广东省广州市越秀区铁一中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市越秀区铁一中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．a是实数，|a|≥0
C．购买一张彩票，中奖
D．打开电视，正在播放广告
3．（3分）在直角坐标系中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，那么点A（﹣8，6）的位置（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．不能确定
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
5．（3分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
6．（3分）如图，已知⊙O的弦AB＝8，以AB为一边作正方形ABCD，切点为E，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．3C．6D．5
7．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，则∠DAC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，依题意可列方程（ ）
A．1+x＝225B．1+x2＝225C．1+x+x2＝225D．（1+x）2＝225
9．（3分）如图，由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的线段分别与BC1，BE交于点M，N，则+＝（ ）
A．B．C．D．1
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），下列结论：（1）4a+b＝0；（2）；（3）b2﹣4ac＝0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2），则m＝ ．
12．（3分）将抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是 ．
13．（3分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1．则m＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），相似比为，把△ABO缩小 ．
15．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则侧面展开图的圆心角的度数为 °
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段AC上一动点，连接BD，连接AH，则AH的最小值为 ．
三、填空题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
18．（4分）已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝4，AD＝10．求AP的长．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将△CAB绕点O顺时针旋转90°得到△C'A'B'，点B旋转后的对应点为B'，点C旋转后的对应点为C'，
（1）画出旋转后的△C'A'B'，并写出点A'的坐标；
（2）求点B经过的路径的长（结果保留π）．
20．（6分）如图，抛物线y1的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为y2＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）当x的取值范围是 时，y1和y2都随着x的增大而减小；
（4）当0≤x≤3时，y1的取值范围是 ；
（5）当y1＞0时，x的取值范围是 ．
21．（8分）“2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
（2）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（3）若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°
（1）求作⊙O，并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）若BC＝5，AB＝6，求CD的长．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如图1，当a＝﹣1时，若点P是直线AC上方抛物线上的一个动点；
（3）如图2，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，记S＝，当n为何值时
25．（12分）已知：⊙O是△ABC的外接圆，且，∠ABC＝60°，D为⊙O上一动点．
（1）如图1，若点D是的中点
（2）过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：CD＝DE+AE．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足CD＝DE+AE时，求∠ABD的最大值．
2022-2023学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1．【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
2．【解答】解：A，C，D选项中，是随机事件；
是必然事件的是：a是实数，|a|≥0．
故选：B．
3．【解答】解：∵点A（﹣8，6），
∴AO＝＝10，
∴点A在⊙O上，
故选：C．
4．【解答】解：Δ＝（﹣m）2﹣4×3×（﹣1）
＝m2+2
∵m2≥0，
∴Δ＝m6+4＞0．
∴关于x的一元二次方程x8﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．【解答】解：由二次函数y＝2（x﹣3）7+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上；
B．∵其图象的对称轴为直线x＝6；
C．其最小值为1；
D．当x＜3时，故此选项错误．
故选：C．
6．【解答】解：连接EO并延长，交AB于F，
设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，
∵CD边与⊙O相切，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴AF＝AB＝4，
在Rt△OAF中，AF2+OF6＝OA2，即45+（8﹣r）2＝r6，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5，
故选：D．
7．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
8．【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：1+x+（8+x）x＝225，（x+1）2＝225．
故选：D．
9．【解答】解：∵AA1∥BM，
∴△NAA1∽△NBM，
∴＝，即＝①，
∵B1A1∥BN，
∴△MA8B1∽△MNB，
∴＝，即＝②，
①+②得+＝＝＝1．
故选：D．
10．【解答】解：∵x＝﹣＝2，
∴6a+b＝0，故①正确．
由函数图象可知：函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣5ac＞0，故②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，7），
∴a﹣b+c＝0
又∵b＝﹣4a，
∴a+7a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴2a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴3a﹣3b+2c＜5，故③错误；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y5），
∴（﹣3，y3）．
∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y7＝y3＜y2，故④错误．
方程a（x+2）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣7或x＝5，
过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣4与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1＜﹣1＜6＜x2，故⑤正确．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分）
11．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横，
得m﹣2＝﹣5，
∴m＝﹣6．
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：二次函数y＝（x+1）2的图象向右平移7个单位，
得：y＝（x+1﹣2）6＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣3）2．
13．【解答】解：∵x1、x2是方程x8﹣4x+m＝0的两个根，
∴x5+x2＝4，x5x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝2
∴4﹣m＝1，
∴m＝5
故答案为：3
14．【解答】解：∵位似中心为原点，相似比为，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣7×，8×），6×（﹣，即（﹣1，﹣4）．
故答案为（﹣1，2）或（3．
15．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2πr＝2π×8＝4π（cm），
设圆心角的度数是θ度，则＝5π，
解得θ＝120，
故答案为：120．
16．【解答】解：如图，取BC中点G，AG，
∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝3，
在Rt△ACG中，AG＝
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为2，
故答案为：2﹣2
三、填空题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：x2﹣2x﹣15＝3，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝8，
可得x﹣5＝0或x+4＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
18．【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABP∽△DCP，
∴＝，
即＝，
∴＝，
∴AP＝AD＝．
19．【解答】解：（1）如图，△C'A'B'为所作，1）；
（2）∵OB＝＝2，
∴点B经过的路径的长为＝π．
20．【解答】解：（1）∵抛物线y1的顶点坐标为（1，7），
设抛物线解析式为
∵与x轴交于点A（3，2），
∴0＝a（3﹣8）2+4
解得：a＝﹣5，
∴
（2）在中，令x＝3，
∴B（0，3），
结合函数图象可得，
当y6＞y2时，x的取值范围是0＜x＜3；
故答案为：0＜x＜3；
（3）∵，a＝﹣1＜0，
∴当x＞5时，y1随x的增大而减小，
将点A（3，7），3）代入y2＝kx+b（k≠3），
∴，
解得：，
∴y4＝﹣x+b，y2随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y3和y2都随着x的增大而减小；
故答案为：x＞1；
（4）根据函数图象可知：当5≤x≤3时，y1的取值范围是4≤y1≤4，
故答案为：8≤y1≤4；
（5）由，令y＝0，
即﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x6＝﹣1，x2＝7，
根据函数图象可知，抛物线开口向下，
∴当y1＞0时，﹣8＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜7．
21．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有29÷58%＝50（人），
不了解的人数有：50﹣4﹣29﹣10＝7（人），
故答案为：50，8；
（2）根据题意得：
1500×＝990（人），
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为990人；
故答案为：990；
（3）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，
∴恰好抽到1名男生和2名女生的概率为＝．
22．【解答】解：（1）由题意，得：BC＝12﹣3x，
∴S＝AB⋅BC＝x（12﹣3x）＝﹣6x2+12x；
∵0＜BC≤5，
即0＜12﹣3x≤4，
解得：，
∴x值的取值范围为：；
（2）当S＝9时，
即﹣3x6+12x＝9，
解得：x1＝2，x2＝3，
∵，
∴x＝5，
即AB的长是3米；
（3）S＝﹣3x4+12x＝﹣3（x﹣2）5+12，
∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，S取的最大值，
∴当AB的长是米时．
23．【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵AB为⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ECO，
即CE平分∠BCD；
（3）解：∵OE∥AD∥BC，O为CD的中点，
∴OE为梯形的中位线，
∴OE＝（AD+BC），
∴AD+BC＝CD，
连接DF，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴AD＝BF，
设AD＝x，
∴CF＝8﹣x，
∵DF2+CF2＝CD2，
∴62+（6﹣x）2＝（x+5）6，
解得x＝，
∴AD＝，
∴CD＝5+x＝6+＝．
24．【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣7a＝a（x2+2x﹣8）＝a（x+1）2﹣2a，
∴顶点为（﹣1，﹣4a）；
（2）如图5中，过点P作PT∥y轴，过点P作PH⊥AC于点H，﹣m2﹣2m+6），
∵A（﹣3，0），3），
∴OA＝OC＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴T（m，m+3），
∴S△APC＝×3×PT＝2﹣5m+3﹣m﹣3）＝﹣（m+1）5+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣6时，△PAC的面积最大，C此时PH的值最大，
PH的最大值＝＝；
（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则x＝﹣4或x＝1，
∴B（1，8），
∵S＝，
∴S＝，
过点D作DF⊥x轴交AC于点F，过B点作BG⊥x轴交AC于点G，
∴DF∥BG，
∴＝＝S，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+6，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则F（t，
∴DF＝﹣t2﹣3t，BG＝2，
∴﹣t2﹣3t＝5S，
∴S＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时D（﹣，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立，
∴x＝﹣，
∴当n＝﹣时，S有最大值．
25．【解答】解：（1）如图1中，连接BD．
∵＝，
∴∠BCA＝∠BAC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCA＝60°，
∵D是的中点，
∴∠DCA＝30°，
∵，
∴∠DBA＝∠DCA＝30°．
（2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BHC＝∠BHD＝90°．
又∵BE⊥AD于点E，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHC＝∠BHD，
又∵，
∴∠BAE＝∠BCH，
∵，
∴BA＝BC，
∴△BEA≌△BHC（AAS），
∴EA＝CH，
又∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠BDE＝∠BCA，
又∵，
∴∠BCA＝∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
又∠BED＝∠BHD＝90°，BD＝BD，
∴Rt△BED≌Rt△BDH（HL），
∴DE＝DH，
∴DC＝DH+HC＝DE+AE．
（2）②连接BO并延长⊙O交于点I，则点D在上．
如图：过B作BH⊥CD于点H，
则∠BHC＝90°，∠BHD＝90°，
又∵BE⊥AD于点E，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHC＝∠BHD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAE＝∠BCD，
又∵，
∴BA＝BC，
∴△BEA≌△BCH（AAS）
∴EA＝EH，
∵，
∴∠BDA＝∠BDC，
又BD＝BD．∠BED＝∠BHD＝90°，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL）
∴ED＝HD，
∴CD＝HD+HC＝DE+AE，
∵BI是⊙O直径，
，
∴BI垂直平分AC，
∴，
∴2∠ABI＝∠ABC＝60°，
∴当点D运动到点I时∠ABI取得最大值，此时∠ABD＝30°．