S3，根据S3=3S1求出S2=2S1，再求出BC即可．
本题考查了勾股定理，能求出S1+S2=S3是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵kb>0，
∴b<0，
∴一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
先根据一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，y随x的增大而减小可知k<0，再由kb>0可知b<0，据此可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点E的位置，
∴∠EAC=∠CAB，
∵CD//AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠EAC=∠DCA，
∴△ACF是等腰三角形，
设FA=FC=x，DF=4−x，
在Rt△DFA中，由勾股定理得：AF2=AD2+DF2，
即x2=(2 2)2+(4−x)2，
解得：x=3，
∴FC=3，
∴S△ACE=12×FC×AD=12×3×2 2=3 2．
故选：B．
根据折叠的性质结合平行线的性质证得FA=FC，然后在Rt△DFA中，由勾股定理列方程求得FC的长，再由△ACF的面积=12×FC×AD即可求解．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图：作PM⊥y轴，PN⊥x轴，则四边形PMON是矩形，
∴∠AMP=∠BNP=90°，∠MPN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AC与BD互相垂直且平分，AB=AD=6，则AP=BP,∠APB=90°,AB= 2BP，
∴∠APB−∠MPB=∠MPN−∠MPB,BP=3 2，
∴∠APM=∠BPN，
∴△APM≌△BPN(AAS)，
∴PM=PN，(当OA由题意可知，点P在第一象限，设P(a,a)，直线OP的函数解析式为：y=kx，
代入可得：a=ka，可得k=1，即直线OP的函数表达式为y=x，故①正确；
∵PM=PN，PM⊥y轴，PN⊥x轴，
∴四边形PMON是正方形，则OP= 2PN,ON=PN，
当OP=4 2时，ON=PN=4，则BN= BP2−PN2= 2，则OB=ON−BN=4− 2，(当OA∴当OP=4 2时，B点的坐标为(4+ 2,0)或(4− 2,0)，故③错误；
取AB的中点Q，连接OQ，PQ，DQ，OD，则AQ=3,QD= AD2+AQ2=3 5，
∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴OQ=12AB=3,PQ=12AB=3，
由三角形三边关系可得：OP≤OQ+OP=6，当O、Q、P在同一直线上时取等，
∵OP>BP−OB，0∴OP>BP=3 2，(当OA3 2)则3 2由三角形三边关系可得：OD≤OQ+DQ=3+3 5，当O、Q、D在同一直线上时取等，
∴OD的最大值为3+3 5，故④正确；
∵△APM≌△BPN(AAS)，
∴四边形AOBP面积等于正方形PMON的面积，
∵OP= 2PN，3 2∴PN的最大值为3 2，
∴四边形AOBP面积的最大值为PN2=(3 2)2=18，即⑤正确，
综上：正确的有①④⑤，共3个．
故选：C．
如图：作PM⊥y轴，PN⊥x轴，再证△APM≌△BPN(AAS)可得PM=PN，进而可求得直线OP的函数解析式为y=kx；当OP=4 2时，ON=PN=4，则BN= 2，则OB=ON−BN=4− 2，(当OABP−OB，0BP=3 2，(当OA3 2)，即可得3 2本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
11.【答案】x≥3
【解析】解：∵代数式 2x−6有意义，
∴2x−6≥0，
解得：x≥3．
故答案为x≥3．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
12.【答案】y1【解析】解：∵直线y=−12x+3中k=−12<0，
∴该直线是y随x的增大而减小，
∵点(4,y1)、(−2,y2)在直线y=−12x+3上，4>−2，
∴y1故答案为：y1根据一次函数图象的增减性即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，也可以把点A、B的坐标分别代入直线方程，分别求得y1，y2的值，然后再来比较它们的大小．
13.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，AD=4，
∴CD/​/AB，CD=AB=6，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴ED=AD=4，
∴CE=CD−ED=6−4=2，
故答案为：2．
由平行四边形的性质得CD/​/AB，CD=AB=6，则∠DEA=∠BAE，而∠DAE=∠BAE，所以∠DAE=∠DEA，则ED=AD=4，可求得CE=CD−ED=2，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出∠DAE=∠DEA是解题的关键．
14.【答案】52
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=1，
∴BC= AC2+AB2= 12+32= 10，
∵以斜边CB为底作等腰直角三角形，如图所示，
∴CD=BD，
∴BC= CD2+BD2= 2CD，
则CD=BD= 22BC= 5，
∴该等腰直角三角形的面积为12× 5× 5=52，
故答案为：52．
由勾股定理求得BC，进而由勾股定理求得等腰三角形的直角边长，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
15.【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，菱形ABCD的面积为24，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6DB=24，
解得：BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
则OE=12AD=12AB=2.5．
故答案为：2.5．
根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
16.【答案】2或 13或4− 13
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BC=4，AB= 3，
∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AD=BC=4，CD=AB= 3，
如图，当AD=AE=4时，
，
由勾股定理可得：BE= AE2−AB2= 42−( 3)2= 13；
如图，当DE=AD=4时，
由勾股定理可得：CE= DE2−CD2= 42−( 3)2= 13，
∴BE=BC−CE=4− 3；
如图，当AE=DE时，
，
过点E作EM⊥AD交AD于M，
∴∠EMA=∠B=∠BAM=90°，
∴四边形ABEM是矩形，
∴BE=AM，
∵AE=DE，EM⊥AD，
∴AM=12AD=2，
∴BE=2，
综上所述，当△AED为等腰三角形时，BE的长是：2或 13或4− 13，
故答案为：2或 13或4− 13．
由矩形的性质可得：∠B=∠C=∠BAD=90°，AD=BC=4，CD=AB= 3，分三种情况：当AD=AE=4时，由勾股定理可得BE的长；当DE=AD=4时，由勾股定理可得CE的长，从而得出BE的长；当AE=DE时，过点E作EM⊥AD交AD于M，则四边形ABEM是矩形，再由等腰三角形的性质即可得到答案．
本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 3− 22+ 2− 3
= 3+ 22；
(2)原式=2−5+3−2 3+1
=1−2 3．
【解析】(1)先化简各式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先利用平方差公式、完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是用平方差公式、完全平方公式计算．
18.【答案】证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=22+42=20，
∵AD=1，BD=4，
∴AB=AD+BD=1+4=5，
∴AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
【解析】根据垂直定义得出∠ADC=∠BDC=90°，根据勾股定理求出AC和BC，求出AC2+BC2=AB2，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，且AB/​/CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【解析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，结合条件可证明△ABE≌△CDF；可知AE=CF，且可得∠AEF=∠CFE，可得AE/​/CF，可证得四边形AECF为平行四边形．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①平行四边形⇔两组对边分别平行，②平行四边形⇔两组对边分别相等，③平行四边形⇔一组对边平行且相等，④平行四边形⇔两组对角分别相等，⑤平行四边形⇔对角线互相平分的四边形是平行四边形．
20.【答案】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE−BE=(x−0.5)m，
由题意得：∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(x−0.5)2+1.52=x2，
解得x=2.5
故滑道AC的长度为2.5m．
【解析】设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE−BE=(x−0.5)m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
21.【答案】解：(1)设y−1=k(x+3)，
∵当x=−1时，y=3，
∴3−1=2k，
解得k=1，
∴y−1=x+3，
∴y与x的函数关系式为y=x+4；
函数图象过(0,4)，(−1,3)，画出图象如下：

(2)把(a,−2)代入y=x+4得：−2=a+4，
解得a=−6；
∴a的值为−6；
(3)在y=x+4中，令x=−2得y=2，
∴点(−2,5)不在函数y=x+4的图象上．
【解析】(1)设y−1=k(x+3)，可得3−1=2k，k=1，即可得y与x的函数关系式为y=x+4；再画出图象；
(2)把(a,−2)代入y=x+4得：−2=a+4，即得a的值为−6；
(3)在y=x+4中，令x=−2得y=2，故点(−2,5)不在函数y=x+4的图象上．
本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出一次函数解析式．
22.【答案】解：(1)如图1中，菱形ABCD即为所求，如图2中，矩形AEBF即为所求；

(2)如图2中，四边形ABCD即为所求，△ADE即为所求．
【解析】(1)根据菱形的定义，矩形的定义作出图形即可；
(2)作一个AB为边的正方形即可，再根据等腰三角形的定义作出△AED．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
23.【答案】解：(1)当x=0时，y=34×0+6=6，
∴点F的坐标为(0,6)，
∴OF=6；
当y=0时，34x+6=0，
解得：x=−8，
∴点E的坐标为(−8,0)，
∴OE=8．
在Rt△OEF中，∠EOF=90°，OE=8，OF=6，
∴EF= OE2+OF2= 82+62=10；
(2)∵点A的坐标为(−6,0)，
∴OA=6．
∵点P(x,y)是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，
∴y=34x+6(−8∴△OPA的面积S=12OA⋅y=12×6⋅(34x+6)，
即S=94x+18(−8(3)当点P运动到(−83,4)或(−403,−4)时，S△OPA=12S△OEF，理由如下：
∵点P是该直线上的一个动点，
∴点P的坐标为(x,34x+6)．
∵S△OPA=12S△OEF，
∴12×6×|34x+6|=12×12×8×6，
∴34x+6=±4，
∴x=−83或x=−403，
∴当点P运动到(−83,4)或(−403,−4)时，S△OPA=12S△OEF．
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点E，F的坐标，进而可得出OE，OF的长，再在Rt△OEF中，利用勾股定理，即可求出EF的长；
(2)由点A的坐标，可求出OA的长，由点P(x,y)是该直线上的一个动点且在第二象限内运动，可得出y=34x+6(−8(3)由点P是该直线上的一个动点，可得出点P的坐标为(x,34x+6)，结合S△OPA=12S△OEF，可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点E，F的坐标；(2)利用三角形的面积公式，找出S关于x的函数关系式；(3)根据两三角形面积间的关系，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程．
24.【答案】③④ 6 2613
【解析】(1)解：矩形，正方形是三等角四边形．
故答案为：③④；
(2)证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，DE/​/BF，
∴∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形；
(3)解：延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG=EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH=HF，连接DF，如图所示：
在△DEG和△DAG中，
AG=EG∠AGD=∠EGD=90°DG=DG，
∴△DEG≌△DAG(SAS)，
∴AD=DE= 26，∠DAG=∠DEA，
在△DFH和△DCH中，
CH=HF∠DHC=∠DHF=90°DH=DH，
∴△DFH≌△DCH(SAS)，
∴CD=DF=7，∠DCH=∠DFH，
∵∠BAD=∠B=∠BCD，
∴∠DEB+∠B=180°，∠DFB+∠B=180°，
∴DE/​/BF，BE/​/DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE=7，DE=BF= 26，
∴EG=AG=12(BE−AB)=12×(7−5)=1，
在Rt△DGA中，DG= AD2−AG2= ( 26)2−12=5，
∵平行四边形DEBF的面积=BE⋅DG=DH⋅BF，
即：7×5=DH× 26，
∴DH=35 2626，
在Rt△DCH中，CH= DC2−DH2= 72−(35 2626)2=7 2626，
∴BC=BF−2CH= 26−2×7 2626=6 2613；
故答案为：6 2613．
(1)根据三等角四边形的定义判断即可；
(2)由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可；
(3)延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG=EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH=HF，连接DF，由SAS证明△DEG≌△DAG，得出AD=DE= 26，∠DAG=∠DEA，由SAS证明△DFH≌△DCH，得出CD=DF=7，∠DCH=∠DFH，证出DE/​/BF，BE/​/DF，得出四边形DEBF是平行四边形，得出DF=BE=7，DE=BF= 26，由等腰三角形的性质得出EG=AG=12(BE−AB)=1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG= AD2−AG2=5，由平行四边形DEBF的面积求出DH=35 2626，在Rt△DCH中，由勾股定理求出CH=7 2626，即可得出BC的长度．
本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换−折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)由对称得：CD=C′D，∠CDE=∠C′DE，
在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，
∴AD=C′D，
∵F是AC′的中点，
∴DF⊥AC′，∠ADF=∠C′DF，
∴∠FDP=∠FDC′+∠EDC′=12∠ADC=45°；
(2)结论：BP+DP= 2AP，
证明：如图，作AP′⊥AP交PD的延长线于P′，

∴∠PAP′=90°，
在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°，
∴∠DAP′=∠BAP，
由(1)可知：∠FDP=45°，
∵∠DFP=90°，
∴∠APD=45°，
∴∠P′=45°，
∴AP=AP′，
在△BAP和△DAP′中，
BA=DA∠BAP=∠DAP′AP=AP，
∴△BAP≌△DAP′(SAS)，
∴BP=DP′，
∴DP+BP=PP′= 2AP；
(3) 2−1．
理由如下：如图，过C′作C′G⊥AC于G，则S△AC′C=12AC⋅C′G，

Rt△ABC中，AB=BC= 2，
∴AC= ( 2)2+( 2)2=2，即AC为定值，
当C′G最大时，△AC′C的面积最大，
连接BD，交AC于O，当C′在BD上时，C′G最大，此时G与O重合，
∵CD=C′D= 2，OD=12AC=1，
∴C′G= 2−1，
∴S△AC′C=12AC⋅C′G=12×2×( 2−1)= 2−1．
【解析】(1)证明∠CDE=∠C′DE和∠ADF=∠C′DF，可得∠FDP′=12∠ADC=45°；
(2)作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP′(SAS)，得BP=DP′，从而得△PAP′是等腰直角三角形，可得结论；
(3)先作高线C′G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C′在BD上时，C′G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．
本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．