2023-2024学年广东省广州市花都区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市花都区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子中，最简二次根式的是( )
A. 2B. 23C. 0.1D. 4
3.在▱ABCD中∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 50°B. 130°C. 40°D. 100°
4.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a5C. (a2b)3=a5b3D. a2÷a3=a
5.在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 6，8，10C. 3，4，5D. 1， 3，2
6.如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作AB⊥OA且AB=2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为( )
A. −3.6B. 3.6C. − 13D. 13
7.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，如果添加一个条件，即可得出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是( )
A. AC=BDB. AB/​/CDC. ∠A=∠CD. AC⊥BD
8.如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是( )
A. 8米B. 12米C. 16米D. 24米
9.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F在线段DE上，且CF⊥AF，CD=3，EF=1，则AB的长为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10.如图，以OA为直角边作等腰直角三角形OAB1，再以OB1为直角边在△OAB1外侧作等腰直角三角形OB1B2，…，如此继续，得到n(n≥2)个等腰直角三角形，若图中△OAB1的面积是1，则△OBn−1Bn的面积是( )
A. 2n−1
B. 2n
C. ( 2)n−1
D. ( 2)n
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.点A(−2,1)关于y轴对称的点的坐标为______．
13.方程3x=2x−3的解为______．
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=10，OB=6，则菱形ABCD的面积是______．
15.如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a−2|+ a2−6a+9= ______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合.若AD=5，则EF的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算： 8+ 18．
18.(本小题4分)
计算：(a+2)(a+3)．
19.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD边上，且BE=DF，连接AE，CF.求证：AE=CF．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(a+3a+1−1a+1)÷a+2a2−1，其中a= 2+1．
21.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4．
(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线EF，交BC于点E，交AD于点F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接AE，若AE=5，求AD的长度．
22.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，请从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：四边形ABCD为菱形．
条件①：BD平分∠ABC；
条件②：OA2+OB2=CD2．
23.(本小题10分)
如图，某小区内有一块四边形空地ABCD，计划将这块空地建成一个花园，以美化居住环境.经测量得知，∠B=90°，AB=8米，BC=6米，CD=26米，AD=24米．
(1)求这块四边形空地的面积；
(2)预计花园每平方米造价为200元.该小区修建这个花园需要花费多少元？
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴和y轴上，已知∠ABO=30°，OA=2．
(1)求线段AB的长；
(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，沿x轴向负方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段AB向终点A运动，当点Q到达终点时点P也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
①当△APQ是直角三角形时，求t的值；
②在平面内，是否存在点E，使以点P，Q，A，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
如图1，正方形ABCD的边长是2，E为对角线BD上一动点，∠ECF=90°，CE=CF，当点E从点B运动到点D的过程中，回答下列问题：
(1)求对角线BD的长度；
(2)求△DEF周长的最小值；
(3)如图2，在线段AD上取一点G，连接BG和FG，当BG⊥FG时，试探究BG和FG的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故B符合题意．
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：A、 2是最简二次根式，此选项符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中∠A=50°，
∴∠B=180°−∠A=180°−50°=130°．
故选：B．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
4.【答案】B
【解析】解：A、a3与a2不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故该项正确，符合题意；
C、(a2b)3=a6b3，故该项不正确，不符合题意；
D、a2÷a3=1a，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、22+32≠42，故不能组成直角三角形，符合题意；
B、62+82=102，故能组成直角三角形，不符合题意；
C、32+42=52，故能组成直角三角形，不符合题意；
D、12+( 3)2=22，故能组成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知OA=3，AB=2，
根据勾股定理，得OB= OA2+AB2= 13，
∴OC= 13，
因为点C在正半轴，
所以点C对应的实数为 13．
故选：D．
先根据题意确定OA，AB，再根据勾股定理求出OB，可得答案．
本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形，
故选：A．
根据正方形的判定方法解答即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据对角线相等的菱形是正方形解答．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意可知BC=10米，
设AB=x，则AC=x+2，
Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
即(x+2)2=102+x2，
解得x=24．
∴该河的宽度AB为240米．
故选：D．
根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边AB的长度．
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
9.【答案】B
【解析】解：∵CF⊥AF，
∴∠AFB=90°，D是AC的中点，CD=3，
∴DF=CD=12AC=3，
∴DE=DF+EF=3+1=4．
∵点D，E分别是边AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB．
∴AB=2DE=8．
故选：B．
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=12AC；利用三角形中位线定理得到DE=12AB.所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
10.【答案】A
【解析】解：在等腰Rt△OAB1中，AB1=OA，
又∵12OA×AB1=1，
∴OA= 2，
∴OB1= 2OA=2=B1B2，
∴S△OB1B2=12OB1×B1B2=2，
同理，OB2= 2OB1=2 2，S△OB2B3=4；
OB3= 2OB2=4，S△OB3B4=8；
……，
∴S△OBn−1Bn=2n−1，
故选：A．
根据等腰直角三角形的性质得出OB1= 2OA=2，S△OB1B2=2；OB2= 2OB1=2 2，S△OB2B3=4；OB3= 2OB2=4，S△OB3B4=8；……，继而推出△OBn−1Bn的面积．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，算术平方根，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】x≥1
【解析】解：根据二次根式的性质可知，x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】(2,1)
【解析】解：根据平面内关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
已知点A(−2,1)，则点A关于y轴对称的点的横坐标为−(−2)=2，纵坐标为1，
故点(−2,1)关于y轴对称的点的坐标是(2,1)．
故答案为(2,1)．
根据平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，易得答案．
本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．应该熟记这一个变换规律．
13.【答案】x=9
【解析】解：3x=2x−3，
方程两边都乘x(x−3)，得3(x−3)=2x，
3x−9=2x，
3x−2x=9，
x=9，
检验：当x=9时，x(x−3)≠0，
所以分式方程的解是x=9．
故答案为：x=9．
方程两边都乘x(x−3)得出3(x−3)=2x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14.【答案】96
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=2OB=12，
∵AB=10，
∴AO= AB2−OB2=8，
∴AC=16，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×12×16=96，
故答案为：96．
根据菱形的性质得到AC⊥BD，BD=2OB=12，根据勾股定理得到AO= AB2−OB2=8，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：由数轴可知，
2则|a−2|+ a2−6a+9=a−2+ (a−3)2=a−2+3−a=1．
故答案为：1．
先根据数轴分析出a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16.【答案】74
【解析】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，
∴BD=DE，BC=CE=6，∠B=∠CED，
∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，
∴∠A=∠DEF，AD=DE，AF=EF，
∴∠FED+∠CED=90°，
∴AD=DB，
∴CD=DA=DB=12AB，
∵DC=5，
∴AB=10，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∴CF=8−AF，
∴EF2+CE2=CF2，
∴AF2+62=(8−AF)2，
∴CF=254，
∴AF=AC−CF=74，
∴EF=74，
故答案为：74．
根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论．
本题主要考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式=2 2+3 2
=5 2．
【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】解：(a+2)(a+3)
=a2+2a+3a+6
=a2+5a+6．
【解析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴EC=AF，
又∵EC//AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【解析】由平行四边形的性质得AD//BC，AD=BC，再由BE=DF推出AF=EC，则四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(a+3a+1−1a+1)÷a+2a2−1
=a+3−1a+1÷a+2(a+1)(a−1)
=a+2a+1⋅(a+1)(a−1)a+2
=a−1，
当a= 2+1时，
原式= 2+1−1= 2．
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】解：(1)如图所示：直线EF是所求；

(2)在矩形ABCD中，有AD=BC，∠B=90°，AD=BC，
在Rt△ABE中，∠B=90°，AE=5，AB=4，
由勾股定理得：BE= AE2−AB2= 52−42=3，
∵EF垂直平分AC，
∴EC=AE=5，
∴BC=BE+EC=3+5=8，
∴AD=BC=8．
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用勾股定理求出BE，再求出BC可得结论．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：选择条件①：BD平分∠ABC，证明如下：
∵AD/​/BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠ADB=∠CBD，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵∠AOD=∠COB，
∴△ADO≌△CBO(ASA)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD为菱形；
选择条件②：OA2+OB2=CD2，证明如下：
同上可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∵OA2+OB2=CD2，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
【解析】先证明△ADO≌△CBO(ASA)，得AD=BC，再证明四边形ABCD为平行四边形，然后证明AB=AD或AC⊥BD，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)连接AC，
在Rt△ABC中，AB=8米，BC=6米，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴AC2+AD2=102+242=676，
∵CD2=262=676，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12×8×6=24平方米，S△ACD=12AC⋅AD=12×10×24=120平方米，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=24+120=144平方米，
答：四边形空地的面积为144平方米；
(2)144×200=28800(元)，
答：该小区修建这个花园需要投资28800元．
【解析】(1)连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，即可求出四边形ABCD的面积；
(2)根据四边形ABCD的面积和花园每平方米造价即可求出答案．
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△AOB中，∠ABO=30°，OA=2，
∴AB=2OA=4；
(2)①∵∠PAQ=90°−∠ABO=90°−30°=60°，
∴∠PAQ≠90°，
∴当△APQ是直角三角形时，有以下两种可能情况：
情况一：当∠QPA=90°时，△APQ是直角三角形，

∵∠PAQ=60°，
∴∠PQA=30°，
∴AQ=2PA，
∴4−t=2×2t，
解得t=45；
情况二：当∠PQA=90°时，△APQ是直角三角形，

∵∠PAQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴PA=2AQ，
∴2t=2(4−t)，
解得t=2；
由题意知0≤t≤4，
综上所述，当△APQ是直角三角形时，t=45或2．
②存在．
情况一：由①知当t=45时，∠PQA=90°，△APQ是直角三角形，

如图，过点A作AE//PQ且AE=PQ，连接QE，
则四边形PAQE为矩形，
∵在Rt△APQ中，AQ=165，PA=85，
∴PQ= AQ2−PA2=8 35，
∴AE=8 35，
∵OA=2，
∴E(2,8 35)；
情况二：由①知当t=2时，∠PQA=90°，△APQ是直角三角形，
如图，过点A作AE//PQ且AE=PQ，
连接PE，则四边形PQAE为矩形，

∵在Rt△APQ中，AQ=2，PA=4，
∴PQ= PA2−AQ2=2 3，
∴AE=2 3，
∵∠PAQ=60°，∠EAQ=90°，
∴∠PAE=30°，
作EF⊥x轴，垂足为F，则EF=12AE= 3，
∴AF= AE2−EF2=3，
∴OF=AF−OA=1，
∴E(−1,− 3)；
综上所述，存在点．E(2,8 35)或(−1,− 3)，使以点P，Q，A，E为顶点的四边形是矩形．
【解析】(1)由直角三角形的性质可得出答案；
(2)①分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案；
②分两种情况，由矩形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
25.【答案】解：(1)∵正方形ABCD的边长是2，
∴BD= 2AB=2 2；
(2)∵∠ECF=90°，CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF= 2EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°=∠ECF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴△BEC≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF，
∴△DEF周长=DE+DF+EF=BE+DE+EF=BD+EF=2 2+ 2CE，
∴当CE有最小值时，△DEF周长有最小值，
当CE⊥BD时，CE的最小值为 2，
∴△DEF周长最小值为2+2 2；
(3)如图2，在AB上截取AH=AG，连接GH，

∵AB=AD，∠A=90°，AH=AG，
∴BH=GD，∠AGH=∠AHG=45°，
∴∠BHG=135°，∠ABG+∠BGH=45°，
∵GB⊥GF，
∴∠AGB+∠DGF=90°，
∴∠BGH+∠DGF=45°，
∴∠ABG=∠DGF，
由(1)可知：△BEC≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF=45°，
∴∠GDF=135°=∠BHG，
∴△BHG≌△GDF(ASA)，
∴BG=GF．
【解析】(1)由正方形的性质可求解；
(2)由“SAS”可证△BEC≌△DCF，可得BE=DF，即△DEF周长=2 2+ 2CE，则当CE有最小值时，△DEF周长有最小值，即可求解；
(3)由“ASA”可证△BHG≌△GDF，可得BG=GF．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．