湖南省衡阳市衡南县栗江镇隆市初级中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡南县栗江镇隆市初级中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共4页。试卷主要包含了项是正确的)，边形是平行四边形．若存在等内容，欢迎下载使用。

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湘 教 九 年 级 数 学 ( 下 册 ) 期中综合检测卷
(考查范围:第 １ 章至第 ２ 章)
考试时间 :１２０ 分钟 满分 :１２０ 分
一、选择题(每小题 ３ 分 ,共 ３０ 分 ;每小题的四个选项中只有一 项是正确的)
１．下列函数中 ,是二次函数的是 ( )
A．y＝x－２ B．y＝x２ ＋２x－１
C．y D．y
２．抛物线 y＝－３(x－２) ２ ＋５ 的对称轴是 ( )
A．直线 x＝２ B．直线 x＝－２
C．直线 x＝５ D．直线 x＝－５
３．如图 , 四边形 ABCD 是 ☉O的内接四边形 ,若 ∠C＝１２０ °,则
∠A 的度数是 ( )
A．３０ ° B．６０ ° C．７０ ° D．８０ °
第 ３ 题图 第 ５ 题图 第 ７ 题图
４．一条抛物线的形状 、开口方向与抛物线 y＝４x２ 相同 , 顶点
坐标为(－ ２ ,１) ,则其表达式为 ( )
A．y＝４(x－２) ２ ＋１ B．y＝４(x＋２) ２ －１
C．y＝－４(x＋２) ２ ＋１ D．y＝４(x＋２) ２ ＋１
５．如图 ,△ABC 内接于 ☉O,AD 是 ☉O的直径 ,∠ABC＝２５ °,
则 ∠CAD 的度数是 ( )
A．２５ ° B．６０ ° C．６５ ° D．７５ °
６．关于二次函数 y＝(x＋２)２ 的图象 ,下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．最低点是(－ ２ ,０)
C．对称轴是直线 x＝２
D．对称轴的左侧部分是上升的
７．如图 ,在平面直角坐标系中 ,☉M 与 x 轴相切于点 A,与 y 轴交 于 B,C两点,点 M 的坐标为(３ ,５) ,则点 B 的坐标为 ( )
A．(０ ,５) B．(０ ,７) C．(０ ,８) D．(０ ,９)
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８．某款 “不倒翁”(图 ①) 的平面示意图如图 ② ,PA,PB 分别与
４０ ,则AMB的长是 ( )
EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 7(︵),AM)°B所相切于点 A,B．若 该 圆 的 半 径 是 ９ cm,∠P＝
A．１１πcm B．１１ π cm C ７πcm D ７ π cm
２ ． ．２
第 ８ 题图 第 ９ 题图
９．二次函数 y＝ax２ ＋bx＋c(a≠０) 的图象如图所示 ,则下列
结论中正确的是 ( )
A．c＞－１ B．b＞０
C．２a＋b≠０ D．９a＋c＞３b
１０．如图 ① ,A 是 ☉O上一定点,圆上一动点 P 从圆上另一定 点 B 出发 ,沿逆时针方向向点 A 运动 ,运动时间是 x s,线 段 AP 的长度是 y cm．图 ②是 y 随 x 变化的关系图象 ,则
点 P 的运动速度是 ( )
A．１ cm/s
B．２ cm/s
C． cm/s
３π
D．２ cm/s
二、填空题(每小题 ４ 分 ,共 ２４ 分)
１１．若 ☉O的半径为 ５ ,点 O 到直线 l的距离为 d,且直线 l与
☉O 相交 ,则 d ５．(填 “＞”“＜”或 “＝”)
１２．若 y＝mxm２－２是 二 次 函 数 , 且 函 数 图 象 的 开 口 向 上 , 则 m
的值为 ．
１３．如图 ,△ABC 的内心为点 O,∠BOC＝１１０ °,则 ∠A 的度数
是 ．
第 １３ 题图 第 １４ 题图 第 １５ 题图
数学 － ８９ － 湘教九年级 · 下册
１４．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意
图 ,已知抛物线的表达式为 y＝x２ ＋１０ ,为保护廊桥的安全 ,
在该抛物线上到水面 AB的高为 ８ m 的点 E,F处安装两盏警示 灯 ,则这两盏警示灯的水平距离 EF是 m．
１５．如图 ,在半径为 ５ 的扇形 OAB 中 , ∠AOB＝ ９０ °,C 是EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 7(︵),AB)上 一 点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为 D ,E．若 CD＝CE,则图中
阴影部分的面积为 ．
１６．已知二次函数的表达式为 y＝ －x２ ＋２hx－h, 当 －１≤x≤１
时 , 函数有最大值 n,则 n 的最小值是 ．
三、解答题(本大题共 ８ 小题 ,共 ６６ 分)
１７．(本题满分 ６ 分) 已知抛物线 y＝ax２ －２x＋３a经过点C(３ ,６) ,
求 a 的值及该抛物线的顶点坐标．
１８．(本题 满 分 ６ 分) 已 知 : 如 图 , 在 △OAB 中 ,OA＝ OB, ☉O 与 AB相切于点C．求证 :AC＝BC．
小明同学的证明过程如下框 :
………
EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 4(……),证明)…:如…图…,…OEQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 4(…),C)．
又OC…＝…O…,∴…△…OAC≌△O…BC…,∴…AC＝BC…．…
小明的证法是否正确? 若正确 ,请在框内打 “√ ”;若错误 ,请写
出正确的证明过程．
19 . (本题满分 6 分)(1) 如图 ,A 为 ☉E上一点,请用尺规作出 ☉E 的内接 正 方 形 ABCD;(只 保 留 作 图 痕 迹 , 不 要 求 写出作法)
(2) 若 ☉E的半径为 2 ,求正方形的边长.
20 . (本题满分 8 分) 已知二次 函 数 y＝x2 - 2mx＋ m2 - 1(m
是常数) .
(1) 求证 :无论 m 为何值 ,该函数的图象与 x 轴有两个交点 ;
(2) 若抛物线 y＝x2 - 2mx＋ m2 - 1 与 x 轴的两个交点分
别为(x1 ,0) , (x2 ,0) ,且 xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(２),１) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(２),２) = 4 ,求 m 的值.
21 . (本 题 满 分 8 分) 如 图 , OA, OB, OC 都 是 ☉O 的 半 径 ,
∠ACB= 2∠BAC.
(1) 求证 :∠AOB= 2∠BOC;
(2) 若 AB= 4 ,BC= 5 ,求 ☉O的半径.
22 . (本题满分 10 分) “端午节”吃粽子是中华民族的传统习俗 , 市场上的肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵 10 元 ,一盒肉粽和 两盒豆沙粽进价为 100 元.
(1) 求每盒肉粽和豆沙粽的进价 ;
(2) 在销售中 ,某商家发现当每盒肉粽售价为 50 元时 ,每天 可售出 100 盒 ,若每盒售价每提高 1 元 ,则每天少售出 2 盒．设每盒肉 粽 售 价 为 a 元 , 每 天 销 售 肉 粽 的 利 润 为 w 元 ,求该商家每天销售肉粽获得的最大利润.
23 . (本题满分 10 分) 如 图 , ☉O 是 △ABC 的 外 接 圆, 点 O 在 BC边上 ,∠BAC 的 平 分 线 交 ☉O 于 点 D , 连 接 BD ,CD , 过点 D 作 BC的平行线与 AC的延长线相交于点 P.
(1) 求证 :PD 是 ☉O的切线 ;
(2) 求证 :△ABD∽△DCP;
(3) 当 AB= 5 cm,AC= 12 cm 时 ,求线段 PC 的长.
24 . (本题满分 12分) 如图 ,在平面直角坐标系中 ,抛物线 y＝ax2 + 2ax+4 与 x 轴交于点 A(- 4 ,0) ,B(x2 ,0) ,与 y 轴交于点 C．经 过点 B 的直线 y＝kx＋b与 y 轴交于点 D(0 ,2) ,与抛物线交于
点 E.
(1) 求抛物线的表达式及 B,C 两点的坐标 ;
(2) 若 P 为抛物线的对称轴上的动点,当 △AEP 的 周 长 最 小 时 ,求点 P 的坐标 ;
(3) 若 M 是直线 BE 上的动点,过点 M 作 MN ∥y 轴交抛物线 于点 N ,判断是否存在点 M ,使以 M ,N ,C,D 为顶点的四 边形是平行四边形．若存在 ,请求出点 M 的坐标 ;若不存在 ,
请说明理由.
数学 - 90 - 湘教九年级 · 下册
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账
账
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湘 教 九 年 级 数 学 ( 下 册 ) 期中综合检测卷
(考查范围:第 １ 章至第 ２ 章)
考试时间 :１２０ 分钟 满分 :１２０ 分
一、选择题(每小题 ３ 分 ,共 ３０ 分 ;每小题的四个选项中只有一 项是正确的)
１．下列函数中 ,是二次函数的是 ( B )
A．y＝x－２ B．y＝x２ ＋２x－１
C．y D．y
２．抛物线 y＝－３(x－２) ２ ＋５ 的对称轴是 ( A )
A．直线 x＝２ B．直线 x＝－２
C．直线 x＝５ D．直线 x＝－５
３．如图 , 四边形 ABCD 是 ☉O的内接四边形 ,若 ∠C＝１２０ °,则
∠A 的度数是 ( B )
A．３０ ° B．６０ ° C．７０ ° D．８０ °
第 ３ 题图 第 ５ 题图 第 ７ 题图
４．一条抛物线的形状 、开口方向与抛物线 y＝４x２ 相同 , 顶点
坐标为(－ ２ ,１) ,则其表达式为 ( D )
A．y＝４(x－２) ２ ＋１ B．y＝４(x＋２) ２ －１
C．y＝－４(x＋２) ２ ＋１ D．y＝４(x＋２) ２ ＋１
５．如图 ,△ABC 内接于 ☉O,AD 是 ☉O的直径 ,∠ABC＝２５ °,
则 ∠CAD 的度数是 ( C )
A．２５ ° B．６０ ° C．６５ ° D．７５ °
６．关于二次函数 y＝(x＋２)２ 的图象 ,下列说法正确的是( B )
A．开口向下
B．最低点是(－ ２ ,０)
C．对称轴是直线 x＝２
D．对称轴的左侧部分是上升的
７．如图 ,在平面直角坐标系中 ,☉M 与 x 轴相切于点 A,与 y 轴交 于 B,C两点,点 M 的坐标为(３ ,５) ,则点 B 的坐标为 ( D )
A．(０ ,５) B．(０ ,７) C．(０ ,８) D．(０ ,９)
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８．某款 “不倒翁”(图 ①) 的平面示意图如图 ② ,PA,PB 分别与
４０ ,则AMB的长是 ( A )
EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 7(︵),AM)°B所相切于点 A,B．若 该 圆 的 半 径 是 ９ cm,∠P＝
A．１１πcm B．１１ π cm C ７πcm D ７ π cm
２ ． ．２
第 ８ 题图 第 ９ 题图
９．二次函数 y＝ax２ ＋bx＋c(a≠０) 的图象如图所示 ,则下列
结论中正确的是 ( D )
A．c＞－１ B．b＞０
C．２a＋b≠０ D．９a＋c＞３b
１０．如图 ① ,A 是 ☉O上一定点,圆上一动点 P 从圆上另一定 点 B 出发 ,沿逆时针方向向点 A 运动 ,运动时间是 x s,线 段 AP 的长度是 y cm．图 ②是 y 随 x 变化的关系图象 ,则
点 P 的运动速度是 ( C )
A．１ cm/s
B．２ cm/s
C． cm/s
３π
D．２ cm/s
二、填空题(每小题 ４ 分 ,共 ２４ 分)
１１．若 ☉O的半径为 ５ ,点 O 到直线 l的距离为 d,且直线 l与
☉O 相交 ,则 d ＜ ５．(填 “＞”“＜”或 “＝”)
１２．若 y＝mxm２－２是 二 次 函 数 , 且 函 数 图 象 的 开 口 向 上 , 则 m
的值为 ２ ．
１３．如图 ,△ABC 的内心为点 O,∠BOC＝１１０ °,则 ∠A 的度数
是 ４０ ° ．
第 １３ 题图 第 １４ 题图 第 １５ 题图
数学 － ８９ － 湘教九年级 · 下册
１４．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意
图 ,已知抛物线的表达式为 y＝x２ ＋１０ ,为保护廊桥的安全 ,
在该抛物线上到水面 AB的高为 ８ m 的点 E,F处安装两盏警示 灯 ,则这两盏警示灯的水平距离 EF是 ８ ５ m．
１５．如图 ,在半径为 ５ 的扇形 OAB 中 , ∠AOB＝ ９０ °,C 是EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 7(︵),AB)上 一 点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为 D ,E．若 CD＝CE,则图中
阴影部分的面积为 π ．
１６．已知二次函数的表达式为 y＝ －x２ ＋２hx－h, 当 －１≤x≤１
时 , 函数有最大值 n,则 n 的最小值是 ．
三、解答题(本大题共 ８ 小题 ,共 ６６ 分)
１７．(本题满分 ６ 分) 已知抛物线 y＝ax２ －２x＋３a经过点C(３ ,６) ,
求 a 的值及该抛物线的顶点坐标．
解:把 C(３ ,６) 代入 y＝ax２ －２x＋３a,得 ６ ＝９a－６＋３a, 解得 a＝１．
把 a＝１ 代 入 y＝ax２ －２x＋３a, 得 y＝x２ －２x＋３＝ (x－１) ２ ＋２ ,
所以该抛物线的顶 点坐标为(１ ,２)．
１８．(本题 满 分 ６ 分) 已 知 : 如 图 , 在 △OAB 中 ,OA＝ OB, ☉O 与 AB相切于点C．求证 :AC＝BC．
小明同学的证明过程如下框 :
………
EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 4(……),证明)…:如…图…,…OEQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 4(…),C)．
又OC…＝…O…,∴…△…OAC≌△O…BC…,∴…AC＝BC…．…
小明的证法是否正确? 若正确 ,请在框内打 “√ ”;若错误 ,请写 出正确的证明过程．
解:证法错误．正确的证明过程如下 : 如图 ,连接 OC．
∵ ☉O 与 AB相 切于点 C, ∴OC⊥AB．
∵OA＝OB, ∴AC＝BC．
19 . (本题满分 6 分)(1) 如图 ,A 为 ☉E上一点,请用尺规作出 ☉E 的内接 正 方 形 ABCD;(只 保 留 作 图 痕 迹 , 不 要 求 写出作法)
(2) 若 ☉E的半径为 2 ,求正方形的边长.
解:(1) 如图 , 正方形 ABCD 即为所求 .
(2) ∵四边形 ABCD 是正方形 ,
∴AE＝BE,∠AEB= 90 °.
∵ ☉E 的半径为 2 ,
∴ 根据勾股定理 , 易得 AB= 2 2 ,即正方形的边长为 2 2 .
20 . (本题满分 8 分) 已知二次 函 数 y＝x2 - 2mx＋ m2 - 1(m
是常数) .
(1) 求证 :无论 m 为何值 ,该函数的图象与 x 轴有两个交点 ;
(2) 若抛物线 y＝x2 - 2mx＋ m2 - 1 与 x 轴的两个交点分
别为(x1 ,0) , (x2 ,0) ,且 xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 3(２),１) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 3(２),２) = 4 ,求 m 的值.
(1) 证明 : 对于 一 元二次方程 x2 - 2mx＋m2 - 1 = 0 , Δ= ( - 2m) 2 - 4(m2 - 1) = 4>0 ,
所 以 无论 m 为何值 , 二 次函数 y＝x2 - 2mx＋m2 - 1 的图象与 x 轴有两个交点.
(2) 解:令 y= 0 , 则 x2 - 2mx＋m2 - 1 = 0 ,
所 以 x1 + x2 = 2m ,x1 x2 = m2 - 1 . 因 为 xEQ \* jc3 \* hps8 \\al(\s\up 3(２),１) + xEQ \* jc3 \* hps8 \\al(\s\up 3(２),２) = 4 ,
所 以 xEQ \* jc3 \* hps8 \\al(\s\up 3(２),１) + xEQ \* jc3 \* hps8 \\al(\s\up 3(２),２) = (x1 + x2 ) 2 - 2x1 x2 = 4m2 - 2(m2 - 1) = 4 .
解得 m1 = 1 ,m2 = - 1 . 故 m 的值为 1 或 - 1 .
21 . (本 题 满 分 8 分) 如 图 , OA, OB, OC 都 是 ☉O 的 半 径 ,
∠ACB= 2∠BAC.
(1) 求证 :∠AOB= 2∠BOC;
(2) 若 AB= 4 ,BC= 5 ,求 ☉O的半径.
(1) 证 明 : ∵ ∠ACB= EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 5(１),２) ∠AOB, ∠BAC= EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 5(１),２) ∠BOC, ∠ACB= 2∠BAC, ∴∠AOB= 2∠BOC.
(2) 解:如图 , 过点 O 作半径 OD⊥AB 于 点 E,连接 BD,
∴ 易得 ∠BOD= EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 5(１),２) ∠AOB,AE＝BE.
∵∠AOB= 2∠BOC,
∴∠BOD= ∠BOC, ∴BD＝BC.
∵AB= 4 ,BC= 5 , ∴BE= 2 ,BD= 5 .
在 Rt△BDE 中 ,DE＝ BD2 - BE2 = ( 5 ) 2 - 2 2 = 1 .
在 Rt△BOE 中 ,OB2 = OE2 +BE2 ,
∴OB2 = (OB- 1) 2 +2 2 ,
∴OB= EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 5(５),２) ,即 ☉O 的半径是 EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 5(５),２) .
22 . (本题满分 10 分) “端午节”吃粽子是中华民族的传统习俗 , 市场上的肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵 10 元 ,一盒肉粽和 两盒豆沙粽进价为 100 元.
(1) 求每盒肉粽和豆沙粽的进价 ;
(2) 在销售中 ,某商家发现当每盒肉粽售价为 50 元时 ,每天 可售出 100 盒 ,若每盒售价每提高 1 元 ,则每天少售出 2 盒．设每盒肉 粽 售 价 为 a 元 , 每 天 销 售 肉 粽 的 利 润 为 w 元 ,求该商家每天销售肉粽获得的最大利润.
解:(1) 设每盒肉粽的进价为 x 元 ,每盒豆沙粽的进价为 y 元.
由题意 ,得{EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 7(x),x)EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 6(y),２)EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 7(０),１)0,0 ,解得 x= 40 ,y= 30 .
所以每盒肉粽的进价为 40 元 ,每盒豆沙粽的进价为 30 元 .
(2) 由 题 意 , 得 w ＝ (a - 40) [100 - 2 (a - 50)] = - 2a2 + 280a- 8 000 = - 2(a- 70) 2 +1 800 .
因 为 - 2