2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合，共3页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理，排列数公式，全排列等内容，欢迎下载使用。
知识点一 两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法．
知识点二 排列与排列数
1．排列的定义：从n个 不同 元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的 顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同排列 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Aeq \\al(m,n) 表示．
3．排列数公式：Aeq \\al(m,n)＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n) .
4．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq \\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝ n！ .排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，这里规定0！＝ 1 .
知识点三 组合与组合数
1．组合的定义：一般地，从n个 不同 元素中取出m(m≤n)个元素 作为一组 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Ceq \\al(m,n) 表示．
3．组合数的计算公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n！,m！n－m！)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，这里规定Ceq \\al(0,n)＝ 1 .
4．组合数的性质：①Ceq \\al(m,n)＝ Ceq \\al(n－m,n) ；②Ceq \\al(m,n＋1)＝ Ceq \\al(m,n) ＋ Ceq \\al(m－1,n) .
注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意Aeq \\al(m,n)、Ceq \\al(m,n)中的隐含条件m≤n，且m，n∈N*.
归 纳 拓 展
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )
(2)若组合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立．( × )
(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.( × )
(4)正十二边形共有54条对角线．( √ )
(5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个三位偶数．( × )
(6)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).( √ )
题组二 走进教材
2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是 312 .
[解析] 上午第一节排数学有4Aeq \\al(4,4)＝96种排法；
上午第一节不排数学有3×3Aeq \\al(4,4)＝216种排法，
∴不同的排法共有96＋216＝312种排法．
3．(选择性必修3P27T17改编)在如图所示的五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C )
A．24 B．48
C．72 D．96
[解析]
∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(种)，故选C.
题组三 走向高考
4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( B )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
[解析] 先将丙和丁捆在一起有Aeq \\al(2,2)种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有Aeq \\al(3,3)种排列方式，最后将甲插入中间两空，有Ceq \\al(1,2)种排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,2)＝24种，故选B.
5．(2023·高考全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( B )
A．120 B．60
C．40 D．30
[解析] 不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有Aeq \\al(2,4)＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.区域
A
B
E
C
D
涂法
4
3
2
(与A同色)1
2
与A不同色1
1