2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习04（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习04（含答案），共13页。试卷主要包含了他们把这个点A等内容，欢迎下载使用。
在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上的点A(x，y)的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1(x，x＋y)．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2＋x＋1的“简朴曲线”就是y＝x2＋x＋1＋x＝x2＋2x＋1，请按照定义完成：
(1)点P(1，2)的“简朴”点是 ；
(2)如果抛物线y＝ax2﹣7x＋3(a≠0)经过点M(1，﹣3)，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线y＝x2＋bx＋c图象上的点B(x，y)的“简朴点”是B1(﹣1，1)，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(m，n)，当0≤c≤3时，求n的取值范围．
如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；
(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．且点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是抛物线上第一象限内的一个点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若(2)中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合)．
(1)求∠OBC的度数；
(2)连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
(3)判断△ABO的形状，试说明理由；
(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2eq \r(2)，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B(﹣2，3)，已知抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c经过点A和点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点D(﹣2，﹣1)在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．
已知抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋c经过点A(4，2)，顶点为B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标.
(2)如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点(点E不与A，C两点重合).
①若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标.
②如图2，将点D向下平移1个单位长度到点D′，连接D′E，作矩形D′EFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，直接写出AE的长；若不存在，请说明理由.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣eq \f(2,3)x2﹣bx﹣c与x轴交于A，B两点，其中B(6，0)，与y轴交于点C(0，8)，点P是x轴上方的抛物线上一动点(不与点C重合)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为E′，若点E′落在y轴上(不与点C重合)，请判断以P，C，E，E′为顶点的四边形的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下直接写出点P的坐标．
\s 0 答案
解：(1)由题意得点P(1，2)的“简朴”点是(1，1＋2)，即(1，3)，
故答案为：(1，3)．
(2)将(1，﹣3)代入y＝ax2﹣7x＋3得﹣3＝a﹣7＋3，解得a＝1，
∴y＝x2﹣7x＋3，
∴抛物线y＝x2﹣7x＋3的“简朴曲线”为y＝x2﹣7x＋3＋x＝x2﹣6x＋3．
(3)∵点B(x，y)的“简朴点”是B(﹣1，1)，
∴，解得，
∴点B坐标为(﹣1，2)，
∴1﹣b＋c＝2，即b＝c﹣1，
∴y＝x2＋(c﹣1)x＋c，
∴该抛物线的“简朴曲线”为y＝x2＋cx＋c＝(x＋eq \f(1,2)c)2＋c﹣eq \f(1,4)c2，
∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(m，n)，
∴m＝﹣eq \f(1,2)c，n＝c﹣eq \f(1,4)c2＝﹣eq \f(1,4)(c﹣2)2＋1，
∴c＝2时，n＝1为最大值，
把c＝0代入n＝c﹣eq \f(1,4)c2得n＝0，
把c＝3代入n＝c﹣eq \f(1,4)c2得n＝eq \f(3,4)，
∴当0≤c≤3时，0≤n≤1．
解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c，
解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x＋3；
(2)令y＝0，则x2﹣4x＋3＝0，解得：x＝1或x＝3，
∴B(3，0)，∴BC＝3eq \r(2)，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP＝CB时，PC＝3eq \r(2)，∴OP＝OC＋PC＝3＋3eq \r(2)或OP＝PC﹣OC＝3eq \r(2)﹣3
∴P1(0，3＋3eq \r(2))，P2(0，3﹣3eq \r(2))；
②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3(0，﹣3)；
③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3
∴此时P与O重合，∴P4(0，0)；
综上所述，点P的坐标为：(0，3＋3eq \r(2))或(0，3﹣3eq \r(2))或(0，﹣3)或(0，0)；
(3)如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝eq \f(1,2)×(2﹣t)×2t＝﹣t2＋2t＝﹣(t﹣1)2＋1，
即当M(2，0)、N(2，2)或(2，﹣2)时△MNB面积最大，最大面积是1.
解：(1)∵A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)在抛物线的对称轴上存在点Q，使△QAB与△POB相似，如图所示．
∵四边形POP′B为菱形，
∴PO＝PB，
∴∠POB＝∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA＝QB，
∴∠QAB＝∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO＝∠QBA，
∴点Q、P、B共线．
∵PO＝PB，
∴点P在OB的垂直平分线上，
∴xP＝eq \f(3,2)，
此时yP＝﹣(eq \f(3,2))2＋2×eq \f(3,2)＋3＝eq \f(15,4)，点P的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))．
设直线PB的解析式为y＝mx＋n，
则有，解得．
∴直线PB的解析式为y＝﹣eq \f(5,2)x＋eq \f(15,2)．
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴xQ＝1，yQ＝﹣eq \f(5,2)×1＋eq \f(15,2)＝5，
∴点Q的坐标为(1，5)
根据对称性点Q坐标还可以为(1．﹣5)．
(3)△QAB与△POB位似，位似中心为点B，点B的坐标为(3，0)．
当Q点坐标(1，﹣5)时，位似中心坐标为(9/7，0)；
解：(1)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+2)，
∴由题意得，A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(1，﹣4)．
在Rt△OBC中，∵OC=OB=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°．
(2)如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD，

∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S梯形OCDH=0.5×(OC+HD)×OH=7.5，S△HBD=0.5×HD×HB=4，
∴S四边形OCDB=7.5．
∴S△OCE=S四边形OCDB=7.5=eq \f(1,2)OC×OE，∴OE=5，∴E(5，0)．
设lDE：y=kx+b，∵D(1，﹣4)，E(5，0)，
∴，解得，∴lDE：y=x﹣5．
∵DE交抛物线于P，设P(x，y)，
∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，解得 x=2 或x=1(D点，舍去)，
∴xP=2，代入lDE：y=x﹣5，∴P(2，﹣3)．
(3)如图2，设lBC：y=kx+b，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，
∴，解得 ，∴lBC：y=x﹣3．
∵F在BC上，∴yF=xF﹣3，
∵P在抛物线上，∴yP=xP2﹣2xP﹣3，
∴线段PF长度=yF﹣yP=xF﹣3﹣(xP2﹣2xP﹣3)，
∵xP=xF，∴线段PF长度=﹣xP2+3xP=﹣(xP﹣eq \f(3,2))2+eq \f(9,4)，(1＜xP≤3)，
∴当xP=1.5时，线段PF长度最大为2.25．
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)，
∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2＋bx(a≠0)，
将C(2，﹣3)，B(8，0)代入y＝ax2＋bx得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为y=eq \f(1,4)x2-2x；
(2)∵y=eq \f(1,4)x2-2x＝eq \f(1,4)(x﹣4)2﹣4，
∴抛物线的顶点A(4，﹣4)，
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋m，将A(4，﹣4)，B(8，0)代入，得：
，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；
(3)△ABO是等腰直角三角形．
方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F(4，0)，
∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，
∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4eq \r(2)，∠OAF＝∠BAF＝45°，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形．
方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O(0，0)，A(4，﹣4)，B(8，0)，
∴OB＝8，OA＝4eq \r(2)，AB＝4eq \r(2)，
且满足OB2＝OA2＋AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；
(4)如图2，以O为圆心，2eq \r(2)为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：
动点E的运动时间为t＝eq \f(1,2)AP＋PB，
在OA上取点D，使OD＝eq \r(2)，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，
从而得：PD＝eq \f(1,2)AP，∴t＝eq \f(1,2)AP＋PB＝PD＋PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD＋PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于OD=eq \r(2)，且△ABO为等腰直角三角形，
则有 DG＝1，∠DOG＝45°
∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝5eq \r(2)．
解：(1)∵B(﹣2，3)，矩形OABC，
∴A(0，3)，
∵抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c经过点A和点B，
∴，∴，
∴y＝﹣eq \f(3,4)x2﹣x＋3；
(2)∵D(﹣2，﹣1)，
∴BD＝4，
设E(m，﹣eq \f(3,4)m2﹣eq \f(3,2)m＋3)，
∴S△BDE＝eq \f(1,2)×4×(m＋2)＝2(m＋2)，
∵AB＝2，
∴S△ABE＝eq \f(1,2)×2×(3＋eq \f(3,4)m2＋eq \f(3,2)m﹣3)＝eq \f(3,4)m2＋eq \f(3,2)m，
∵S△BDE＝4S△ABE，
∴2(m＋2)＝4(eq \f(3,4)m2＋eq \f(3,2)m)，解得m＝﹣2或m＝eq \f(2,3)，
∵E点在y轴由侧，
∴m＝eq \f(2,3)，
∴E(eq \f(2,3)，eq \f(5,3))；
(3)∵E(eq \f(2,3)，eq \f(5,3))，D(﹣2，﹣1)，
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，
∴，∴，
∴y＝x＋1，
∴直线与y轴的交点为(0，1)，
如图1，当P点与B点重合，Q点为(0，1)，
此时△APQ为等腰直角三角形，
∴P(﹣2，3)；
如图2，过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，
∵∠PAQ＝90°，∠PBA＝90°，∠QME＝90°，
∴∠PAB＝∠AQM，
∴△PAB∽△AQM，
∴＝，
设P(﹣2，t)，
∵直线DE的解析式为y＝x＋1，PQ⊥DE，
∴∠PDQ＝45°，
∴Q(，)，
∴PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，
∴＝，∴t＝9，
∴P(﹣2，9)；
如图3，当PQ⊥AP时，
∵∠PAQ＋∠AQP＝90°，∠AQP＋∠AQE＝90°，
∴∠APQ＝∠AQE，
∴AP∥DE，
∴直线AP的解析式为y＝x＋3，
∴P(﹣2，1)；
综上所述：P点的坐标为(﹣2，1)或(﹣2，3)或(﹣2，9)．
解：(1)∵抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋c经过点A(4，2)，对称轴是直线x＝2，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋2，
∵y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋2＝﹣eq \f(1,4)(x﹣2)2＋3，
∴顶点B的坐标为(2，3)；
(2)①∵y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴C点的坐标为(0，2)，
∵A(4，2)，C(0，2)，
∴AC∥OD，
∵AD⊥x轴，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E为(m，2)，直线BE的函数表达式为：y＝kx＋n，直线BE交x轴于点M，
则，解得，
∴直线BE的函数表达式为：y＝x＋，
令y＝x＋＝0，则x＝3m﹣4，
∴点M的坐标为(3m﹣4，0)，
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C(0，2)，A(4，2)，M(3m﹣4，0)，E(m，2)，
∴OC＝2，AC＝4，OM＝3m﹣4，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝2×4＝8，
S梯形ECOM＝(OM＋EC)•OC＝(3m﹣4＋m)×2＝4m﹣4，
分两种情况：
Ⅰ、＝，即＝，解得：m＝eq \f(3,2)，
∴点E的坐标为(eq \f(3,2)，2)；
Ⅱ、＝，即＝，解得：m＝eq \f(5,2)，
∴点E的坐标为(eq \f(5,2)，2)；
综上所述，点E的坐标为(eq \f(3,2)，2)或(eq \f(5,2)，2)；
②存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形D′EFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，
设点F的坐标为：(a，﹣eq \f(1,4)a2＋a＋2)，
则NF＝2﹣(﹣eq \f(1,4)a2＋a＋2)＝eq \f(1,4)a2﹣a，NC＝﹣a，
∵点D向下平移1个单位长度到点∵点D向下平移1个单位长度到点D′，
∴D′(4，﹣1)，
再作D′Q⊥y轴，交y轴于点Q，
∵四边形D′EFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠D′AE＝∠D′EF＝∠N＝90°，EF＝D′G，EF∥D′G，AC∥QD′，
∴∠NEF＝∠QD′G，∠EMC＝∠D′GQ，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠D′GQ，
在△EFN和△D′GQ中，
，
∴△EFN≌△D′GQ(ASA)，
∴NE＝QD′＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠D′AE＝∠D′EF＝∠N＝90°，
∴∠NEF＋∠EFN＝90°，∠NEF＋∠D′EA＝90°，
∴∠EFN＝∠D′EA，
∴△ENF∽△D′AE，
∴，即＝，
整理得：eq \f(3,4)a2＋a＝0，解得：a＝﹣eq \f(4,3)或0，
当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，
∴a＝﹣eq \f(4,3)，∴AE＝NC＝﹣a＝eq \f(4,3)，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为eq \f(4,3).
解：(1)把点C(0，8)，B(6，0)代入在抛物线y=﹣eq \f(2,3)x2﹣bx﹣c
得，解得，
所以抛物线的表达式为y=﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(8,3)x﹣8；
(2)以P，C，E，E′为顶点的四边形为菱形．理由如下：
∵E点和E′点关于直线PC对称，
∴∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，
又∵PD⊥x轴，∴PE∥E′C，
∴∠EPC=∠E′CP，∴∠EPC=∠ECP，
∴EP=EC，∴EC=EP=PE′=E′C，
∴四边形EPE′C为菱形，
(3)设直线BC的解析式为y=kx﹣m，
把B(6，0)，C(0，8)代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣eq \f(4,3)x﹣8；
设P(x，﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(8,3)x﹣8)，则E(x，﹣eq \f(4,3)x﹣8)，
∴PE=﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(8,3)x﹣8﹣(﹣eq \f(4,3)x﹣8)=﹣eq \f(2,3)x2﹣4x，
过点E作EF⊥y轴于点F，如图，
在Rt△OBC中，BC==10，
∵EF∥OB，∴△CFE∽△COB，
∴=，即=，∴CE=eq \f(5,3)x，
∵EC=EP，∴﹣eq \f(2,3)x2﹣4x=eq \f(5,3)x，
整理得2x2﹣7x=0，解得x1=0(舍去)，x2=eq \f(7,2)，
∴点P的坐标为(eq \f(7,2)，9eq \f(1,6))．