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33空间距离练习- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）
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2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间距离单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（22-23高二上·河南洛阳·期末）如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ）A．19 B．17 C．15 D．132．（22-23高一下·北京房山·期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）A．1 B． C． D．3．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（ ） A．1 B． C． D．24．（22-23高一下·吉林长春·期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵、在堑堵中，若，若P为线段中点，则点P到平面的距离为（ ） A．1 B． C． D．45．（22-23高一下·云南·期末）如图，正方体的棱长为是棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D．6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（ ）A． B． C．2 D．47．（2023·山东·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）A． B． C． D．18．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列结论正确的个数是（ ） ①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（21-22高二上·辽宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，底面，，，，分别是，，的中点，以下说法正确的是（ ）A．直线与平面的距离为B．平面与平面的距离为C．点与平面的距离为D．点与平面的距离为10．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形11．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A．B．与底面所成的角为C．二面角所成的角为D．当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（22-23高一·全国·随堂练习）若两个平行平面间的距离为10，夹在这两个平面间的线段长为20，则AB与这两个平面所成的角为 ．13．（22-23高一下·安徽淮南·期末）已知二面角的大小为，该二面角内一点到、的距离分别为和，则到的距离为 ．14．（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，到平面的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.16．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，E为的中点，连接EA，EB，EC，和BD． (1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求直线AD到平面的距离．17．（22-23高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若. (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求异面直线与间的距离.18．（2023高一·全国·专题练习）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．（2023高一·全国·专题练习）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间距离单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（22-23高二上·河南洛阳·期末）如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ）A．19 B．17 C．15 D．13【答案】D【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,又因为，,所以，所以,故选:D.2．（22-23高一下·北京房山·期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据利用等体积法求解即可.【详解】设点到平面的距离为，∵两两垂直，且，∴，，∴，又，，，平面，所以平面，∵，即∴，∴，即点到平面的距离为，故选：D3．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（ ） A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明平面，进而可证明为和平面所成的角，则，求出，设，由，解方程即可得出答案.【详解】因为平面，则平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且,平面，所以平面，平面，所以，因为，，，所以点是的中点，又因为，所以是等腰直角三角形，由平面，所以平面，所以为和平面所成的角，因为 则，所以，则，因为是等腰直角三角形，所以，设，所以，又，又因为，所以，解得：.故选：A.4．（22-23高一下·吉林长春·期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵、在堑堵中，若，若P为线段中点，则点P到平面的距离为（ ） A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】利用等积法可求到平面的距离，进而可求点P到平面的距离.【详解】因为为直角三角形，且，易知，而平面，平面，故，同理，，而平面，故平面，故，又，故，而，故，所以，故，其中为到平面的距离，故，而P为线段中点，故P到平面的距离为. 故选：C.5．（22-23高一下·云南·期末）如图，正方体的棱长为是棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等体积法，设点到平面的距离为d，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d.【详解】如图，利用等体积法，，设点到平面的距离为d， 正方体的棱长为4，故，如图，设中为边的高， ，即，又点到平面的距离，即到平面的距离，为，，由得，即，故.故选：D6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（ ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据线面垂直确定线面夹角，结合直角三角形的边角关系可得长，在中利用余弦定理求解，从而可求得点P到BC的距离.【详解】如图，过作于 因为平面，即，因为分别与成和角，所以，且又，所以，则在中，由余弦定理得又，所以所以，即点P到BC的距离是.故选：B.7．（2023·山东·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据题意可证：平面，可得，两点之间距离的最小值为，利用等体积法求，即可得结果.【详解】连接交于点，连接，∵分别为的中点，则，且平面，平面，∴平面，则点到平面的距离相等，设为，则，两点之间距离的最小值为，即点到平面的距离为，∵的中点在上，则点到平面的距离为，由题意可得为，由，则，解得，故，两点之间距离的最小值为.故选：A.8．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列结论正确的个数是（ ） ①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】用反证法即可判断①;由平面与平面相交, 即可判断②;取两个特殊点进行运算, 计算出点到的距离和点到的距离, 从而可判断③;设 , 在中, 最大的角为, 再结合勾股定理与余弦定理, 推出 , 即不可能为锐角, 从而可判断④；【详解】因为是棱上的动点，若，则在中，,而显然，故不可能是直角，故不存在点，使得；故①错误；因为点 是棱 上的动点, 所以 平面 , 又 平面 , 所以 与 异面, 即不可能存在点 , 使得 , 所以②错误; (3) 设正方体的棱长为 2 ,当点 与点 重合时, 为直角三角形, 其中 , ,所以点 到 的距离 ;当点 为棱 的中点时, 为等腰三角形, 其中 , ,所以点 到 的距离所以对于任意点 , 到的距离不可能为定值, 即③错误;(4)设 , 则 ,所以 ,,在 中, 最长的边为 , 所以最大的角为 ,由余弦定理知，，因为 , 所以 , 所以 , 即不可能为锐角,所以对于任意点 都不是锐角三角形, 即④正确.故选:A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（21-22高二上·辽宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，底面，，，，分别是，，的中点，以下说法正确的是（ ）A．直线与平面的距离为B．平面与平面的距离为C．点与平面的距离为D．点与平面的距离为【答案】BD【分析】分别取的中点，则可证得平面，平面，求出的长可得答案【详解】分别取的中点，连接，因为，，分别是，，的中点，所以∥，∥，因为平面，平面，平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为，所以平面∥平面，因为∥，的中点为，所以过点，因为，所以，因为底面，底面，所以,因为，所以平面，因为平面，所以,因为，所以平面，因为平面∥平面，所以平面，所以是两平面，的公垂线，的长是两平面间的距离，因为，，所以，所以，所以平面与平面的距离为，点与平面的距离为，故选：BD10．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形【答案】ABC【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C．【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；设（），，，，，，所以，，所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．故选：ABC． 11．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A．B．与底面所成的角为C．二面角所成的角为D．当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值【答案】ABC【分析】根据面面垂直的性质得到侧面，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到底面，则为直线与底面所成的角，从而判断B，取的中点，的中点，连接、、，则为二面角的平面角，即可判断C，连接，则，连接，则，即可判断D.【详解】对于A：因为，侧面底面，侧面底面，底面，所以侧面，又侧面，所以，故A正确；对于B：取的中点，连接，，因为是正三角形，所以，侧面底面，侧面底面，底面，所以底面，所以为直线与底面所成的角，又，，所以，则，所以与底面所成的角为，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接、、，则，又底面，所以底面，又底面，所以，又，，即，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，又，所以，，所以，所以，即二面角所成的角为，故C正确；对于D：连接，则，连接，即为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又是上的一个动点，所以点到平面的距离是定值，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（22-23高一·全国·随堂练习）若两个平行平面间的距离为10，夹在这两个平面间的线段长为20，则AB与这两个平面所成的角为 ．【答案】【分析】根据已知中，两个平行平面的距离等于10，夹在这两个平面间的线段AB长为20，画出满足条件的图象，借助图象分析出直线与平面夹角的平面角，解三角形即可得到答案．【详解】如图所示： 过点向平面作垂线，垂足为O，连接OA则即为AB与这两个平面所成的角在中，故答案为：．13．（22-23高一下·安徽淮南·期末）已知二面角的大小为，该二面角内一点到、的距离分别为和，则到的距离为 ．【答案】/【分析】设点在平面、内的射影为分别为、，过点在平面内作，垂足为点，连接、，分析可知二面角的平面角为，设，根据结合同角三角函数的平方关系求出的值，可求得的长，即为所求.【详解】设点在平面、内的射影为分别为、，过点在平面内作，垂足为点，连接、， 由题意可知，，因为，，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，则，又因为，、平面，所以，平面，因为过点的平面中有且只有一个平面与直线垂直，故、、、四点共面，因为平面，所以，，故二面角的平面角为，设，则，因为，，则，同理，则，即，即，即，所以，，所以，，解得，故.即点到直线的距离为.故答案为：.14．（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，到平面的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为 . 【答案】【分析】根据B，D，到平面的距离分别为1，2，4，可求出任两个点连线中点到平面的距离，通过中点距离转化，可求出相关顶点到平面的距离，进一步判断大小即可.【详解】因为B，D，到平面的距离分别为1，2，4，所以的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为则到平面的距离为则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；（2）借助等体积法与体积公式计算即可得.【详解】（1）连接，交于点O，连接，∵四边形是平行四边形，∴是的中点，又∵E为的中点，∴是三角形的中位线，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四边形中，，，，∴，则，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因为是的中点，所以，且，所以，，设点到平面的距离为，由得：，解得.16．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，E为的中点，连接EA，EB，EC，和BD． (1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求直线AD到平面的距离．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用线面角的定义，结合长方体的结构特征求出线面角的余弦即可.（2）证明平面，利用直线与其平行平面距离的定义求出长即可.【详解】（1）在长方体中，棱平面，平面，则，于是就是直线与平面所成的角，所以．（2）在长方体中，直线，平面，平面，则直线平面，所以直线AD到平面的距离即为点A到平面的距离，由E为的中点，得，从而，因此．又平面，平面，则，而平面，因此平面，即点A到平面的距离为AE，且为，所以直线AD到平面的距离为．17．（22-23高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若. (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求异面直线与间的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2(3)【分析】（1）要证平面平面关键是证平面只需证，，利用平面平面可证；（2）根据几何法求解为二面角的平面角，从而利用三角形的边角关系即可求；（3）将异面直线与间的距离转化为点到面的距离求解.【详解】（1）∵平面平面平面平面,平面，所以平面平面，∴，又，，平面，∴平面,又平面，∴平面平面（2）设中点为，连接，过作于，连接，由于,所以,平面平面平面平面,平面，所以平面平面，故,又平面，所以平面，由于平面,故，为二面角的平面角，∵，∴，由于，∴，又，∴∴二面角的平面角的正切值为2（3）过点作，且，连接，所以四边形为平行四边形,∵平面，∴异面直线与距离等于 到平面的距离为,由于,平面，所以,故在三角形中，，，故,进而，所以,,∵∴,∴ , 18．（2023高一·全国·专题练习）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】存在，当时，使得点到平面的距离为【分析】先假设存在符合题意的点，作出点到平面的距离，根据矩形的性质以及直角三角形的知识列方程，从而确定点位置.【详解】假设边上存在一点满足题设条件，作，如图所示，因为平面,平面，所以，又，平面，所以平面，所以，，所以，故存在点，当时，使得点到平面的距离为.19．（2023高一·全国·专题练习）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．【答案】存在，理由见解析．【分析】根据直角三角形以及中位线的知识判断点的位置.【详解】存在，点为线段的中点，理由如下： 依题意，平面，由于平面，所以，因为在直角三角形中，，在中，，所以，在中，，，则为正三角形，则为正三角形，由可得为的中点，则，，故在中，，又点E，F分别为线段，的中点，所以，所以点到四个点的距离相等，所以点为所找的点，即线段的中点为所求.
2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间距离单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（22-23高二上·河南洛阳·期末）如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ）A．19 B．17 C．15 D．132．（22-23高一下·北京房山·期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）A．1 B． C． D．3．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（ ） A．1 B． C． D．24．（22-23高一下·吉林长春·期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵、在堑堵中，若，若P为线段中点，则点P到平面的距离为（ ） A．1 B． C． D．45．（22-23高一下·云南·期末）如图，正方体的棱长为是棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D．6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（ ）A． B． C．2 D．47．（2023·山东·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）A． B． C． D．18．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列结论正确的个数是（ ） ①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（21-22高二上·辽宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，底面，，，，分别是，，的中点，以下说法正确的是（ ）A．直线与平面的距离为B．平面与平面的距离为C．点与平面的距离为D．点与平面的距离为10．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形11．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A．B．与底面所成的角为C．二面角所成的角为D．当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（22-23高一·全国·随堂练习）若两个平行平面间的距离为10，夹在这两个平面间的线段长为20，则AB与这两个平面所成的角为 ．13．（22-23高一下·安徽淮南·期末）已知二面角的大小为，该二面角内一点到、的距离分别为和，则到的距离为 ．14．（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，到平面的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.16．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，E为的中点，连接EA，EB，EC，和BD． (1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求直线AD到平面的距离．17．（22-23高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若. (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求异面直线与间的距离.18．（2023高一·全国·专题练习）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．（2023高一·全国·专题练习）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：空间距离单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（22-23高二上·河南洛阳·期末）如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ）A．19 B．17 C．15 D．13【答案】D【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,又因为，,所以，所以,故选:D.2．（22-23高一下·北京房山·期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据利用等体积法求解即可.【详解】设点到平面的距离为，∵两两垂直，且，∴，，∴，又，，，平面，所以平面，∵，即∴，∴，即点到平面的距离为，故选：D3．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（ ） A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明平面，进而可证明为和平面所成的角，则，求出，设，由，解方程即可得出答案.【详解】因为平面，则平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且,平面，所以平面，平面，所以，因为，，，所以点是的中点，又因为，所以是等腰直角三角形，由平面，所以平面，所以为和平面所成的角，因为 则，所以，则，因为是等腰直角三角形，所以，设，所以，又，又因为，所以，解得：.故选：A.4．（22-23高一下·吉林长春·期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵、在堑堵中，若，若P为线段中点，则点P到平面的距离为（ ） A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】利用等积法可求到平面的距离，进而可求点P到平面的距离.【详解】因为为直角三角形，且，易知，而平面，平面，故，同理，，而平面，故平面，故，又，故，而，故，所以，故，其中为到平面的距离，故，而P为线段中点，故P到平面的距离为. 故选：C.5．（22-23高一下·云南·期末）如图，正方体的棱长为是棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等体积法，设点到平面的距离为d，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d.【详解】如图，利用等体积法，，设点到平面的距离为d， 正方体的棱长为4，故，如图，设中为边的高， ，即，又点到平面的距离，即到平面的距离，为，，由得，即，故.故选：D6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（ ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据线面垂直确定线面夹角，结合直角三角形的边角关系可得长，在中利用余弦定理求解，从而可求得点P到BC的距离.【详解】如图，过作于 因为平面，即，因为分别与成和角，所以，且又，所以，则在中，由余弦定理得又，所以所以，即点P到BC的距离是.故选：B.7．（2023·山东·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据题意可证：平面，可得，两点之间距离的最小值为，利用等体积法求，即可得结果.【详解】连接交于点，连接，∵分别为的中点，则，且平面，平面，∴平面，则点到平面的距离相等，设为，则，两点之间距离的最小值为，即点到平面的距离为，∵的中点在上，则点到平面的距离为，由题意可得为，由，则，解得，故，两点之间距离的最小值为.故选：A.8．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列结论正确的个数是（ ） ①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】用反证法即可判断①;由平面与平面相交, 即可判断②;取两个特殊点进行运算, 计算出点到的距离和点到的距离, 从而可判断③;设 , 在中, 最大的角为, 再结合勾股定理与余弦定理, 推出 , 即不可能为锐角, 从而可判断④；【详解】因为是棱上的动点，若，则在中，,而显然，故不可能是直角，故不存在点，使得；故①错误；因为点 是棱 上的动点, 所以 平面 , 又 平面 , 所以 与 异面, 即不可能存在点 , 使得 , 所以②错误; (3) 设正方体的棱长为 2 ,当点 与点 重合时, 为直角三角形, 其中 , ,所以点 到 的距离 ;当点 为棱 的中点时, 为等腰三角形, 其中 , ,所以点 到 的距离所以对于任意点 , 到的距离不可能为定值, 即③错误;(4)设 , 则 ,所以 ,,在 中, 最长的边为 , 所以最大的角为 ,由余弦定理知，，因为 , 所以 , 所以 , 即不可能为锐角,所以对于任意点 都不是锐角三角形, 即④正确.故选:A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（21-22高二上·辽宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，底面，，，，分别是，，的中点，以下说法正确的是（ ）A．直线与平面的距离为B．平面与平面的距离为C．点与平面的距离为D．点与平面的距离为【答案】BD【分析】分别取的中点，则可证得平面，平面，求出的长可得答案【详解】分别取的中点，连接，因为，，分别是，，的中点，所以∥，∥，因为平面，平面，平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为，所以平面∥平面，因为∥，的中点为，所以过点，因为，所以，因为底面，底面，所以,因为，所以平面，因为平面，所以,因为，所以平面，因为平面∥平面，所以平面，所以是两平面，的公垂线，的长是两平面间的距离，因为，，所以，所以，所以平面与平面的距离为，点与平面的距离为，故选：BD10．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形【答案】ABC【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C．【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；设（），，，，，，所以，，所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．故选：ABC． 11．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A．B．与底面所成的角为C．二面角所成的角为D．当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值【答案】ABC【分析】根据面面垂直的性质得到侧面，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到底面，则为直线与底面所成的角，从而判断B，取的中点，的中点，连接、、，则为二面角的平面角，即可判断C，连接，则，连接，则，即可判断D.【详解】对于A：因为，侧面底面，侧面底面，底面，所以侧面，又侧面，所以，故A正确；对于B：取的中点，连接，，因为是正三角形，所以，侧面底面，侧面底面，底面，所以底面，所以为直线与底面所成的角，又，，所以，则，所以与底面所成的角为，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接、、，则，又底面，所以底面，又底面，所以，又，，即，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，又，所以，，所以，所以，即二面角所成的角为，故C正确；对于D：连接，则，连接，即为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又是上的一个动点，所以点到平面的距离是定值，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（22-23高一·全国·随堂练习）若两个平行平面间的距离为10，夹在这两个平面间的线段长为20，则AB与这两个平面所成的角为 ．【答案】【分析】根据已知中，两个平行平面的距离等于10，夹在这两个平面间的线段AB长为20，画出满足条件的图象，借助图象分析出直线与平面夹角的平面角，解三角形即可得到答案．【详解】如图所示： 过点向平面作垂线，垂足为O，连接OA则即为AB与这两个平面所成的角在中，故答案为：．13．（22-23高一下·安徽淮南·期末）已知二面角的大小为，该二面角内一点到、的距离分别为和，则到的距离为 ．【答案】/【分析】设点在平面、内的射影为分别为、，过点在平面内作，垂足为点，连接、，分析可知二面角的平面角为，设，根据结合同角三角函数的平方关系求出的值，可求得的长，即为所求.【详解】设点在平面、内的射影为分别为、，过点在平面内作，垂足为点，连接、， 由题意可知，，因为，，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，则，又因为，、平面，所以，平面，因为过点的平面中有且只有一个平面与直线垂直，故、、、四点共面，因为平面，所以，，故二面角的平面角为，设，则，因为，，则，同理，则，即，即，即，所以，，所以，，解得，故.即点到直线的距离为.故答案为：.14．（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，到平面的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为 . 【答案】【分析】根据B，D，到平面的距离分别为1，2，4，可求出任两个点连线中点到平面的距离，通过中点距离转化，可求出相关顶点到平面的距离，进一步判断大小即可.【详解】因为B，D，到平面的距离分别为1，2，4，所以的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为则到平面的距离为则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；（2）借助等体积法与体积公式计算即可得.【详解】（1）连接，交于点O，连接，∵四边形是平行四边形，∴是的中点，又∵E为的中点，∴是三角形的中位线，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四边形中，，，，∴，则，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因为是的中点，所以，且，所以，，设点到平面的距离为，由得：，解得.16．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，E为的中点，连接EA，EB，EC，和BD． (1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求直线AD到平面的距离．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用线面角的定义，结合长方体的结构特征求出线面角的余弦即可.（2）证明平面，利用直线与其平行平面距离的定义求出长即可.【详解】（1）在长方体中，棱平面，平面，则，于是就是直线与平面所成的角，所以．（2）在长方体中，直线，平面，平面，则直线平面，所以直线AD到平面的距离即为点A到平面的距离，由E为的中点，得，从而，因此．又平面，平面，则，而平面，因此平面，即点A到平面的距离为AE，且为，所以直线AD到平面的距离为．17．（22-23高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若. (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求异面直线与间的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2(3)【分析】（1）要证平面平面关键是证平面只需证，，利用平面平面可证；（2）根据几何法求解为二面角的平面角，从而利用三角形的边角关系即可求；（3）将异面直线与间的距离转化为点到面的距离求解.【详解】（1）∵平面平面平面平面,平面，所以平面平面，∴，又，，平面，∴平面,又平面，∴平面平面（2）设中点为，连接，过作于，连接，由于,所以,平面平面平面平面,平面，所以平面平面，故,又平面，所以平面，由于平面,故，为二面角的平面角，∵，∴，由于，∴，又，∴∴二面角的平面角的正切值为2（3）过点作，且，连接，所以四边形为平行四边形,∵平面，∴异面直线与距离等于 到平面的距离为,由于,平面，所以,故在三角形中，，，故,进而，所以,,∵∴,∴ , 18．（2023高一·全国·专题练习）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】存在，当时，使得点到平面的距离为【分析】先假设存在符合题意的点，作出点到平面的距离，根据矩形的性质以及直角三角形的知识列方程，从而确定点位置.【详解】假设边上存在一点满足题设条件，作，如图所示，因为平面,平面，所以，又，平面，所以平面，所以，，所以，故存在点，当时，使得点到平面的距离为.19．（2023高一·全国·专题练习）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．【答案】存在，理由见解析．【分析】根据直角三角形以及中位线的知识判断点的位置.【详解】存在，点为线段的中点，理由如下： 依题意，平面，由于平面，所以，因为在直角三角形中，，在中，，所以，在中，，，则为正三角形，则为正三角形，由可得为的中点，则，，故在中，，又点E，F分别为线段，的中点，所以，所以点到四个点的距离相等，所以点为所找的点，即线段的中点为所求.
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