2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用

这是一份2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用，共2页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
A．[－eq \r(3)，eq \r(3)]B．(－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
[解析] 设M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，整理得x2＋(y＋1)2＝4，则直线l：y＝kx＋3与圆x2＋(y＋1)2＝4有公共点，则eq \f(|3－－1|,\r(k2＋1))≤2，即k2≥3，解得k≤－eq \r(3)或k≥eq \r(3).故选B.
2．(2024·四川成都调研)已知点P是直线l1：mx－ny－5m＋n＝0和l2：nx＋my－5m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)的交点，点Q是圆C：(x＋1)2＋y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是( B )
A．5＋2eq \r(2) B．6＋2eq \r(2)
C．5＋2eq \r(3) D．6＋2eq \r(3)
[解析] 因为直线l1：mx－ny－5m＋n＝0，即m(x－5)－n(y－1)＝0，可知直线l1过定点A(5,1)，同理可知：直线l2过定点B(1,5)，又因为m×n＋(－n)×m＝0，可知l1⊥l2，所以直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以AB的中点M(3,3)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)的圆，因为圆C的圆心C(－1,0)，半径R＝1，所以|PQ|的最大值是|MC|＋r＋R＝eq \r(3＋12＋32)＋2eq \r(2)＋1＝6＋2eq \r(2).故选B.
名师点拨：
有些题中没有明确给出圆，而是隐藏在题设中，可通过分析、转化发现圆——隐形圆，从而利用圆的性质求解，以简化运算，常见的“隐形圆”类型：
(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；
(2)动点P对两定点A，B张角是90°(kPA·kPB＝－1)确定隐形圆；
(3)两定点A，B，动点P满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝λ确定隐形圆；
(4)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值确定隐形圆；
(5)两定点A，B，动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；
(6)由圆周角的性质确定隐形圆．
【变式训练】
(2024·江苏盐城调研)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是( A )
A．[4,6] B．(4,6)
C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞)
[解析] 由题意，点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，可得以PQ为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝t2，则圆心C1(2,0)，半径R＝t，又由圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，可得圆心C(－2,3)，半径r＝1，两圆的圆心距为|CC1|＝eq \r(2＋22＋0－32)＝5，要使得圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，即两圆存在公共点，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R＋r≥5，,R－r≤5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋1≥5，,t－1≤5，))解得4≤t≤6，所以实数t的取值范围是[4,6]．故选A.