湖南省衡阳市四校2023-2024学年九年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市四校2023-2024学年九年级下册月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：120分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．D．
2．我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住18亿亩耕地红线，则用科学记数法表示18亿正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用抽查的方式
C．抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．为了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，该问题的样本是抽取的100台电视机
10．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小D．当时，
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．若单项式的与是同类项，则 ．
12．把多项式分解因式的结果是 ．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b = ．
15．从这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是 ．
16．如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点E，则 ．

17．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为 ．
18．如图，在Rt中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点G，若，，则四边形周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中x满足．
21．某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行同卷调查，根据统计的数据，绘制了如下图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了__________名学生；
(2)在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为__________．
(3)请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
(4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．
22．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

(1)求教学楼的高度．
(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
23．如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长和的面积．
24．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点C使得的面积为4，求点C的坐标．
25．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．
(1)求⊙M的半径；
(2)求证：BD平分∠ABO；
(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．
参考答案与解析
1．A
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．
【解答】
最小的数是：
故选：A．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
2．B
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】解：18亿．
故选B．
3．A
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．
【解答】解：A、，选项计算正确，符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
4．B
【分析】先解不等式，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．
【解答】解：，
由② 得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
，
∴不等式组的解集为：；
故选B
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
6．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，将一个图形沿某直线折叠直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形，将一个图形绕某点旋转后能与本身重合，这样的图形是中心对称图形，再根据定义逐项判断即可．
【解答】因为A图是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为B图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为C图是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为D图既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．
8．A
【分析】根据主视图的定义结合几何体的特点判断即可．
【解答】解：A.圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B.圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
C.球体的主视图是圆形，故此选项不符合题意；
D.三棱柱的主视图是长方形，中间有一条实线，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所观察的位置和基本图形的三视图．
9．D
【分析】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，三角形的内角和定理的含义，掌握相关概念以及定理是解本题的关键．
【解答】解：A. “任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，选项正确，不符合题意；
B.调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，选项正确，不符合题意；
C.抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，选项正确，不符合题意；
D. 该问题的样本是抽取的100台电视机的寿命，选项错误，符合题意．
故选：D．
10．B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【解答】解：由题意可得：，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当时，，
∴图象与y轴交于点，故B正确；
当时，，
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当时，，故D错误；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
11．6
【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．
【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．
12．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：
=
=
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，解不等式即可得到答案．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
14．5
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
【解答】∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴，，
∴
故答案为：5．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．
15．##
【分析】直接利用概率公式求解即可.
【解答】解：由题意可得：在中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，
∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.
16．2
【分析】根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形是平行四边形；
，．
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，其中掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长为扇形的半径，圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长求解即可．
【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中的长为．
故答案为：．
18．22
【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
【解答】解：，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，，
∵，，
∴四边形的周长，
∴当最小时，即时四边形的周长有最小值，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴四边形的周长最小值为，
故答案为：22．
【点拨】本题主要考查轴对称﹣最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的最小值是解题的关键．
19．
【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【解答】解：原式
．
【点拨】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
20．；2
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可．
【解答】解：
；
∵，
∴，其中，
∴原式．
【点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．
21．(1)200；
(2)；
(3)见解析；
(4)该校参加朗诵的学生有800名．
【分析】（1）根据选择合唱的人数除以所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；
（2）用乘以“书法”部分的百分比即可得解；
（3）根据（1）的结果及图中的数据可以计算出朗诵的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）用2000乘以朗诵人数所占百分比即可得解．
【解答】（1）解∶该校此次调查共抽取的学生数为∶名，
故答案为∶；
（2）解：“书法”部分所对应的圆心角的度数为∶，
故答案为：；
（3）解：朗诵的人数为∶名，
补全条形统计如下：

（4）解：名，
答∶该校参加朗诵的学生有名．
【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，利用数形相结合的思想是解题的关键．
22．(1)教学楼的高度为米
(2)无人机刚好离开视线的时间为12秒
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【解答】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

【点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
23．(1)见解析
(2)；的面积为
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
【解答】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)，
(2)或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B的坐标为，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F， 设，然后根据列方程求解即可．
【解答】（1）将点代入得，
∴反比例函数的解析式为，
将点代入得，
∴正比例函数的解析式为．
（2）解方程组得，
∴点B的坐标为，
过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，
，
，
设，
∴．
，
，即，
，
，
∴点C的坐标为或．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，求出函数解析式是解答本题的关键．
25．（1）M的半径r＝；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(，)．
【分析】（1）根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；
（2）根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；
（3）根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出BH=BA=2 ，从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.
【解答】（1）∵点A为（，0），点B为（0，－）
∴OA= OB=
∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：AB=2
∴M的半径r=AB=．
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD
∵∠COD=∠CBO
∴∠ABD=∠CBO
∴BD平分∠ABO
（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE≌△HBE
∴BH=BA=2
∴OH=2－=
在Rt△AOB中，
∴∠ABO=60°
∴∠CBO=30°
在Rt△HBE中，HE=
∴点E的坐标为（，）
26．（1）；（2）；（3）或或；（4）．
【分析】（1）将代入计算即可；
（2）作于点E，证明，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为和两种情况讨论；当点M在BC上时，分为和两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得的最小值；连接BQ减去可得的最小值，综上可得的最小值．
【解答】（1）将代入得
，解得
∴抛物线的解析式为：
（2）作于点E
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）若点M在DA上运动时，
当，则，即不成立，舍去
当，则，即，解得：
若点M在BC上运动时，
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，无解；
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，解得
综上所示：当时，，当时，；时
（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N
∵点D，
∴点
由得对称轴为
∴点
∴
当Q,N,F共线时，最小，
∴
故的最小值为．
【点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．