2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习02（含答案）

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2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习021.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.      (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．        2.已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．           3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．      4.如图1，B(2m，0)，C(3m，0)是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E(0，n)为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n(a≠0)过E，A′两点.(1)填空：∠AOB=　   　°，用m表示点A′的坐标：A′(　   　，　   　)；(2)当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围.   5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+x+2与x轴相交于点A、B，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交线段AC于点M.点F是线段MA上的动点，连接NF，过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G.(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)当点G在边BC上时，连接GF，∠NGF的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠NGF的正切值；(3)设点F的横坐标为n，点G的纵坐标为m，在整个运动过程中，直接写出m与n的函数关系式，并注明自变量n的取值范围.
0.答案解析1.解：(1)令ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A点坐标为(－1，0)；∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k，∴y＝kx＋k，令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴－3－＝－1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；(2)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a（x- ）2－a，∴△ACE的面积的最大值为－a.∵△ACE的面积的最大值为，∴－a＝，解得a＝－；(3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)，∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P(1，m)，①如答图②，若AD是矩形的一条边，则Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，∴P1；②如答图③，若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，Q(2，－3a)，m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a)，∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，∴P2(1，－4)，综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或(1，－4)．2.3.解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y=a（x﹣2）（x+4）=a（x2+2x﹣8），即：﹣8a=﹣2，解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2+x﹣2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=﹣x﹣2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2），∵PE=OD，∴PE=（x2+x﹣2﹣x+2）=（﹣x），解得：x=0或﹣5（舍去x=0），即点D（﹣5，0）S△PBE=×PE×BD=（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）=；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD=BM的情况，BD=1=BM，则yM=﹣BMsin∠ABC=﹣1×=﹣，则xM=﹣，故点M（﹣，﹣）．4.解：(1)∵B(2m，0)，C(3m，0)，∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，∵AB=2BC，∴AB=2m=0B，∵∠ABO=90°，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′(m，﹣m)；故答案为：45；m，﹣m；(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A(2m，2m)，B(2m，0)，∵=，∴P(2m， m)，∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣m)2﹣m，∵抛物线过点E(0，n)，∴n=a(0﹣m)2﹣m，即m=2n，∴OE：OD′=BC：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE∽△ABC；(3)①当点E与点O重合时，E(0，0)，∵抛物线y=ax2+bx+n过点E，A′，∴，整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C(3m，0)，此时MN的最大值为10，]∴a(3m)2﹣(1+am)•3m=0，整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，由A(2m，2m)，可得直线OA解析式为y=x，联立抛物线与直线OA解析式得：，解得：x=5m，y=5m，即M(5m，5m)，令5m=10，即m=2，当m=2时，a=；若抛物线过点A(2m，2m)，则a(2m)2﹣(1+am)•2m=2m，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1.5. (1)证明：当x=0时，y=﹣x2+x+2=2，则C(0，2)；当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A(4，0)，B(﹣1，0)，∵BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，AB2=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；(2)解：∠NGF的度数不变化.设AC的解析式为y=kx+b，把A(4，0)，C(0，2)代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，∵抛物线的对称轴为直线x=，∴M(，)，∵GN⊥NF，∴∠GNF=90°，∴∠BNG=∠MNF，∵∠ACB=90°，∴∠NBC=∠OCA，而MN∥OC，∴∠NMF=∠OCA，∴∠NBG=∠NMF，∴△NMF∽△NBG，∴==，∴tan∠NGF==，∴∠NGF的度数为定值；(3)解：作GH⊥x轴于H，FQ⊥x轴于Q，F(n，﹣n+2)，当G点在BC上，如图1，易得直线BC的解析式为y=2x+2，则G(m﹣1，m)，∵∠GNF=90°，∴∠GNH=∠NFQ，∴Rt△NGH∽Rt△FNQ，∴=，即=，∴m=2n﹣3，当m=0时，2n﹣3=0，解得n=；当m=2时，2n﹣3=2，解得n=；∴此时n的范围为≤n≤；当点G在AC上，如图2，则＜n≤4，则G(4﹣2m，m)，易得Rt△NGH∽Rt△FNQ，∴=，即=，∴m=，综上所述，m与n的关系式为：m=2n﹣3(≤n≤)或m=(＜n≤4).