安徽省蚌埠市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题、每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．逐一验证每个选项是否符合定义即可．
【详解】解：A： 被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B： ，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C： ，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D：是最简二次根式，该选项符合题意；
故选：D
2. 下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的一组是（ ）
A. 1，2，B. ，，C. 2，，4D. ，，7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴三边长为1，2，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴三边长为，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴三边长为2，，4不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴三边长为，，7不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 方程的解是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉其解法是解决问题的关键．利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，即，
，，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式加减运算、乘法运算和分母有理化，掌握同类二次根式的定义和二次根式的运算规则是解答本题的关键．根据二次根式的加减运算，乘法运算规则进行计算即可．
【详解】解：A： ，被开方数不同， 不是同类二次根式，不能进行合并， 该选项不符合题意；
B： ， 该选项不符合题意；
C： ， 该选项符合题意；
D： ， 该选项不符合题意；
故选：C．
5. 用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解；
，
故选：A．
6. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实根B. 有两个正根
C. 有两个负根D. 有一个正根，一个负根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．求出，判断其符号即可得解，也考查了根与系数的关系．
【详解】解：由，得，
，又，
，
该方程有两个不相等的实根，并设为，，
∵，
∴两个根为一个正根，一个负根．
故选：D．
7. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则方程的另一个根是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程概念、根的意义以及解法，熟悉其相关知识是解决问题的关键．根据方程的一个根是0和一元二次方程的定义，可求出的值，然后解方程即得解．
【详解】解： 关于的一元二次方程的一个根是0，
满足方程，代入得：，即，
，
又为关于的一元二次方程，则，即，
，
原方程为，即，
方程的另一个根为．
故选：C．
8. 高空物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（为重力加速度，）．若一物体从的高空下落，则落到地面的时间大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式应用，当时即可求出的值，解题的关键是掌握二次根式的化简．
【详解】解：当时，，
∴，
∵
∴，
故选：．
9. 如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，展开图，
∴；
如图，展开图，
∴；
如图，展开图，
∴；
如图
∴，
综上可知：∵
∴爬行到达点的最短路线长为，
故选：．
10. 已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A. 23B. 15C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．
【详解】解： ，是不为0的实数，
由 ，，得，，
又，
，为一元二次方程的两个不相等实根，
，，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：________（填“，或”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若，则应当满足的条件是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，熟悉算术平方根的意义是解决问题的关键．根据算术平方根的意义得，，由此得解．
【详解】解： ，
，
．
故答案为：．
13. 某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为，
依题意得，，
解得，或，
∴第二、三季度销售额的平均增长率为，
故答案为：．
14. 如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：
（1）S1、S2、S3满足的数量关系是________．
（2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则=________．
【答案】 ①. S1+S2=S3 ②. 7
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明．
（2）设△ACB面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，整理之后即可代值求解．
【详解】解：（1）在中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，
如图，在等边中，边上的高

同理：S2=BC，S3=AB，
∴S1+S2=S3；
（2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b；
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，
∴S甲+ S乙= S丙+S，
∴S=6+5-4=7．
故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算．熟练应用勾股定理、正确计算等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【详解】解：
．
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），；
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，掌握并熟练运用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题关键．
（1）移项得，利用直接开平方法即可求解；
（2）分解因式得，利用因式分解法即可求解；
【小问1详解】
解：由
得，
，．
【小问2详解】
解：由，
得，
，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 若关于的方程是一元二次方程．
（1）求的值；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的概念，根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由于是关于的一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2，由此得到，，即得解．
（2）第一问的值已求，根据有两个相等实数根，即可求出的值.
【小问1详解】
解： 关于的方程是一元二次方程，
，
由①得，，
由②得，或，
．
【小问2详解】
解： ，
关于的一元二次方程为 ，
该方程有两个相等的实数根，
，解得，
．
18. 已知，，求下列代数式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再利用完全平方公式把所求式子变形为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）根的判别式与根的个数，以及根与系数的关系．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．注意在利用根与系数的关系时，不要忽略判别式的取值范围．
（1）根据方程有实数根：，进行计算即可；
（2）根据方程两个不相等的实数根：，再利用根与系数的关系得出，进行计算即可；
【小问1详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
的取值范围为：．
【小问2详解】
解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：．
，即，
，
或，又，
．
20. 某农场主承包一片土地，形状如图所示，经测得，，，，．
（1）为方便种植，农场主打算修建一条小路，连接，求的长；
（2）求该四边形土地的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握定理是解决问题的关键．
（1）在中，利用勾股定理求小路的长；
（2）由勾股定理逆定理判断形状，由三角形面积公式求得四边形土地的面积．
【小问1详解】
解：在中，，利用勾股定理得，
，
．
答：小路的长为．
【小问2详解】
解：在中，
，，
，
为直角三角形，且，
四边形土地的面积为：．
答：该四边形土地的面积为．
六、（本题满分 12 分）
21. 观察下列各式：
①，
②，
③，
④，
……
（1）请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索：
（1）观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即；
（2）根据（1）的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论．
【小问1详解】
解：①，
②，
③，
④，
……，
以此类推可知；
【小问2详解】
证明：∵（是正整数且），
∴
；
，
∴．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【小问1详解】
证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
【小问2详解】
解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
八、（本题满分 14 分）
23. 阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则．
（1）如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：；
（2）若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状；
（3）如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，轴对称最短路径问题：
（1）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，进而得到，再利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用（1）所求得到，，，进而得到，则由勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形；
（3）作点A关于x轴的对称点C，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，利用（1）的结论求出的长即可得到答案．
小问1详解】
证明：如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C，
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图所示，作点A关于x轴的对称点C，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．