2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布，共3页。试卷主要包含了正态曲线，正态曲线的性质等内容，欢迎下载使用。
知识点一 正态曲线及其性质
1．正态曲线：函数f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 X～N(μ，σ2) .
2．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴 上方 ，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中 ；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散 .
知识点二 正态分布
1．正态分布的定义及表示．
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.682 7 ；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5 ；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3 .
σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
归 纳 拓 展
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)对任意的a有P(Xμ＋a)；
(3)P(X