2023-2024学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 7C. 8D. 0.3
2.若 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>0B. x>3C. x≥3D. x≤3
3.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠C的度数为( )
A. 70°B. 80°C. 110°D. 150°
4.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 2，2，5D. 2，3， 5
5.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 18÷3= 6D. 8=2 2
6.若 (1−a)2=1−a，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a0，则只有当n= ______时，n+4n有最小值______．
数学思考：现有面积为1的矩形ABCD，直接写出其周长的最小值______．
拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知A(−3,0)，B(0,−4)，点P为第一象限内一动点，过P分别向坐标轴作垂线，分别交x、y轴于C、D两点，矩形OCPD的面积始终为12，当四边形ABCD的面积最小时，试判断四边形ABCD为何种特殊形状的平行四边形，并说明理由．
25.(本小题12分)
如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)若点E运动到AB中点时，求证：四边形DFEC是平行四边形；
(3)若CG=4时，探究3AF2+4AE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 12= 22， 8=2 2， 0.3= 3010，
所以 12、 8、 0.3都不是最简二次根式，而 7为最简二次根式．
故选：B．
利用二次根式的性质化简得到 12= 22， 8=2 2， 0.3= 3010，从而可对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件(被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式)是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵使 x−3在实数范围内有意义，
∴x−3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
∵∠A+∠C=220°，
∴∠A=∠C=110°．
故选：C．
平行四边形的对角相等，由此来解答即可．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
4.【答案】D
【解析】解：A、1+2=3不能构成三角形，错误；
B、22+32≠42；
C、2+2b，设斜边是c，
∵小正方形的面积是2，
∴(a−b)2=2，
∴a2+b2−2ab=2，
∵ab=9，
∴a2+b2=20，
∴c= a2+b2=2 5．
∴大正方形的边长是2 5．
故答案为：2 5．
直角三角形的两直角边分别为a、b，令a>b，设斜边是c，由小正方形的面积是1，得到(a−b)2=1，推出a2+b2=13，由勾股定理求出c=.因此大正方形的边长．
本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，关键是由完全平方公式得到a2+b2=13，由勾股定理即可得到答案．
16.【答案】①②③④
【解析】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABE和△ADE中，
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∴DE=FG，
即①正确；
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE，
∴∠BFG=∠ADE，
即②正确，
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由①得，∠ABE=∠ADE，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE，
∴∠OFB=∠ADE，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°，
∴∠OFB+∠AHD=90°，
即∠FMH=90°，
∴DE⊥FG，
即③正确；
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE最小，
∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2=3 2，
∴DE=12AC=32 2，
由①知，FG=DE，
∴FG的最小值为32 2，
即④正确，
综上，①②③④正确，
故答案为：①②③④．
连接BE，交FG于点O，由题意得∠EFB=∠EGB=90°，即可得四边形EFBG为矩形，得FG=BE，OB=OF=OE=OG，用SAS即可得△ABE≌△ADE，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得∠BFG=∠ADE，即可判断②，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE=∠ADE，根据题意和角之间的关系得DE⊥FG，即可判断③，根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理得AC=3 2，即可得FG的最小值为32 2，即可判断④．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
17.【答案】解：(1) 80− 20+ 5
=4 5−2 5+ 5
=3 5；
(2)(5− 2)2
=25−10 2+2
=27−10 2．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据完全平方公式展开，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：
在□ABCD中，AD=BC且AD//BC，
∵BE=FD，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【解析】由条件可证明四边形AECF为平行四边形，可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
19.【答案】 29 9
【解析】解：(1)AC= 22+52= 29，△ABC的面积=4×5−12×2×4−12×1×4−12×2×5=9．
故答案为： 29，9；
(2)如图所示，BD即为所求，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12× 29⋅BD=9，
∴BD=18 2929．
(1)利用勾股定理求出AC，利用分割法求出△ABC的面积；
(2)取格点T，连接BT交AC于点D，线段BD即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)原式=x2+y2
=(2+ 3)2+(2− 3)2
=4+2 3+3+4−2 3+3
=14；
(2)原式=(x+y)(x−y)
=(2+ 3+2− 3)[(2+ 3)−(2− 3)]
=4×2 3
=8 3．
【解析】(1)直接把x，y的值代入进行计算即可；
(2)先利用平方差公式把原式进行分解，再把x，y的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】解：设AB=AB′=x，
由题意可得出：B′E=1.4−0.6=0.8(m)，
∴AE=AB−0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2=AB2，
∴(x−0.8)2+2.42=x2，
解得：x=4，
答：秋千AB的长为4m．
【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设AB=x，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，CF=6，BF=8，
∴BC= CF2+BF2= 62+82=10，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB/​/DC，
∴∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=10．
【解析】(1)先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
(2)根据勾股定理求出BC长，求出AD=DF，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)∵a=5，b=6，c=7，
∴p=12(a+b+c)=9，
∴S= p(p−a)(p−b)(p−c)
=6 6；
(2)如图2，连接AC，
∠B=90° AB=3，BC=4，
∴AC= 32+42=5，
在△ACD中，P=12×(5+7+8)=10，
S= 10×(10−5)×(10−7)×(10−8)=10 3
∴该四边形的面积=S△ABC+S△ACD=6+10 3．
【解析】(1)直接利用海伦公式计算得出答案；
(2)利用勾股定理得出AC的长，进而结合海伦公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确运用海伦公式计算是解题关键．
24.【答案】2 4 4
【解析】解：问题呈现：∵n+4n≥2 n⋅4n，
∴n+4n≥4，
当n=4n时，即n2=4时，n+4n有最小值，最小值为4，
∵n>0，
∴n=2，
即只有当n=2时，n+4n有最小值4，
故答案为：2，4；
数学思考：∵矩形ABCD的面积为1，
设矩形ABCD的长为a，则矩形的宽为1a，
∴矩形ABCD周长为2(a+1a)，
∵a+1a≥2 a⋅1a=2，
∴当a=1a时，a+1a有最小值，最小值为2，
∴2(a+1a)的最小值为2×2=4，
即矩形ABCD周长的最小值为4，
故答案为：4；
拓展运用：
设P(x,y)，
∵四边形OCPD为矩形，且面积始终为12，
∴xy=12，
∴y=12x，
∴DP=OC=x，PC=OD=y=12x，
∵A(−3,0)，B(0,−4)，
∴OA=3，OB=4，
∵S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△COD=12×3×12x+12×3×4+12×4⋅x+12x⋅12x=2x+18x+12，2x+18x≥2 2x⋅18x=12，
∴当2x=18x，即x2=9时，2x+18x有最小值为12，
∵点P为第一象限内一动点，
∴当x=3时，四边形ABCD的面积最小，最小值为24，
此时OC=3，OD=4，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
问题呈现：仿照题干进行求解即可得到答案；
数学思考：设矩形ABCD的长为a，则矩形的宽为1a，仿照题干，求出a+1a的最小值，即可得到答案；
拓展运用：设P(x,y)，根据矩形的面积，推出y=12x，再根据S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△COD，得到S四边形ABCD=2x+18x+12，进而求出当四边形ABCD的面积最小时，x=3，然后根据对角线互相垂直且平分，即可判断四边形ABCD的形状．
本题考查四边形的综合应用，掌握完全平方公式，最小值问题，菱形的判定等知识是解题关键．
25.【答案】(1)解：连接BD，AC交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=DB=4，
∴OB=2，
∵AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴AO= AB2−OB2= 42−22=2 3，
∴AC=2AO=4 3，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×4 3×4=8 3；
(2)证明：∵E为AB的中点，
∴AF=AE=12AB，
∴EF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC/​/AB，DC=AB，
∴EF/​/CD，EF=CD，
∴四边形DFEC是平行四边形；
(3)解：作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=BC，
∵AB=CG=4，
∴CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD，
∵CD/​/AB，
∴∠CDG=∠GEF，
∵∠EGF=∠CGD，
∴∠EGF=∠GEF，
∴FE=FG，
∴FG=2m，
在Rt△CBH中，∠CBH=60°，
∴∠BCH=30°，
∵BC=4，
∴BH=12BC=2，
∴CH= BC2−BH2= 42−22=2 3，
∵CG=4，AB=4，
在Rt△CFH中，CF=4+2m，CH=2 3，FH=6+m，
∴CF2=CH2+FH2，
即(4+2m)2=(2 3)2+(6+m)2，
∴3m2+4m−32=0，
∴3AF2+4AE=32．
【解析】(1)连接BD，AC交于点O，由勾股定理求出AC的长，则可得出答案；
(2)证出EF//CD，EF=CD，由平行四边形的判定可得出结论；
(3)作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，由勾股定理求出CH=2 3，由CF2=CH2+FH2可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．