2024年安徽省蚌埠市怀远县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据：正数都大于，负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：∵正数大于一切负数，
∴最小的数在和之间，
∵，，，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
2. 下列各式计算正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C
3. 如图是由几个形状完全相同的小立方块所搭成几何体的俯视图，每个小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层两个小正方形，第二层右边有一个小正方形，
故选：A
4. 已知 ，则 的值是（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的求值，将整体代入，即可求解．
【详解】解：∵，则
∴，
故选：D．
5. 如图，把矩形纸片的一角沿折叠，使得点D的对应点落在内部．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查角度的计算，折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．设，根据折叠的性质得到，且，即可得到答案．
【详解】解：设，
根据折叠的性质得到，
矩形纸片，
，
，
解得．
故选C．
6. 如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（ ）
A. 上午B. 上午C. 上午D. 上午
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解．
【详解】作的延长线于点N，
根据题意可得，，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
设该船的速度为，则．
∵在中，，
∴，
∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是，
∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午，
故选：B
7. 有两块全等的直角三角形纸片，其直角边的长分别为6厘米和8厘米，小叶同学分别用如图所示的两种方式剪得正方形，设正方形的面积，正方形的面积，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】如图①，设加工桌面的边长为，过点B作，分别交于点N、M，根据勾股定理求出的长，根据面积法求出，然后证明求出x的值；设加工桌面的边长为，证明求出y的值，然后根据边长即可判断．
【详解】如图①，设加工桌面的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，，，
过点B作，分别交于点N、M，则四边形是矩形，
∴．
∵的长分别为6厘米和8厘米，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
如图②，
设加工桌面的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
∴，
即，
故选B．
8. 如图所示，小余同学设计的物理电路图，假设开关，都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图求概率，画树状图展示所有结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数为， 所以同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率，
故选C．
9. 已知一次函数与的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象和性质，熟知一次函数的性质，二次函数的性质是解题的关键.
根据一次函数 与 的图象，即可判断 且，据此即可判断函数的图象位置.
【详解】解：由图象可知 ，且，
∴函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在的上方，与轴的一个交点为，
故选:C.
10. 如图，已知，以为弦的与相切于点P，直径交于点E，连接，C是 上一点，连接交于点D，则下面结论不一定成立的是（ ）
A.
B.
C. 若为直径，，则
D. 若平分，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题为圆的综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，综合性强，难度较大．由平行线的性质可得，再根据垂径定理及线段垂直平分线的性质判断选项A、B；设，则，列方程求解，再根据中位线的性质判断选项C；证明，得到，得到，由，得到，求解即可判断选项D．
【详解】直线为圆的切线，则，
，
，
，
，
故选项A、B成立，不符合题意；
如图，
为圆的直径，则，
而点是的中点，则为的中位线，
则，
设，
则，
即，
解得：，
则，
故选项C成立，不符合题意；
如图，
平分，
则，
，
，
，
设，则，，则，
而①，
，，
，
，
即，
即②，
联立①②，
解得：（不合题意的值已舍去），
则，
故选项D不成立，符合题意；
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在实数范围内分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式法因式分解，再根据题意利用平方差公式因式分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：142亿，
故答案为：
13. 如图，的斜边在x轴上，直角顶点A在反比例函数 的图象上，连接，若，且 ，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出是解题关键．首先根据等腰直角三角形的性质得出，进而求出，利用顶点在反比例函数的图象上，得出，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
中，，，
，
在中，，
，
，
，
，
顶点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：
14. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，若，则（1）______；（2）的周长是___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得点D到的距离相等，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）延长交于，根据ASA证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，证明得到，然后根据得到，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：（1）是的角平分线，
∴点D到的距离相等，
；
（2）延长交于
平分
在和中，
，
，
∴，
∴，
．
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分知识点是本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂，解题的关键是掌握以上知识点．
16. 某电子产品商店销售一新款智能手机，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同．
（1）求该款智能手机销售量的月增长率；
（2）此款手机的进价为3000元/台，售价为4500元/台，由于该款手机性价比高，销量很好，商店已没有存货．于是该商店在5月初又用120万元购进一批该款手机，并打算在“五一”期间打八折出售，且计划每卖出一台该款手机，还额外向社会福利机构捐款a元，该商店若想在卖出这一批手机后，仍能获得不低于20万元的利润，则a至多可为多少？
【答案】（1）该款智能手机销售量的月增长率为
（2）a至多可为100元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等量关系．
（1）设该款智能手机销售量的月增长率为x，根据2月份销售150台，4月份销售216台，列出一元二次方程求解即可；
（2）求出该商店5月购进手机数，再根据该商店若想在卖出这一批手机后，仍能获得不低于20万元的利润，列出一元一次不等式求解即可．
【小问1详解】
设该款智能手机销售量的月增长率为x，则有，
，
，
(舍去) ，
答：该款智能手机销售量的月增长率为；
【小问2详解】
由题意可得：
该商店5月购进手机数为 (台)，
则有：，
解得，
∴a至多可为100元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1个单位，在平面直角坐标系内，的顶点 B、A 分别为，．先将沿一确定方向平移得到，点B 的对应点的坐标是，再将绕逆时针旋转得到，点的对应点为点．
（1）画出和；
（2）在（1）的条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留 ）．
【答案】（1）图见解析
（2）旋转过程中点所经过的路径长为
【解析】
【分析】本题主要考查平移旋转，弧长公式，熟练掌握旋转是解题的关键．
（1）根据题意进行平行和旋转变化画出图形即可；
（2）根据弧长公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：依题意画图：
；
【小问2详解】
解：，
旋转过程中点所经过的路径长为．
18. 观察下列等式：
；
；
；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，并证明）．
【答案】（1）
（2）第n个等式为: ，证明见解析
【解析】
【分析】此题考查了数字类规律题、因式分解的应用，读懂题意，找打规律是解题的关键．
（1）根据题目中规律即可得到答案；
（2）根据题目中发现的规律即可得到答案，再进行计算证明即可．
【小问1详解】
解：；
；
；
由题意可得，第6个等式为：；
故答案为：
小问2详解】
由题意可得，第n个等式为: ，证明如下：
∵，
∴等式成立．
故答案为：
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，分别与相交于点D、E，连接，若与相切于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1) 连接，与相切于点D得到，再根据中，，得到，即可得到结论；
(2)证明，根据相似三角形求出，连接，证明，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：连接，
是的切线，
，
，
在中，，
，
又，
，
，
【小问2详解】
解：由 (1)得： ，
又 ，
，
，
设 则有：
，
解得：(舍去) ，
经检验. 是该方程的解，
，
，
又 ，
，
连接，
是的直径，
，
，
，即，
，
，
【点睛】本题主要考查切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
六、（本题满分 12分）
21. 每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度；
（2）补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组；
（3）若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩．
【答案】（1），；
（2）补全频数分布直方图见解析，；
（3）抽取的该部分参赛学生的平均成绩为分．
【解析】
【分析】（）用频数(率) 分布直方图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查随机抽取的学生人数，用乘以本次调查中的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）求出组的人数，补全频数分布直方图即可，根据中位数的定义可得答案；
（）根据平均数的定义计算即可；
本题考查频数 (率) 分布直方图、扇形统计图、加权平均数、中位数，能够读懂统计图，掌握加权平均数、中位数的定义是解题的关键．
【小问1详解】
本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩，
在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是，
故答案为：，；
【小问2详解】
组的人数为(人)，
补全频数分布直方图如图所示.
将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组，
∴学生竞赛成绩的中位数落在组，
故答案为：；
【小问3详解】
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
∴抽取的该部分参赛学生的平均成绩为
．
七、（本题满分 12分）
22. 如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
（1）在上截取，连接，通过证明是正三角形，以及，即可推得结论正确；
（2）延长，交于点 G，先证明，然后证明是正三角形，进一步推理得到，得出，最后利用，，即可证得结论．
【小问1详解】
，，
是正三角形，
，，
，平分，
，
在 上截取，连接，
则是正三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【小问2详解】
延长，交于点 G，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
是正三角形，
，
又，
，，
，
，
，
，，
．
八、（本题满分 14分）
23. 如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；
①求的值；
②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可；
②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴点，
把代入得：，解得：
∴点，
又∵点，
∴可设此抛物线的解析式为，
把点A代入可得:，
解得：
∴，
即：此抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为．
①在和中，，
∴，
∴，
∴，
由点D坐标为得：，
∴；
②不存在．理由如下：

，
∴对称轴为 ，
，
∴抛物线开口向上，
又∵点P第一象限，
∴，
∴当点 P 在对称轴左侧时，
S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于；
当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于；
∴当点P在第一象限时，不存在S最大值．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．