2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县隆市初级中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县隆市初级中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.tan60°的值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，AB=10，则直角边BC的长是( )
A. 10sin40°B. 10cs40°C. 10tan40°D. 10sin40∘
3.在△ABC中，∠C=90°，若AC=1，BC=3，则sinB的值为( )
A. 13B. 1010C. 3 1010D. 3
4.如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是α，且OP=5，csα=35，则点P坐标是( )
A. (3,4)
B. (−3,4)
C. (−4,3)
D. (−3,5)
5.在△ABC中，sinB=cs(90°−C)=12，那么△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
6.如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tanC=2，则sinB=( )
A. 12
B. 22
C. 13
D. 23
7.一副直角三角板按如图所示的方式放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠B=45°，AC=12，则BD=( )
A. 3
B. 12−4 3
C. 12
D. 4
8.如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3m的标杆CD，然后他在A处测得C点的俯角β为53°，再测得D点的俯角α为45°，则两幢楼房之间的水平距离大约为(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)( )
A. 9.75mB. 9.5mC. 92.5mD. 9m
9.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点处，则tanC的值为( )
A. 12
B. 13
C. 22
D. 1
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4，sin∠CEF=35，则△AEF的面积为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某河堤横断面如图所示，堤高AC=4米，迎水坡AB的坡比是1：2，则AB的长为______．
12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC=13，AC=6，则BD的长是______．
13.如图，在△ABC中，AB=BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若CM=1，BD=3，则sinB=______．
14.如图①，桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，古代科学家徐光启在《农政全书》中曾用图画描绘过它，它的简化图如图②所示.若AB=AC，BC=1m，AD=1.2m，∠CAB=40°，则CD的长约为______m.(结果精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
15.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF与线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：3tan30°−cs245°+1cs60∘−2sin60°．
17.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°，求这个三角形的其他元素．
18.(本小题8分)
如图，Rt△ABC的斜边AB=10，sinA=35．
(1)用尺规作图作线段AB的垂直平分线l，分别交AC，AB于点D，E(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)；
(2)求DE的长．
19.(本小题9分)
动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60)
20.(本小题10分)
如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东30°方向上，沿正东方向行走60m至观测点D，测得B在D的北偏西60°方向上，A在D的北偏西21°方向上，求A，B两点间的距离.(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23， 3≈1.73)
21.(本小题10分)
如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i=1：1.为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β.已知tanα=2，tanβ=4，求山顶A的高度AE(C、B、E在同一水平面上)．
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB于点E，连接CE．
(1)求BE的长；
(2)求tan∠ECB的值．
23.(本小题12分)
图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．
(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．
(精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：tan60°= 3，
故选：B．
根据60°的正切值是 3解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°的正切值是 3是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
csB=BCAB，
BC=10cs40°．
故选：B．
根据余弦的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 12+32= 10，
∴sinB=ACAB=1 10= 1010．
故选B．
先利用勾股定理求出AB的长，然后根据锐角三角函数的定义判断即可．
本题考查锐角三角函数的定义．
4.【答案】B
【解析】解：过点P作PA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥y轴于点B，如图所示．
∵OP=5，csα=35，
∴OA=OP⋅csα=3，PA= OP2−OA2=4，
∴点P的坐标为(−3,4)．
故选：B．
过点P作PA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥y轴于点B，根据OP=5，csα=35可求出OA，再根据勾股定理可求出PA，由此即可得出点P的坐标．
本题考查了解直角三角形以及点的坐标，解题的关键是：求出OA，PA的长，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形通过解直角三角形来找出点的坐标是关键．
5.【答案】A
【解析】解：sinB=cs(90°−C)=12，
即sinB=12，∴∠B=30°；
cs(90°−C)=12，
∴90°−∠C=60°，
∴∠C=30°，
∴∠C=∠B．
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
由题意可证∠C=∠B=30°，即证△ABC是等腰三角形．
熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，还考查了等腰三角形的判断．
6.【答案】B
【解析】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵tanC=2，
∴ADCD=2，则AD=6，
∵BD=AD=6，AD⊥BC，
∴∠B=45°，
∴sinB=sin45°= 22；
故选：B．
根据BD=2CD=6可得AD=3，根据tanC=2求出AD的长度，再根据sinB=sin45°= 22，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
7.【答案】B
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴BC=AC=12．
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠ADC=90°−∠E=60°，
∴CD=ACsin60∘=4 3，
∴BD=BC−DC=12−4 3．
故选：B．
根据题意知Rt△ACB是等腰直角三角形，得出BC=AC=12，在Rt△ACD中，根据三角函数定义计算得出CD，相减即可求出BD．
本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图：延长CD交AE于点F，
则AF=BC，∠AFC=90°，
设AF=BC=x米，
在Rt△AFD中，∠FAD=45°，
∴DF=AF⋅tan45°=x(米)，
∵CD=3米，
∴CF=CD+DF=(x+3)米，
在Rt△AFC中，∠FAC=53°，
∴tan53°=CFAF=x+3x≈43，
解得：x=9，
经检验：x=9是原方程的根，
∴BC=9米，
∴两座楼房之间的水平距离大约为9米，
故选：D．
延长CD交AE于点F，则AF=BC，∠AFC=90°，然后设AF=BC=x米，在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出CF的长，最后在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，
CD= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，BC= 22+42= 20=2 5，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴tanC=BDCD= 23 2=13，
故选：B．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求C、BD，再根据三角函数的意义可求出tanC的值．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的面积，解题的关键是解直角三角形求边长、三角形相似求边长．
利用解直角三角形、三角形相似求得EF、AE的长，利用面积公式求解即可．
【解答】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵EF⊥AB，
∴CD/​/EF，
∴∠DCE=∠CEF，
在Rt△CDE中，sin∠DCE=sin∠CEF=DECE=35，
设DE=3x，则CE=5x，
∴CD= CE2−DE2=4x，
在Rt△ABC中，BE=EA，
∴CE=BE=EA=5x，
∴AB=2BE=10x，
∴BD=BE−DE=2x，
在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2，BC=4，
∴42=(4x)2+(2x)2
∴x=25 5，
∵∠CDA=∠FEA=90°，∠A=∠A，
∴△ACD∽△AFE，
∴EFCD=AEAD，
∴EF4x=5x5x+3x，
∴EF=52x=52×25 5= 5，
∵AE=5x=2 5，
∴S△AEF=12EF⋅AE
=12× 5×2 5
=5．
故选：C．
11.【答案】4 5米
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，AC=4米，
∴BC=2AC=8米，
由勾股定理得：AB= 42+82=4 5(米)，
故答案为：4 5米．
根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=12AC=3，BD=2OB.再解Rt△OAB，根据tan∠BAC=OBOA=13，求出OB=1，那么BD=2；
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=12AC=3，BD=2OB，
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC=OBOA=13，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
13.【答案】35
【解析】解：连接AD，
由作图可知，AD=AC，AM是∠DAC的角平分线，
∴AM⊥DC，DM=MC=1，
∵BD=3，
∴BM=3+1=4，AB=3+2=5=BC，
∴AM= AB2−BM2= 52−42=3，
∴sinB=AMAB=35，
故答案为：35．
连接AD，利用等腰三角形的性质得出DM=MC，进而利用直角三角形的解法解答即可．
此题考查解直角三角形，关键是根据角平分线的作图和等腰三角形的性质解答．
14.【答案】2.7
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴CH=12BC=12(m)，∠CAH=12∠BAC=12×40°=20°，
∴∠C=90°−20°=70°，
∵csC=cs70=CHAC≈0.34，
∴AC≈1.47m，
∴CD=AC+AD=1.2+1.47≈2.7(m)．
故答案为：2.7．
过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质推出CH=12BC=12(m)，∠CAH=12∠BAC=20°，由锐角的余弦求出AC≈1.47m，于是得到CD=AC+AD≈2.7m．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是由锐角的余弦定义求出AC的长．
15.【答案】 3−12或 33
【解析】解：如图1中，当∠CEG=90°时．
易知∠AED=∠DEF=45°，作DH⊥AC于H.则DH=EH，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC=AB⋅cs30°= 3，
∵AD=DB，
∴AD=1，
在Rt△ADH中，DH=AD⋅sin30°=12，AH=AD⋅cs30°= 32，
∴EC=AC−AH−EH= 3− 32−12= 3−12．
如图2中，当∠EGC=90°时，易证点B与点F重合，此时ED⊥AB，AE=2 33，EC= 3−2 33= 33，
综上所述，EC的长为 3−12或 33．
故答案为 3−12或 33．
分两种情形：如图1中，当∠CEG=90°时．如图2中，当∠EGC=90°时，分别求解即可．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：原式=3× 33−( 22)2+112−2× 32
= 3−12+2− 3
=32．
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
17.【答案】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°−∠B=30°，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2×8=16，
∴AC= AB2−BC2=8 3．
【解析】由直角三角形的性质求出∠A=30°，由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=16，由勾股定理求出AC= AB2−BC2=8 3．
本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=2×8=16，由勾股定理求出AC的长．
18.【答案】解：(1)如图，

(2)在Rt△ADE中，∵∠C=90°，
∴sinA=BCAB=35，
∴BC=35×10=6，
∴AC= 102−62=8，
∴tanA=BCAC=68=34，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE=5，
在Rt△ADE中，∵tanA=DEAE=34，
∴DE=34×5=154．
【解析】(1)利用基本作图，作AB的垂直平分线即可；
(2)先在Rt△ABC中利用正弦的定义求出BC=6，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE=5，然后在Rt△ADE中利用∠A的正切的定义求出DE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形．
19.【答案】解：∵AB=34cm，BC=70cm，
∴AC=AB+BC=104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD=AEAC，
∴AE=AC⋅sin∠BCD=104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
【解析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD=AEAC求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．
20.【答案】解：∵A，B均在C的北偏东30°方向上，沿正东方向行走60m至观测点D，测得B在D的北偏西60°方向上，
∴∠BCD=60°，∠BDC=30°，∠ADB=60°−21°=39°，CD=60m，
∴∠CBD=90°，
在Rt△CDB中，
BD=CD⋅sin60°=30 3(m)，
在Rt△ADB中，
AB=BD⋅tan39°≈30 3×0.81≈42(m)，
答：A，B两点间的距离约为42m．
【解析】在Rt△BCD中，求出BD，再在Rt△ABD中即可求出AB．
本题考查解直角三角形的应用−方位角问题，弄清题意，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
21.【答案】解：如图，作AF⊥CD于F.设AE=x米．
∵斜坡AB的坡度为i=1：1，
∴BE=AE=x米．
在Rt△BDC中，∵∠C=90°，CD=96米，∠DBC=∠β，
∴BC=CDtanβ=964=24(米)，
∴EC=EB+BC=(x+24)米，
∴AF=EC=(x+24)米．
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，∠DAF=∠α，
∴DF=AF⋅tanα=2(x+24)米，
∵DF=DC−CF=DC−AE=(96−x)米，
∴2(x+24)=96−x，解得x=16．
故山顶A的高度AE为16米．
【解析】作AF⊥CD于F.设AE=x米．由斜坡AB的坡度为i=1：1，得出BE=AE=x米．解Rt△BDC，求得BC=CDtanβ=24米，则AF=EC=(x+24)米．解Rt△ADF，得出DF=AF⋅tanα=2(x+24)米，又DF=DC−CF=DC−AE=(96−x)米，列出方程2(x+24)=96−x，求出x即可．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22.【答案】解：(1)由勾股定理得，AB= AC2+BC2= 32+32=3 2，
由题意得，AD=2，CD=1，
∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，即AE3=23 2，
解得，AE= 2，
∴BE=AB−AE=2 2；
(2)作EF⊥BC于F，
则EF/​/AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BFBC=BEBA，即EF3=BF3=2 23 2，
解得，EF=2，BF=2，
∴CF=1，
∴tan∠ECB=EFCF=2．
【解析】(1)根据勾股定理求出AB，证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案；
(2)作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质求出EF、CF，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形、相似三角形的判定和性质、掌握正切的定义、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=EFAF，
∴EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1(cm)，
∵AF=AF，∠EAF=∠DAF，∠AFE=∠AFD=90°，
∴△ADF≌△AEF(SAS)，
∴EF=DE=35.1cm，
∴CE=160+35.1=195.1(cm)，
∴小杜最少需要下蹲208−195.1=12.9厘米才能被识别；
(2)如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M.N.交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP=MPAP，
∴MP=AP⋅tan20°≈150×0.36=54.0(cm)，
∵AP=AP，∠MAP=∠NAP，∠APM=∠APN=90°，
∴△AMP≌△ANP(ASA)，
∴PN=MP=54.0cm，
∴BN=160−54.0=106.0(cm)，
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm)，
∴小若头顶超出点N的高度为：123−106.0=17.0(cm)>15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【解析】(1)过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1(cm)，根据全等三角形的性质得到结论；
(2)如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M.N.交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP=AP⋅tan20°≈150×0.36=54.0(cm)，根据全等三角形的性质得到PN=MP=54.0cm，于是得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．